第11章カイ二乗分布

11.4 Test for Homogeneity11.4　均質性検定

The goodness–of–fit test can be used to decide whether a population fits a given distribution, but it will not suffice to decide whether two populations follow the same unknown distribution. A different test, called the test for homogeneity, can be used to draw a conclusion about whether two populations have the same distribution. To calculate the test statistic for a test for homogeneity, follow the same procedure as with the test of independence.

英語のヒント

適合度検定は、母集団が与えられた分布に適合するかを判断するために使えるが、二つの母集団が同じ未知の分布に従うかを判断するには十分ではない。二つの母集団の分布が同じかについて結論を出すには、均質性検定という別の検定を使える。均質性検定の検定統計量は、独立性検定と同じ手順で計算する。

Hypotheses仮説

H₀: The distributions of the two populations are the same.

H_a: The distributions of the two populations are not the same.

H₀：二つの母集団の分布は同じである。H_a：二つの母集団の分布は同じではない。

Test Statistic検定統計量

Use a

χ^{2}

test statistic. It is computed in the same way as the test for independence.

χ^{2}

検定統計量を用いる。独立性検定と同じ方法で計算する。

Degrees of Freedom (df)自由度（df）

df = number of columns - 1

df = 列数 − 1

Requirements必要条件

All values in the table must be greater than or equal to five.

表内のすべての値が5以上でなければならない。

Common Uses主な用途

Comparing two populations. For example: men vs. women, before vs. after, east vs. west. The variable is categorical with more than two possible response values.

英語のヒント

二つの母集団を比較する。例えば、男性と女性、前と後、東と西などである。変数はカテゴリー変数であり、取りうる回答の値は二つより多い。

Example 11.8例題 11.8

Do men and women college students have the same distribution of living arrangements? Use a level of significance of 0.05. Suppose that 250 randomly selected men college students and 300 randomly selected women college students were asked about their living arrangements: dormitory, apartment, with parents, other. The results are shown in Table 11.48. Do male and female college students have the same distribution of living arrangements?

英語のヒント

男子大学生と女子大学生の居住形態の分布は同じか。有意水準0.05を用いる。無作為に選んだ男子大学生250人と女子大学生300人に、寮、アパート、親と同居、その他のどの形態で暮らしているかを尋ねたとする。結果を表11.48に示す。男子大学生と女子大学生の居住形態の分布は同じか。

Distribution of Living Arragements for College Men and College Women男子大学生と女子大学生の居住形態の分布

Table 11.48表 11.48
	Dormitory 寮	Apartment アパート	With Parents 親と同居	Other その他
Men 男性	72	84	49	45
Women 女性	91	86	88	35

Solution解き方

H₀: The distribution of living arrangements for men college students is the same as the distribution of living arrangements for women college students.

H_a: The distribution of living arrangements for men college students is not the same as the distribution of living arrangements for women college students.

Degrees of Freedom (df):
df = number of columns – 1 = 4 – 1 = 3

Distribution for the test:

χ_{3}^{2}

Calculate the test statistic: χ² = 10.1287 (calculator or computer)

Probability statement: p-value = P(χ² >10.1287) = 0.0175

H₀：男子大学生の居住形態の分布は、女子大学生の居住形態の分布と同じである。H_a：男子大学生の居住形態の分布は、女子大学生の居住形態の分布と同じではない。自由度（df）：df = 列数 − 1 = 4 − 1 = 3。検定に用いる分布：

χ_{3}^{2}

。検定統計量を計算する：χ² = 10.1287（電卓またはコンピューターを使用）。確率の式：p値 = P(χ² >10.1287) = 0.0175。

Using the Calculator電卓の操作

Press the MATRX key and arrow over to EDIT. Press 1:[A]. Press 2 ENTER 4 ENTER. Enter the table values by row. Press ENTER after each. Press 2nd QUIT. Press STAT and arrow over to TESTS. Arrow down to C:χ2-TEST. Press ENTER. You should see Observed:[A] and Expected:[B]. Arrow down to Calculate. Press ENTER. The test statistic is 10.1287 and the p-value = 0.0175. Do the procedure a second time but arrow down to Draw instead of calculate.

