プリンキピア

第11章カイ二乗分布

Homework宿題

Exercises 26–27練習問題 26–27
For each problem, use a solution sheet to solve the hypothesis test problem. Go to Solution Sheets for the chi-square solution sheet. Round expected frequency to two decimal places.
各問題について、解答用シートを使って仮説検定の問題を解こう。「解答用シート」でカイ二乗検定用のシートを参照する。期待度数は小数第2位までに丸める。
Exercise 26問題 26
A six-sided die is rolled 120 times. Fill in the expected frequency column. Then, conduct a hypothesis test to determine if the die is fair. The data in Table 11.19 are the result of the 120 rolls.
6面のさいころを120回振る。期待度数の列を埋め、仮説検定を実施して、さいころに偏りがないかを判断しよう。表11.19のデータは120回の結果である。
Face Value
出た目
Frequency
度数
Expected Frequency
期待度数
1
15
2
29
3
16
4
15
5
30
6
15
Table 11.19表 11.19
Exercise 27問題 27
The marital status distribution of the population of U.S. men, ages 15 and older, is as shown in Table 11.20.
英語のヒント
15歳以上の米国男性の母集団について、婚姻状況の分布は表11.20のとおりである。
Marital Status
婚姻状況
Percent
百分率
Expected Frequency
期待度数
never married
未婚
31.3
married
既婚
56.1
widowed
死別
2.5
divorced/separated
離婚／別居
10.1
Table 11.20表 11.20
Suppose that a random sample of 400 U.S. young adults, 18 to 24 years old, yielded the following frequency distribution. We are interested in whether this age group fits the distribution of the U.S. adult population. Calculate the frequency one would expect when surveying 400 people. Fill in Table 11.20, rounding to two decimal places.
英語のヒント
18～24歳の米国の若年成人400人を無作為に抽出し、次の度数分布が得られたとする。この年齢層が米国の成人母集団の分布に適合するかを調べたい。400人を調査するときに期待される度数を計算し、小数第2位までに丸めて表11.20を埋めよう。
Marital Status
婚姻状況
Frequency
度数
never married
未婚
140
married
既婚
238
widowed
死別
2
divorced/separated
離婚／別居
20
Table 11.21表 11.21
Solution解き方
Marital Status
婚姻状況
Percent
百分率
Expected Frequency
期待度数
never married
未婚
31.3
125.2
married
既婚
56.1
224.4
widowed
死別
2.5
10
divorced/separated
離婚／別居
10.1
40.4
Table 11.22表 11.22
  1. The data fits the distribution.
    データは分布に適合する。
  2. The data does not fit the distribution.
    データは分布に適合しない。
  3. 3
  4. chi-square distribution with df = 3
    自由度df = 3のカイ二乗分布
  5. 19.27
  6. 0.0002
  7. Check student’s solution.
    学生の解答を確認する。
    1. Alpha = 0.05
      α = 0.05
    2. Decision: Reject null
      判断：帰無仮説を棄却する。
    3. Reason for decision: p-value < alpha
      判断の理由：p値 < α
    4. Conclusion: Data does not fit the distribution.
      結論：データは分布に適合しない。
Exercises 28–30練習問題 28–30
Use the following information to answer the next two exercises: The columns in Table 11.23 contain the Race/Ethnicity of U.S. Public Schools for a recent year, the percentages for students using mass transit to get to school, and the Overall Student Population. Suppose the right column contains the result of a survey of 1,000 local students from that year who used mass transit to get to school.
英語のヒント
次の情報を使って、続く2問に答えよう。表11.23の各列には、ある近年の米国の公立学校の人種・民族区分、公共交通機関で通学する生徒の百分率、全生徒の母集団が示されている。右端の列は、その年に公共交通機関で通学した地元の生徒1,000人を調査した結果だとする。
Race/Ethnicity
人種／民族
Percentage Who Use Mass Transit to Get to School
公共交通機関で通学する生徒の百分率
Overall Student Population
全生徒の母集団
Survey Frequency
調査の度数
Asian, Asian American, or Pacific Islander
アジア人、アジア系米国人、太平洋諸島系
10.2%
5.4%
113
Black or African-American
黒人またはアフリカ系米国人
8.2%
14.5%
94
Hispanic or Latino
ヒスパニックまたはラティーノ
15.5%
15.9%
136
American Indian or Alaska Native
アメリカ先住民またはアラスカ先住民
0.6%
1.2%
10
White
白人
59.4%
61.6%
604
Not reported/other
未申告／その他
6.1%
1.4%
43
Table 11.23表 11.23
Exercise 28問題 28
Perform a goodness-of-fit test to determine whether the local results follow the distribution of the U.S. overall student population based on ethnicity.
