第11章カイ二乗分布

References参考文献

“AppleInsider Price Guides.” Apple Insider, 2013. Available online at http://appleinsider.com/mac_price_guide (accessed May 14, 2013).

「AppleInsider価格ガイド」。Apple Insider、2013年。http://appleinsider.com/mac_price_guideで閲覧できる（2013年5月14日閲覧）。

Data from the World Bank, June 5, 2012.

データ出典：世界銀行、2012年6月5日。

Chapter Review章の復習

To test variability, use the chi-square test of a single variance. The test may be left-, right-, or two-tailed, and its hypotheses are always expressed in terms of the variance (or standard deviation).

ばらつきを検定するには、一つの分散についてのカイ二乗検定を使う。検定は左片側、右片側、両側のいずれにもなり、仮説は常に分散（または標準偏差）について表す。

Formula Review公式の復習

χ^{2} =

\frac{(n - 1) \cdot s^{2}}{σ^{2}}

Test of a single variance statistic where:
n: sample size
s: sample standard deviation
σ: population standard deviation

χ^{2} =

\frac{(n - 1) \cdot s^{2}}{σ^{2}}

：一つの分散の検定統計量。ここでnは標本の大きさ、sは標本標準偏差、σは母標準偏差である。

df = n – 1 Degrees of freedom

df = n − 1：自由度

Test of a Single Variance一つの分散の検定

Use the test to determine variation.
この検定はばらつきを調べるために使う。
The degrees of freedom is the number of samples – 1.
自由度は標本数 − 1である。
The test statistic is $\frac{(n - 1) \cdot s^{2}}{σ^{2}}$ , where n = the total number of data, s² = sample variance, and σ² = population variance.
検定統計量は $\frac{(n - 1) \cdot s^{2}}{σ^{2}}$ である。ここでnはデータの総数、s²は標本分散、σ²は母分散である。
The test may be left-, right-, or two-tailed.
検定は左片側、右片側、両側のいずれにもなりうる。

Exercises 100–102練習問題 100–102

Use the following information to answer the next three exercises: An archer’s standard deviation for hits is six (data is measured in distance from the center of the target). An observer claims the standard deviation is less.

英語のヒント

次の情報を使って、続く3問に答えよう。ある射手の命中位置の標準偏差は6である（データは的の中心からの距離で測定する）。観察者は、標準偏差はもっと小さいと主張する。

Exercise 100問題 100

What type of test should be used?

どの種類の検定を使うべきか。

Solution解き方

a test of a single variance

一つの分散の検定

Exercise 101問題 101

State the null and alternative hypotheses.

帰無仮説と対立仮説を述べよう。

Exercise 102問題 102

Is this a right-tailed, left-tailed, or two-tailed test?

これは右片側検定、左片側検定、両側検定のどれか。

Solution解き方

a left-tailed test

左片側検定

Exercises 103–105練習問題 103–105

Use the following information to answer the next three exercises: The standard deviation of heights for students in a school is 0.81. A random sample of 50 students is taken, and the standard deviation of heights of the sample is 0.96. A researcher in charge of the study believes the standard deviation of heights for the school is greater than 0.81.

次の情報を使って、続く3問に答えよう。ある学校の生徒の身長の標準偏差は0.81である。50人を無作為に抽出したところ、標本の身長の標準偏差は0.96だった。この研究の担当者は、学校全体の身長の標準偏差は0.81より大きいと考えている。

Exercise 103問題 103

What type of test should be used?

どの種類の検定を使うべきか。

Exercise 104問題 104

State the null and alternative hypotheses.

帰無仮説と対立仮説を述べよう。

Solution解き方

H₀: σ² = 0.81²;

H₀：σ² = 0.81²；

H_a: σ² > 0.81²

H_a：σ² > 0.81²

Exercise 105問題 105

df = ________

Exercises 106–109練習問題 106–109

Use the following information to answer the next four exercises: The average waiting time in a doctor’s office varies. The standard deviation of waiting times in a doctor’s office is 3.4 minutes. A random sample of 30 patients in the doctor’s office has a standard deviation of waiting times of 4.1 minutes. One doctor believes the variance of waiting times is greater than originally thought.

次の情報を使って、続く4問に答えよう。診療所での平均待ち時間にはばらつきがある。ある診療所の待ち時間の標準偏差は3.4分である。無作為に選んだ患者30人の待ち時間の標準偏差は4.1分だった。ある医師は、待ち時間の分散は当初考えられていた値より大きいと考えている。

Exercise 106問題 106

What type of test should be used?

どの種類の検定を使うべきか。

Solution解き方

a test of a single variance

一つの分散の検定

Exercise 107問題 107

What is the test statistic?

検定統計量はいくつか。

Exercise 108問題 108

What is the p-value?

p値はいくつか。

Solution解き方

0.0542

Exercise 109問題 109

What can you conclude at the 5% significance level?

