プリンキピア

第10章2標本による仮説検定

Exercises 19–30練習問題 19–30
Use the following information to answer the next 12 exercises: The U.S. Center for Disease Control reports that the mean life expectancy was 47.6 years for White people born in 1900 and 33.0 years for non-White people. Suppose that you randomly survey death records for people born in 1900 in a certain county. Of the 124 White people, the mean life span was 45.3 years with a standard deviation of 12.7 years. Of the 82 non-White people, the mean life span was 34.1 years with a standard deviation of 15.6 years. Conduct a hypothesis test to see if the mean life spans in the county were the same for White and non-White people.
英語のヒント
以下の情報を用いて次の12問に答えよ。米国疾病予防管理センターによると、1900年生まれの平均余命は白人47.6年、非白人33.0年だった。ある郡で1900年に生まれた人の死亡記録を無作為に調べるとする。白人124人の平均寿命は45.3年、標準偏差12.7年、非白人82人の平均寿命は34.1年、標準偏差15.6年だった。この郡の白人と非白人の平均寿命は同じだったかを調べる仮説検定を行え。
Exercise 19問題 19
Is this a test of means or proportions?
これは平均の検定か、比率の検定か。
Solution解き方
means
平均。
Exercise 20問題 20
State the null and alternative hypotheses.
帰無仮説と対立仮説を示す。
  1. H0: __________
  2. Ha: __________
Exercise 21問題 21
Is this a right-tailed, left-tailed, or two-tailed test?
これは右片側検定、左片側検定、両側検定のどれか。
Solution解き方
two-tailed
両側検定。
Exercise 22問題 22
In symbols, what is the random variable of interest for this test?
この検定で関心のある確率変数を記号で表せ。
Exercise 23問題 23
In words, define the random variable of interest for this test.
この検定で関心のある確率変数を言葉で定義せよ。
Solution解き方
the difference between the mean life spans of White and non-White people
白人と非白人の平均寿命の差。
Exercise 24問題 24
Which distribution (normal or Student's t) would you use for this hypothesis test?
この仮説検定には、正規分布とスチューデントのt分布のどちらを使うか。
Exercise 25問題 25
Explain why you chose the distribution you did for Exercise 24.
演習24でその分布を選んだ理由を説明せよ。
Solution解き方
This is a comparison of two population means with unknown population standard deviations.
母標準偏差が未知の2つの母平均の比較だからである。
Exercise 26問題 26
Calculate the test statistic and p-value.
検定統計量とp値を計算せよ。
Exercise 27問題 27
Sketch a graph of the situation. Label the horizontal axis. Mark the hypothesized difference and the sample difference. Shade the area corresponding to the p-value.
この状況のグラフを描け。横軸に目盛りを付け、仮説で想定した差と標本の差を示せ。p値に対応する領域を塗れ。
Solution解き方
Answers may vary.
解答はさまざまである。
Exercise 28問題 28
Find the p-value.
p値を求める。
Exercise 29問題 29
At a pre-conceived α = 0.05, what is your:
あらかじめα = 0.05と定めた場合、次の各項目を答える：
  1. Decision:
    判断：
  2. Reason for the decision:
    判断の理由：
  3. Conclusion (write out in a complete sentence):
    結論（完全な文で書く）：
Solution解き方
  1. Reject the null hypothesis
    帰無仮説を棄却する。
  2. p-value < 0.05
    p値 < 0.05。
  3. At the 5% level of significance, the evidence supports the claim that life expectancy in the 1900s was different between White people and non-White people.
    有意水準5%では、1900年代の平均余命は白人と非白人で異なっていたという主張を証拠が支持する。
Exercise 30問題 30
Does it appear that the means are the same? Why or why not?
平均は同じであるように見えるか。理由も述べよ。

Homework宿題

Exercises 31–35練習問題 31–35
DIRECTIONS: For each of the word problems, use a solution sheet to do the hypothesis test. The solution sheet is found in Appendix E. Please feel free to make copies of the solution sheets. For the online version of the book, it is suggested that you copy the .doc or the .pdf files.
指示：各文章題について、解答用紙を使って仮説検定を行え。解答用紙は付録Eにある。自由に複写してよい。本書のオンライン版では、.docファイルまたは.pdfファイルをコピーするとよい。
Exercise 31問題 31
The mean number of English courses taken in a two–year time period by men and women college students is believed to be about the same. An experiment is conducted and data are collected from 29 men and 16 women. The men took an average of three English courses with a standard deviation of 0.8. The women took an average of four English courses with a standard deviation of 1.0. Are the means statistically the same?