MATRXキーを押し、横矢印でEDITに移動する。1:[A]を押す。2、ENTER、4、ENTERと押す。表の値を行ごとに入力し、その都度ENTERを押す。2nd、QUITを押す。STATを押し、横矢印でTESTSに移動する。下矢印でC:χ2-TESTへ移動し、ENTERを押す。Observed:[A]とExpected:[B]が表示されるはずである。下矢印でCalculateへ移動してENTERを押す。検定統計量は10.1287、p値は0.0175となる。もう一度同じ手順を行い、今度はcalculateの代わりにDrawへ下矢印で移動しよう。

Compare α and the p-value: Since no α is given, assume α = 0.05. p-value = 0.0175. α > p-value.

Make a decision: Since α > p-value, reject H₀. This means that the distributions are not the same.

Conclusion: At a 5% level of significance, from the data, there is sufficient evidence to conclude that the distributions of living arrangements for men and women college students are not the same.

Notice that the conclusion is only that the distributions are not the same. We cannot use the test for homogeneity to draw any conclusions about how they differ.

英語のヒント

αとp値を比較する。αが与えられていないので、α = 0.05とする。p値 = 0.0175であり、α > p値となる。判断：α > p値なので、H₀を棄却する。これは、分布が同じではないことを意味する。結論：有意水準5%では、このデータから、男子大学生と女子大学生の居住形態の分布は同じではないと結論する十分な証拠が得られる。結論は、分布が同じではないということだけだと注意しよう。均質性検定を使って、どのように異なるかについて結論することはできない。

Try Itやってみよう

Do families and singles have the same distribution of cars? Use a level of significance of 0.05. Suppose that 100 randomly selected families and 200 randomly selected singles were asked what type of car they drove: sport, sedan, hatchback, truck, van/SUV. The results are shown in Table 11.49. Do families and singles have the same distribution of cars? Test at a level of significance of 0.05.

家族世帯と単身者では、車の分布は同じか。有意水準0.05を用いる。無作為に選んだ100の家族世帯と200人の単身者に、乗っている車の種類（スポーツカー、セダン、ハッチバック、トラック、バン／SUV）を尋ねたとする。結果を表11.49に示す。家族世帯と単身者で車の分布は同じか。有意水準0.05で検定しよう。

Table 11.49表 11.49
	Sport スポーツ	Sedan セダン	Hatchback ハッチバック	Truck トラック	Van/SUV バン／SUV
Family 家族世帯	5	15	35	17	28
Single 単身者	45	65	37	46	7

Example 11.9例題 11.9

Both before and after a recent earthquake, surveys were conducted asking voters which of the three candidates they planned on voting for in the upcoming city council election. Has there been a change since the earthquake? Use a level of significance of 0.05. Table 11.50 shows the results of the survey. Has there been a change in the distribution of voter preferences since the earthquake?

英語のヒント

最近の地震の前と後に、今度の市議会選挙で3人の候補者のうち誰に投票する予定かを有権者に尋ねる調査を行った。地震後に変化はあっただろうか。有意水準0.05を用いる。表11.50に調査結果を示す。地震の後、有権者の支持の分布に変化はあったか。

Table 11.50表 11.50
	Perez ペレス	Chung チャン	Stevens スティーブンス
Before 前	167	128	135
After 後	214	197	225

Solution解き方

H₀: The distribution of voter preferences was the same before and after the earthquake.

H_a: The distribution of voter preferences was not the same before and after the earthquake.