適合度検定を行い、地元の結果が、米国全体の生徒の母集団の民族別分布に従うかを判断しよう。
Exercise 29問題 29
Perform a goodness-of-fit test to determine whether the local results follow the distribution of those that use mass transit, based on ethnicity.
適合度検定を行い、地元の結果が、公共交通機関を利用する生徒の民族別分布に従うかを判断しよう。
Solution解き方
  1. H0: The local results follow the distribution of the percentage of students who use mass transit to get to school
    H0：地元の結果は、公共交通機関で通学する生徒の百分率の分布に従う。
  2. Ha: The local results do not follow the distribution of the percentage of students who use mass transit to get to school
    Ha：地元の結果は、公共交通機関で通学する生徒の百分率の分布に従わない。
  3. df = 5
  4. chi-square distribution with df = 5
    自由度df = 5のカイ二乗分布
  5. chi-square test statistic = 13.4
    カイ二乗検定統計量 = 13.4
  6. p-value = 0.0199
    p値 = 0.0199
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha = 0.05
      α = 0.05
    2. Decision: Reject null when a = 0.05
      判断：a = 0.05のとき、帰無仮説を棄却する。
    3. Reason for Decision: p-value < alpha
      判断の理由：p値 < α
    4. Conclusion: Local data do not fit the mass transit Distribution.
      結論：地元のデータは、公共交通機関を利用する生徒の分布に適合しない。
    5. Decision: Do not reject null when a = 0.01
      判断：a = 0.01のとき、帰無仮説を棄却しない。
    6. Conclusion: There is insufficient evidence to conclude that local data do not follow the distribution of the of students who use mass transit.
      結論：地元のデータが、公共交通機関を利用する生徒の分布に従わないと結論する十分な証拠はない。
Exercise 30問題 30
The City of South Lake Tahoe, CA, has an Asian population of 1,419 people, out of a total population of 23,609. Suppose that a survey of 1,419 self-reported Asians in the Manhattan, NY, area yielded the data in Table 11.24. Conduct a goodness-of-fit test to determine if the self-reported sub-groups of Asians in the Manhattan area fit that of the Lake Tahoe area.
英語のヒント
カリフォルニア州サウスレイクタホ市では、総人口23,609人のうちアジア系が1,419人である。ニューヨーク州マンハッタン地区でアジア系と自己申告した1,419人を調査し、表11.24のデータが得られたとする。適合度検定を行い、マンハッタン地区のアジア系の自己申告による下位集団の構成が、レイクタホ地区の構成に適合するかを判断しよう。
Race
人種
Lake Tahoe Frequency
レイクタホの度数
Manhattan Frequency
マンハッタンの度数
Asian Indian
インド系
131
174
Chinese
中国系
118
557
Filipino
フィリピン系
1,045
518
Japanese
日系
80
54
Korean
韓国・朝鮮系
12
29
Vietnamese
ベトナム系
9
21
Other
その他
24
66
Table 11.24表 11.24
Exercises 31–32練習問題 31–32
Use the following information to answer the next two exercises: UCLA conducted a survey of more than 263,000 first-year students from 385 colleges in fall 2005. The results of students' expected majors by gender were reported in The Chronicle of Higher Education (2/2/2006). Suppose a survey of 5,000 graduating women and 5,000 graduating men was done as a follow-up last year to determine what their actual majors were. The results are shown in the tables for Exercise 31 and Exercise 32. The second column in each table does not add to 100% because of rounding.