有意水準5%で何を結論できるか。

Homework宿題

Exercises 110–121練習問題 110–121

Use the following information to answer the next twelve exercises: Suppose an airline claims that its flights are consistently on time with an average delay of at most 15 minutes. It claims that the average delay is so consistent that the variance is no more than 150 minutes. Doubting the consistency part of the claim, a disgruntled traveler calculates the delays for his next 25 flights. The average delay for those 25 flights is 22 minutes with a standard deviation of 15 minutes.

英語のヒント

次の情報を使って、続く12問に答えよう。航空会社が、自社便は安定して定刻に運航し、平均遅延時間は最大15分だと主張しているとする。平均遅延時間は非常に安定しており、分散も150分以下だという。不満を持つ旅行者は、その主張の「安定している」という部分を疑い、これから利用する25便の遅延時間を計算した。その25便の平均遅延時間は22分、標準偏差は15分だった。

Exercise 110問題 110

Is the traveler disputing the claim about the average or about the variance?

英語のヒント

旅行者が異議を唱えているのは、平均についての主張か、それとも分散についての主張か。

Exercise 111問題 111

A sample standard deviation of 15 minutes is the same as a sample variance of __________ minutes.

標本標準偏差15分は、標本分散__________分と同じである。

Solution解き方

225

Exercise 112問題 112

Is this a right-tailed, left-tailed, or two-tailed test?

これは右片側検定、左片側検定、両側検定のどれか。

Exercise 113問題 113

H₀: __________

H₀：__________

Solution解き方

H₀: σ² ≤ 150

H₀：σ² ≤ 150

Exercise 114問題 114

df = ________

Exercise 115問題 115

chi-square test statistic = ________

カイ二乗検定統計量 = ________

Solution解き方

Exercise 116問題 116

p-value = ________

p値 = ________

Exercise 117問題 117

Graph the situation. Label and scale the horizontal axis. Mark the mean and test statistic. Shade the p-value.

状況をグラフに描こう。横軸にラベルと目盛りを付け、平均と検定統計量の位置を記し、p値に相当する部分に陰影を付けよう。

Solution解き方

Answers may vary.

解答はさまざまである。

Exercise 118問題 118

Let α = 0.05
Decision: ________
Conclusion (write out in a complete sentence.): ________

α = 0.05とする。判断：________　結論（完全な文章で書く）：________

Exercise 119問題 119

How did you know to test the variance instead of the mean?

平均ではなく分散を検定すると、どのように判断したか。

Solution解き方

The claim is that the variance is no more than 150 minutes.

主張が「分散は150分以下である」というものだからである。

Exercise 120問題 120

If an additional test were done on the claim of the average delay, which distribution would you use?

平均遅延時間についての主張を追加で検定するなら、どの分布を使うか。

Exercise 121問題 121

If an additional test were done on the claim of the average delay, but 45 flights were surveyed, which distribution would you use?

平均遅延時間についての主張を追加で検定し、調査対象が45便だった場合、どの分布を使うか。

Solution解き方

a Student's t- or normal distribution

スチューデントのt分布または正規分布

Exercises 122–130練習問題 122–130

For each word problem, use a solution sheet to solve the hypothesis test problem. Go to Solution Sheets for the chi-square solution sheet. Round expected frequency to two decimal places.

各文章題について、解答用シートを使って仮説検定の問題を解こう。「解答用シート」でカイ二乗検定用のシートを参照する。期待度数は小数第2位までに丸める。

Exercise 122問題 122

A plant manager is concerned their equipment may need recalibrating. It seems that the actual weight of the 15 oz. cereal boxes it fills has been fluctuating. The standard deviation should be at most 0.5 oz. In order to determine if the machine needs to be recalibrated, 84 randomly selected boxes of cereal from the next day’s production were weighed. The standard deviation of the 84 boxes was 0.54. Does the machine need to be recalibrated?

英語のヒント

工場の管理者は、設備の再校正が必要かもしれないと懸念している。機械が詰める15オンス入りシリアル箱の実際の重量が変動しているようだ。標準偏差は最大0.5オンスであるべきだという。機械の再校正が必要かを判断するため、翌日の生産分から84箱を無作為に選んで量ったところ、標準偏差は0.54だった。機械は再校正を必要とするだろうか。

Exercise 123問題 123

Consumers may be interested in whether the cost of a particular calculator varies from store to store. Based on surveying 43 stores, which yielded a sample mean of $84 and a sample standard deviation of $12, test the claim that the standard deviation is greater than $15.