Degrees of Freedom (df):
df = number of columns – 1 = 3 – 1 = 2

Distribution for the test:

χ_{2}^{2}

Calculate the test statistic: χ² = 3.2603 (calculator or computer)
Probability statement: p-value=P(χ² > 3.2603) = 0.1959

H₀：有権者の支持の分布は、地震の前後で同じだった。H_a：有権者の支持の分布は、地震の前後で同じではなかった。自由度（df）：df = 列数 − 1 = 3 − 1 = 2。検定に用いる分布：

χ_{2}^{2}

。検定統計量を計算する：χ² = 3.2603（電卓またはコンピューターを使用）。確率の式：p値 = P(χ² > 3.2603) = 0.1959。

Using the Calculator電卓の操作

Press the MATRX key and arrow over to EDIT. Press 1:[A]. Press 2 ENTER 3 ENTER. Enter the table values by row. Press ENTER after each. Press 2nd QUIT. Press STAT and arrow over to TESTS. Arrow down to C:χ2-TEST. Press ENTER. You should see Observed:[A] and Expected:[B]. Arrow down to Calculate. Press ENTER. The test statistic is 3.2603 and the p-value = 0.1959. Do the procedure a second time but arrow down to Draw instead of calculate.

MATRXキーを押し、横矢印でEDITに移動する。1:[A]を押す。2、ENTER、3、ENTERと押す。表の値を行ごとに入力し、その都度ENTERを押す。2nd、QUITを押す。STATを押して横矢印でTESTSへ移動し、下矢印でC:χ2-TESTへ移動する。ENTERを押す。Observed:[A]とExpected:[B]が表示されるはずである。下矢印でCalculateへ移動し、ENTERを押す。検定統計量は3.2603、p値は0.1959となる。もう一度同じ手順を行い、今度はcalculateの代わりにDrawへ下矢印で移動しよう。

Compare α and the p-value: α = 0.05 and the p-value = 0.1959. α < p-value.

αとp値を比較する。α = 0.05、p値 = 0.1959なので、α < p値である。

Make a decision: Since α < p-value, do not reject H_o.

判断：α < p値なので、H_oを棄却しない。

Conclusion: At a 5% level of significance, from the data, there is insufficient evidence to conclude that the distribution of voter preferences was not the same before and after the earthquake.

結論：有意水準5%では、このデータから、有権者の支持の分布が地震の前後で同じではなかったと結論する十分な証拠は得られない。

Try Itやってみよう

Ivy League schools receive many applications, but only some can be accepted. At the schools listed in Table 11.51, two types of applications are accepted: regular and early decision.

英語のヒント

アイビーリーグの大学には多数の出願があるが、合格できるのは一部だけである。表11.51の大学では、一般選考と早期決定の二つの出願方式で合格者を選んでいる。

Table 11.51表 11.51
Application Type Accepted 合格した出願の方式	Brown ブラウン	Columbia コロンビア	Cornell コーネル	Dartmouth ダートマス	Penn ペンシルベニア	Yale イェール
Regular 一般選考	2,115	1,792	5,306	1,734	2,685	1,245
Early Decision 早期決定	577	627	1,228	444	1,195	761

We want to know if the number of regular applications accepted follows the same distribution as the number of early applications accepted. State the null and alternative hypotheses, the degrees of freedom and the test statistic, sketch the graph of the p-value, and draw a conclusion about the test of homogeneity.

一般選考の合格者数が、早期出願の合格者数と同じ分布に従うかを調べたい。帰無仮説と対立仮説、自由度、検定統計量を示し、p値を表すグラフの概形を描き、均質性検定の結論を出そう。

第11章カイ二乗分布

11.4 Test for Homogeneity11.4 均質性検定

Hypotheses仮説

Test Statistic検定統計量

Degrees of Freedom (df)自由度（df）

Requirements必要条件

Common Uses主な用途

Distribution of Living Arragements for College Men and College Women男子大学生と女子大学生の居住形態の分布

11.4 Test for Homogeneity11.4　均質性検定