大学生が2年間に履修する英語科目の平均数は、男女でほぼ同じだと考えられている。男性29人と女性16人から実験でデータを集めた。男性は平均3科目、標準偏差0.8科目、女性は平均4科目、標準偏差1.0科目だった。平均は統計的に同じか。
Exercise 32問題 32
A student at a four-year college claims that mean enrollment at four–year colleges is higher than at two–year colleges in the United States. Two surveys are conducted. Of the 35 two–year colleges surveyed, the mean enrollment was 5,068 with a standard deviation of 4,777. Of the 35 four-year colleges surveyed, the mean enrollment was 5,466 with a standard deviation of 8,191.
英語のヒント
4年制大学の学生が、米国の4年制大学の平均在籍者数は2年制大学より多いと主張する。2つの調査を行い、2年制大学35校では平均5,068人、標準偏差4,777人、4年制大学35校では平均5,466人、標準偏差8,191人を得た。
Solution解き方
Subscripts: 1: two-year colleges; 2: four-year colleges
添字：1は2年制大学、2は4年制大学。
  1. H0: μ1 ≥ μ2
  2. Ha: μ1 < μ2
  3. X ¯ 1 – X ¯ 2 is the difference between the mean enrollments of the two-year colleges and the four-year colleges.
    X ¯ 1 – X ¯ 2 は、2年制大学と4年制大学の平均在籍者数の差である。
  4. Student’s-t
    スチューデントのt分布。
  5. test statistic: -0.2480
    検定統計量：−0.2480
  6. p-value: 0.4019
    p値：0.4019
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Do not reject
      判断：棄却しない。
    3. Reason for Decision: p-value > alpha
      判断の理由：p値 > α
    4. Conclusion: At the 5% significance level, there is sufficient evidence to conclude that the mean enrollment at four-year colleges is higher than at two-year colleges.
      結論：有意水準5%では、4年制大学の平均在籍者数は2年制大学より多いと結論づける十分な証拠がある。
Exercise 33問題 33
At Rachel’s 11th birthday party, eight guests were timed to see how long (in seconds) they could hold their breath in a relaxed position. After a two-minute rest, they timed themselves while jumping. The children thought that the mean difference between their jumping and relaxed times would be zero. Test their hypothesis.
レイチェルの11回目の誕生日会で、8人の客がくつろいだ姿勢でどれだけ息を止められるか、秒単位で測った。2分休んだ後、跳びはねながら測った。子どもたちは、跳びはねたときとくつろいだときの時間の平均差は0になると考えた。この仮説を検定せよ。
Relaxed time (seconds)
くつろいだときの時間（秒）
Jumping time (seconds)
跳びはねたときの時間（秒）
26
21
47
40
30
28
22
21
23
25
45
43
37
35
29
32
Table 10.10表 10.10
Exercise 34問題 34
Mean entry-level salaries for college graduates with mechanical engineering degrees and electrical engineering degrees are believed to be approximately the same. A recruiting office thinks that the mean mechanical engineering salary is actually lower than the mean electrical engineering salary. The recruiting office randomly surveys 50 entry level mechanical engineers and 60 entry level electrical engineers. Their mean salaries were $46,100 and $46,700, respectively. Their standard deviations were $3,450 and $4,210, respectively. Conduct a hypothesis test to determine if you agree that the mean entry-level mechanical engineering salary is lower than the mean entry-level electrical engineering salary.
英語のヒント
機械工学と電気工学の学位を持つ大卒者の平均初任給はほぼ同じだと考えられている。ある採用事務所は、実際には機械工学の平均給与のほうが低いと考えている。就職したばかりの機械技術者50人と電気技術者60人を無作為に調べると、平均給与はそれぞれ46,100ドルと46,700ドル、標準偏差は3,450ドルと4,210ドルだった。機械技術者の平均初任給のほうが低いという考えに同意できるか、仮説検定を行え。
Solution解き方
Subscripts: 1: mechanical engineering; 2: electrical engineering
添字：1は機械工学、2は電気工学。
  1. H0: µ1 ≥ µ2
  2. Ha: µ1 < µ2
  3. X ¯ 1 − X ¯ 2 is the difference between the mean entry level salaries of mechanical engineers and electrical engineers.