英語のヒント
UCLAは2005年秋、385大学の1年生263,000人超を対象に調査を行った。学生の志望専攻を性別にまとめた結果が、『The Chronicle of Higher Education』（2006年2月2日）で報告された。次の情報を使って、続く2問に答えよう。昨年、その追跡調査として、卒業する女性5,000人と男性5,000人に、実際の専攻を尋ねたとする。結果は問題31と問題32の表に示されている。丸め処理のため、各表の第2列の合計は100%にならない。
Exercise 31問題 31
Conduct a goodness-of-fit test to determine if the actual college majors of graduating women fit the distribution of their expected majors.
適合度検定を行い、卒業する女性の実際の大学専攻が、志望専攻の分布に適合するかを判断しよう。
Major
専攻
Women - Expected Major
女性―志望専攻
Women - Actual Major
女性―実際の専攻
Arts & Humanities
芸術・人文学
14.0%
670
Biological Sciences
生物科学
8.4%
410
Business
ビジネス
13.1%
685
Education
教育
13.0%
650
Engineering
工学
2.6%
145
Physical Sciences
物理科学
2.6%
125
Professional
専門職
18.9%
975
Social Sciences
社会科学
13.0%
605
Technical
技術系
0.4%
15
Other
その他
5.8%
300
Undecided
未定
8.0%
420
Table 11.25表 11.25
Solution解き方
  1. H0: The actual college majors of graduating women fit the distribution of their expected majors
    H0：卒業する女性の実際の大学専攻は、志望専攻の分布に適合する。
  2. Ha: The actual college majors of graduating women do not fit the distribution of their expected majors
    Ha：卒業する女性の実際の大学専攻は、志望専攻の分布に適合しない。
  3. df = 10
  4. chi-square distribution with df = 10
    自由度df = 10のカイ二乗分布
  5. test statistic = 11.48
    検定統計量 = 11.48
  6. p-value = 0.3211
    p値 = 0.3211
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha = 0.05
      α = 0.05
    2. Decision: Do not reject null when a = 0.05 and a = 0.01
      判断：a = 0.05でもa = 0.01でも、帰無仮説を棄却しない。
    3. Reason for decision: p-value > alpha
      判断の理由：p値 > α
    4. Conclusion: There is insufficient evidence to conclude that the distribution of actual college majors of graduating women do not fit the distribution of their expected majors.
      結論：卒業する女性の実際の大学専攻の分布が、志望専攻の分布に適合しないと結論する十分な証拠はない。
Exercise 32問題 32
Conduct a goodness-of-fit test to determine if the actual college majors of graduating men fit the distribution of their expected majors.
適合度検定を行い、卒業する男性の実際の大学専攻が、志望専攻の分布に適合するかを判断しよう。
Major
専攻
Men - Expected Major
男性―志望専攻
Men - Actual Major
男性―実際の専攻
Arts & Humanities
芸術・人文学
11.0%
600
Biological Sciences
生物科学
6.7%
330
Business
ビジネス
22.7%
1130
Education
教育
5.8%
305
Engineering
工学
15.6%
800
Physical Sciences
物理科学
3.6%
175
Professional
専門職
9.3%
460
Social Sciences
社会科学
7.6%
370
Technical
技術系
1.8%
90
Other
その他
8.2%
400
Undecided
未定
6.6%
340
Table 11.26表 11.26
Exercises 33–39練習問題 33–39
Read the statement and decide whether it is true or false.
記述を読み、正しいか誤っているかを判断しよう。
Exercise 33問題 33
In a goodness-of-fit test, the expected values are the values we would expect if the null hypothesis were true.
適合度検定の期待値とは、帰無仮説が正しければ予想される値である。
Solution解き方
true
正しい。
Exercise 34問題 34
In general, if the observed values and expected values of a goodness-of-fit test are not close together, then the test statistic can get very large and on a graph will be way out in the right tail.
一般に、適合度検定の観測値と期待値が互いに近くない場合、検定統計量は非常に大きくなり、グラフ上では右裾の遠い位置にくることがある。
Exercise 35問題 35
Use a goodness-of-fit test to determine if high school principals believe that students are absent equally during the week or not.
適合度検定を使い、高校の校長が、生徒の欠席は週の各曜日で同じ程度に生じると考えているかどうかを調べよう。
Solution解き方
true
正しい。
Exercise 36問題 36
The test to use to determine if a six-sided die is fair is a goodness-of-fit test.