消費者は、ある電卓の価格が店によって異なるかに関心を持つかもしれない。43店を調査した結果、標本平均84ドル、標本標準偏差12ドルが得られた。この結果をもとに、標準偏差は15ドルより大きいという主張を検定しよう。

Solution解き方

H₀: σ = 15
H₀：σ = 15
H_a: σ > 15
H_a：σ > 15
df = 42
chi-square with df = 42
自由度df = 42のカイ二乗分布
test statistic = 26.88
検定統計量 = 26.88
p-value = 0.9663
p値 = 0.9663
Answers may vary.
解答はさまざまである。
1. Alpha = 0.05
  α = 0.05
2. Decision: Do not reject null hypothesis.
  判断：帰無仮説を棄却しない。
3. Reason for decision: p-value > alpha
  判断の理由：p値 > α
4. Conclusion: There is insufficient evidence to conclude that the standard deviation is greater than 15.
  結論：標準偏差が15より大きいと結論する十分な証拠はない。

Exercise 124問題 124

Isabella, an accomplished Bay to Breakers runner, claims that the standard deviation for her time to run the 7.5 mile race is at most three minutes. To test her claim, Rupinder looks up five of her race times. They are 55 minutes, 61 minutes, 58 minutes, 63 minutes, and 57 minutes.

英語のヒント

ベイ・トゥ・ブレーカーズの熟練ランナーであるイザベラは、7.5マイルのレースでの自身のタイムの標準偏差は最大3分だと主張している。その主張を検定するため、ルピンダーは彼女のレースタイムを5回分調べた。タイムは55分、61分、58分、63分、57分だった。

Exercise 125問題 125

Airline companies are interested in the consistency of the number of babies on each flight, so that they have adequate safety equipment. They are also interested in the variation of the number of babies. Suppose that an airline executive believes the average number of babies on flights is six with a variance of nine at most. The airline conducts a survey. The results of the 18 flights surveyed give a sample average of 6.4 with a sample standard deviation of 3.9. Conduct a hypothesis test of the airline executive’s belief.

英語のヒント

航空会社は、十分な安全設備を用意するため、各便の乳児数がどの程度安定しているかに関心を持っている。また、その人数のばらつきにも関心がある。ある航空会社の幹部は、1便あたりの平均乳児数は6人、分散は最大9だと考えているとする。航空会社が18便を調査したところ、標本平均は6.4人、標本標準偏差は3.9人だった。この幹部の考えについて仮説検定を行おう。

Solution解き方

H₀: σ ≤ 3
H₀：σ ≤ 3
H_a: σ > 3
H_a：σ > 3
df = 17
chi-square distribution with df = 17
自由度df = 17のカイ二乗分布
test statistic = 28.73
検定統計量 = 28.73
p-value = 0.0371
p値 = 0.0371
Answers may vary.
解答はさまざまである。
1. Alpha: 0.05
  α：0.05
2. Decision: Reject the null hypothesis.
  判断：帰無仮説を棄却する。
3. Reason for decision: p-value < alpha
  判断の理由：p値 < α
4. Conclusion: There is sufficient evidence to conclude that the standard deviation is greater than three.
  結論：標準偏差が3より大きいと結論する十分な証拠がある。

Exercise 126問題 126

The number of births per woman in China is 1.6 down from 5.91 in 1966. This fertility rate has been attributed to the law passed in 1979 restricting births to one per woman. Suppose that a group of students studied whether or not the standard deviation of births per woman was greater than 0.75. They asked 50 women across China the number of births they had had. The results are shown in Table 11.58. Does the students’ survey indicate that the standard deviation is greater than 0.75?

英語のヒント

中国の女性1人あたりの出生数は、1966年の5.91人から1.6人に減った。この出生率は、1979年に成立した、出産を女性1人につき1人に制限する法律によるものとされている。学生のグループが、女性1人あたりの出生数の標準偏差は0.75より大きいかを調べたとする。中国各地の女性50人に、出産した子どもの数を尋ねた。結果を表11.58に示す。この調査は、標準偏差が0.75より大きいことを示しているか。

Table 11.58表 11.58
# of births 出生数	Frequency 度数
0	5
1	30
2	10
3	5

Exercise 127問題 127

According to an avid aquarist, the average number of fish in a 20-gallon tank is 10, with a standard deviation of two. His friend, also an aquarist, does not believe that the standard deviation is two. They count the number of fish in 15 other 20-gallon tanks. Based on the results that follow, do you think that the standard deviation is different from two? Data: 11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; 11

英語のヒント

熱心な観賞魚愛好家によると、20ガロンの水槽にいる魚の平均数は10匹、標準偏差は2匹である。同じく愛好家である友人は、標準偏差が2とは考えていない。そこで、別の20ガロン水槽15個の魚を数えた。次の結果をもとに、標準偏差は2と異なると思うか。データ：11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; 11