    X ¯ 1 − X ¯ 2 は、機械技術者と電気技術者の平均初任給の差である。
  4. t108
  5. test statistic: t = –0.82
    検定統計量：t = −0.82
  6. p-value: 0.2061
    p値：0.2061
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Do not reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却しない。
    3. Reason for Decision: p-value > alpha
      判断の理由：p値 > α
    4. Conclusion: At the 5% significance level, there is insufficient evidence to conclude that the mean entry-level salaries of mechanical engineers is lower than that of electrical engineers.
      結論：有意水準5%では、機械技術者の平均初任給は電気技術者より低いと結論づける証拠は不十分である。
Exercise 35問題 35
Marketing companies have collected data implying that teenage girls use more social media apps on their smartphones than teenage boys do. In one particular study of 40 randomly chosen teenage girls and boys (20 of each) with smartphones, the mean number of social media apps for the girls was 3.2 with a standard deviation of 1.5. The mean for the boys was 1.7 with a standard deviation of 0.8. Conduct a hypothesis test to determine if the means are approximately the same or if the girls’ mean is higher than the boys’ mean.
英語のヒント
マーケティング企業は、10代の女子は男子よりスマートフォンで多くのSNSアプリを使うことを示唆するデータを集めてきた。ある研究では、スマートフォンを持つ10代の男女40人（各20人）を無作為に選んだ。女子のSNSアプリ数は平均3.2個、標準偏差1.5個、男子は平均1.7個、標準偏差0.8個だった。平均はほぼ同じなのか、それとも女子のほうが高いのかを調べる仮説検定を行え。
Exercises 36–39練習問題 36–39
Use the information from Data Sets to answer the next four exercises.
「データ集」の情報を用いて、次の4問に答えよ。
Exercise 36問題 36
Using the data from Lap 1 only, conduct a hypothesis test to determine if the mean time for completing a lap in races is the same as it is in practices.
第1周のデータだけを使い、レースと練習で1周を終える平均時間は同じかどうかを調べる仮説検定を行え。
Solution解き方
  1. H0: µ1 = µ2
  2. Ha: µ1 ≠ µ2
  3. X ¯ 1 − X ¯ 2 is the difference between the mean times for completing a lap in races and in practices.
    X ¯ 1 − X ¯ 2 は、レースと練習で1周を終える平均時間の差である。
  4. t20.32
  5. test statistic: –4.70
    検定統計量：−4.70
  6. p-value: 0.0001
    p値：0.0001
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却する。
    3. Reason for Decision: p-value < alpha
      判断の理由：p値 < α
    4. Conclusion: At the 5% significance level, there is sufficient evidence to conclude that the mean time for completing a lap in races is different from that in practices.
      結論：有意水準5%では、レースで1周を終える平均時間は練習時と異なると結論づける十分な証拠がある。
Exercise 37問題 37
Repeat the test in Exercise 10.83, but use Lap 5 data this time.
演習10.83の検定を、今度は第5周のデータを使って繰り返せ。
Exercise 38問題 38
Repeat the test in Exercise 10.83, but this time combine the data from Laps 1 and 5.
演習10.83の検定を、今度は第1周と第5周のデータを合わせて繰り返せ。
Solution解き方
  1. H0: µ1 = µ2
  2. Ha: µ1 ≠ µ2
  3. is the difference between the mean times for completing a lap in races and in practices.
    レースと練習で1周を終える平均時間の差である。
  4. t40.94
  5. test statistic: –5.08
    検定統計量：−5.08
  6. p-value: zero
    p値：0
  7. Answers may vary.
    解答はさまざまである。
    1. Alpha: 0.05
      α：0.05
    2. Decision: Reject the null hypothesis.
      判断：帰無仮説を棄却する。
    3. Reason for Decision: p-value < alpha
      判断の理由：p値 < α
    4. Conclusion: At the 5% significance level, there is sufficient evidence to conclude that the mean time for completing a lap in races is different from that in practices.
      結論：有意水準5%では、レースで1周を終える平均時間は練習時と異なると結論づける十分な証拠がある。
Exercise 39問題 39
In two to three complete sentences, explain in detail how you might use Terri Vogel’s data to answer the following question. “Does Terri Vogel drive faster in races than she does in practices?”
「テリ・ヴォーゲルは、練習よりレースで速く運転するか」という問いに答えるために、テリ・ヴォーゲルのデータをどう使えるか。完結した2～3文で詳しく説明せよ。