6面のさいころに偏りがないかを判断するには、適合度検定を用いる。
Exercise 37問題 37
In a goodness-of fit test, if the p-value is 0.0113, in general, do not reject the null hypothesis.
適合度検定でp値が0.0113なら、一般に帰無仮説を棄却しない。
Solution解き方
false
誤り。
Exercise 38問題 38
A sample of 212 commercial businesses was surveyed for recycling one commodity; a commodity here means any one type of recyclable material such as plastic or aluminum. Table 11.27 shows the business categories in the survey, the sample size of each category, and the number of businesses in each category that recycle one commodity. Based on the study, on average half of the businesses were expected to be recycling one commodity. As a result, the last column shows the expected number of businesses in each category that recycle one commodity. At the 5% significance level, perform a hypothesis test to determine if the observed number of businesses that recycle one commodity follows the uniform distribution of the expected values.
英語のヒント
212の事業所からなる標本を対象に、1種類の資源物のリサイクルを調査した。ここで資源物とは、プラスチックやアルミニウムなど、リサイクル可能な材料のいずれか1種類をいう。表11.27には、調査対象の業種、各業種の標本の大きさ、各業種で1種類の資源物をリサイクルしている事業所の数が示されている。この研究では、平均して半数の事業所が1種類の資源物をリサイクルしていると予想された。したがって最後の列には、各業種で1種類の資源物をリサイクルしていると期待される事業所数が示されている。有意水準5%で仮説検定を行い、観測された事業所数が、期待値の一様分布に従うかを判断しよう。
Business Type
業種
Number in class
区分内の事業所数
Observed Number that recycle one commodity
1種類の資源物をリサイクルする事業所数の観測値
Expected number that recycle one commodity
1種類の資源物をリサイクルする事業所数の期待値
Office
事務所
35
19
17.5
Retail/Wholesale
小売／卸売
48
27
24
Food/Restaurants
食品／飲食店
53
35
26.5
Manufacturing/Medical
製造／医療
52
21
26
Hotel/Mixed
ホテル／複合業種
24
9
12
Table 11.27表 11.27
Exercise 39問題 39
Table 11.28 contains information from a survey among 499 participants classified according to their age groups. The second column shows the percentage of obese people per age class among the study participants. The last column comes from a different study at the national level that shows the corresponding percentages of obese people in the same age classes in the USA. Perform a hypothesis test at the 5% significance level to determine whether the survey participants are a representative sample of the USA obese population.
英語のヒント
表11.28には、499人の参加者を年齢層別に分類した調査の情報がある。第2列は、調査参加者の各年齢層における肥満者の百分率を示す。最後の列は別の全国調査から得たもので、米国の同じ年齢層における肥満者の百分率を示している。有意水準5%で仮説検定を行い、調査参加者が米国の肥満者の母集団を代表する標本かどうかを判断しよう。
Age class (years)
年齢階級（歳）
Obese (percentage)
肥満者（百分率）
Expected USA average (percentage)
期待される米国平均（百分率）
20–30
15.0
32.6
31–40
26.5
32.6
41–50
13.6
36.6
51–60
21.9
36.6
61–70
21.0
39.7
Table 11.28表 11.28
Solution解き方
The hypotheses for the goodness-of-fit test are:
適合度検定の仮説は次のとおりである。
  1. H0: Surveyed obese fit the distribution of expected obese
    H0：調査された肥満者は、期待される肥満者の分布に適合する。
  2. Ha: Surveyed obese do not fit the distribution of expected obese
    Ha：調査された肥満者は、期待される肥満者の分布に適合しない。
Use a chi-square distribution with df = 4 to evaluate the data.
自由度df = 4のカイ二乗分布を使ってデータを評価する。
The test statistic is X2 = 9.85
検定統計量はX2 = 9.85である。
The P-value = 0.0431
p値 = 0.0431
At 5% significance level, α = 0.05. For this data, P < α. Reject the null hypothesis.
有意水準5%では、α = 0.05である。このデータではP < αなので、帰無仮説を棄却する。
At the 5% level of significance, from the data, there is sufficient evidence to conclude that the surveyed obese do not fit the distribution of expected obese.
有意水準5%では、このデータから、調査された肥満者が期待される肥満者の分布に適合しないと結論する十分な証拠が得られる。