Solution解き方

H₀: σ = 2
H₀：σ = 2
H_a: σ ≠ 2
H_a：σ ≠ 2
df = 14
chi-square distiribution with df = 14
自由度df = 14のカイ二乗分布
chi-square test statistic = 5.2094
カイ二乗検定統計量 = 5.2094
p-value = 0.0346
p値 = 0.0346
Answers may vary.
解答はさまざまである。
1. Alpha = 0.05
  α = 0.05
2. Decision: Reject the null hypothesis
  判断：帰無仮説を棄却する。
3. Reason for decision: p-value < alpha
  判断の理由：p値 < α
4. Conclusion: There is sufficient evidence to conclude that the standard deviation is different than 2.
  結論：標準偏差が2と異なると結論する十分な証拠がある。

Exercise 128問題 128

The manager of "Frenchies" is concerned that patrons are not consistently receiving the same amount of French fries with each order. The chef claims that the standard deviation for a ten-ounce order of fries is at most 1.5 oz., but the manager thinks that it may be higher. He randomly weighs 49 orders of fries, which yields a mean of 11 oz. and a standard deviation of two oz.

英語のヒント

「Frenchies」の店長は、注文ごとに客に出すフライドポテトの量が一定ではないことを懸念している。料理長は10オンスの注文の標準偏差は最大1.5オンスだと主張するが、店長はもっと大きいかもしれないと考えている。無作為に49皿を量ると、平均11オンス、標準偏差2オンスだった。

Exercise 129問題 129

You want to buy a specific computer. A sales representative of the manufacturer claims that retail stores sell this computer at an average price of $1,249 with a very narrow standard deviation of $25. You find a website that has a price comparison for the same computer at a series of stores as follows: $1,299; $1,229.99; $1,193.08; $1,279; $1,224.95; $1,229.99; $1,269.95; $1,249. Can you argue that pricing has a larger standard deviation than claimed by the manufacturer? Use the 5% significance level. As a potential buyer, what would be the practical conclusion from your analysis?

英語のヒント

ある特定のコンピューターを買いたいとする。メーカーの営業担当者は、小売店での平均価格は1,249ドルで、標準偏差も25ドルと非常に小さいと主張している。複数の店での同じコンピューターの価格を比較するサイトを見つけると、価格は次のとおりだった。1,299ドル; 1,229.99ドル; 1,193.08ドル; 1,279ドル; 1,224.95ドル; 1,229.99ドル; 1,269.95ドル; 1,249ドル。価格の標準偏差はメーカーの主張より大きいといえるか。有意水準5%を用いる。購入を検討する立場から、この分析の実用上の結論はどうなるか。

Solution解き方

The sample standard deviation is $34.29.

標本標準偏差は34.29ドルである。

H₀ : σ² = 25²
H_a : σ² > 25²

H₀：σ² = 25²　H_a：σ² > 25²

df = n – 1 = 7.

df = n − 1 = 7。

test statistic:

x^{2} = x_{7}^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{25^{2}} = \frac{(8 - 1) {(34.29)}^{2}}{25^{2}} = 13.169

;

検定統計量：

x^{2} = x_{7}^{2} = \frac{(n - 1) s^{2}}{25^{2}} = \frac{(8 - 1) {(34.29)}^{2}}{25^{2}} = 13.169

；

p-value:

P (x_{7}^{2} > 13.169) = 1 - P (x_{7}^{2} \leq 13.169) = 0.0681

p値：

P (x_{7}^{2} > 13.169) = 1 - P (x_{7}^{2} \leq 13.169) = 0.0681

Alpha: 0.05

α：0.05

Decision: Do not reject the null hypothesis.

判断：帰無仮説を棄却しない。

Reason for decision: p-value > alpha

判断の理由：p値 > α

Conclusion: At the 5% level, there is insufficient evidence to conclude that the variance is more than 625.

結論：有意水準5%では、分散が625より大きいと結論する十分な証拠はない。

Exercise 130問題 130

A company packages apples by weight. One of the weight grades is Class A apples. Class A apples have a mean weight of 150 g, and there is a maximum allowed weight tolerance of 5% above or below the mean for apples in the same consumer package. A batch of apples is selected to be included in a Class A apple package. Given the following apple weights of the batch, does the fruit comply with the Class A grade weight tolerance requirements. Conduct an appropriate hypothesis test.

英語のヒント

ある会社は、リンゴを重量別に包装する。重量等級の一つがA級である。A級のリンゴの平均重量は150 gで、同じ消費者向け包装に入れるリンゴの重量は、平均の上下5%以内という許容範囲に収まる必要がある。A級の包装に入れるリンゴの一群を選んだ。この一群の重量が次のとおりなら、A級の重量許容範囲の要件を満たすか。適切な仮説検定を行おう。

(a) at the 5% significance level

（a）有意水準5%で

(b) at the 1% significance level

（b）有意水準1%で

Weights in selected apple batch (in grams): 158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; 172;

選んだ一群のリンゴの重量（g）：158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; 172;