第10章2標本による仮説検定

Exercises 40–45練習問題 40–45

Use the following information to answer the next two exercises. The Eastern and Western Major League Soccer conferences have a new Reserve Division that allows new players to develop their skills. Data for a randomly picked date showed the following annual goals.

英語のヒント

以下の情報を用いて次の2問に答えよ。メジャーリーグ・サッカーの東西両カンファレンスには、新人選手が技術を磨くための新しいリザーブ部門がある。無作為に選んだ日付のデータから、その年のゴール数は次のとおりだった。

Table 10.11表 10.11
Western 西部	Eastern 東部
Los Angeles 9 ロサンゼルス 9	D.C. United 9 D.C.ユナイテッド 9
FC Dallas 3 FCダラス 3	Chicago 8 シカゴ 8
Chivas USA 4 チーバスUSA 4	Columbus 7 コロンバス 7
Real Salt Lake 3 レアル・ソルトレイク 3	New England 6 ニューイングランド 6
Colorado 4 コロラド 4	MetroStars 5 メトロスターズ 5
San Jose 4 サンノゼ 4	Kansas City 3 カンザスシティー 3

Conduct a hypothesis test to answer the next two exercises.

仮説検定を行って次の2問に答えよ。

Exercise 40問題 40

The exact distribution for the hypothesis test is:

この仮説検定の正確な分布はどれか。

the normal distribution
正規分布
the Student's t-distribution
スチューデントのt分布
the uniform distribution
一様分布
the exponential distribution
指数分布

Exercise 41問題 41

If the level of significance is 0.05, the conclusion is:

有意水準が0.05の場合、結論はどれか。

There is sufficient evidence to conclude that the W Division teams score fewer goals, on average, than the E teams
西部のチームの平均ゴール数は東部より少ないと結論づける十分な証拠がある。
There is insufficient evidence to conclude that the W Division teams score more goals, on average, than the E teams.
西部のチームの平均ゴール数は東部より多いと結論づける証拠は不十分である。
There is insufficient evidence to conclude that the W teams score fewer goals, on average, than the E teams score.
西部のチームの平均ゴール数は東部より少ないと結論づける証拠は不十分である。
Unable to determine
判断できない。

Solution解き方

Exercise 42問題 42

Suppose a statistics instructor believes that there is no significant difference between the mean class scores of statistics day students on Exam 2 and statistics night students on Exam 2. They take random samples from each of the populations. The mean and standard deviation for 35 statistics day students were 75.86 and 16.91. The mean and standard deviation for 37 statistics night students were 75.41 and 19.73. The “day” subscript refers to the statistics day students. The “night” subscript refers to the statistics night students. A concluding statement is:

ある統計学の教員は、昼間の統計クラスと夜間の統計クラスで、第2回試験の平均点に有意な差はないと考えている。それぞれの母集団から無作為標本を取った。昼間の学生35人の平均と標準偏差は75.86と16.91、夜間の学生37人では75.41と19.73だった。添字dayは昼間の学生、nightは夜間の学生を指す。結論は次のどれか。

There is sufficient evidence to conclude that statistics night students' mean on Exam 2 is better than the statistics day students' mean on Exam 2.
夜間の統計クラスの第2回試験の平均点は昼間よりよいと結論づける十分な証拠がある。
There is insufficient evidence to conclude that the statistics day students' mean on Exam 2 is better than the statistics night students' mean on Exam 2.
昼間の統計クラスの第2回試験の平均点は夜間よりよいと結論づける証拠は不十分である。
There is insufficient evidence to conclude that there is a significant difference between the means of the statistics day students and night students on Exam 2.
昼間と夜間の統計クラスの第2回試験の平均点には有意な差があると結論づける証拠は不十分である。
There is sufficient evidence to conclude that there is a significant difference between the means of the statistics day students and night students on Exam 2.
昼間と夜間の統計クラスの第2回試験の平均点には有意な差があると結論づける十分な証拠がある。

Exercise 43問題 43

Elijah wants to know whether textbook costs are different for different courses of study. He selects a random sample of 33 sociology textbooks offered on a popular online site. The mean price of his sample is $74.64 with a standard deviation of $49.36. He then selects a random sample of 33 math and science textbooks from the same site. The mean price of this sample is $111.56 with a standard deviation of $66.90. Is the mean price of a sociology textbook lower than the mean price of a math or science textbook? Test at a 1% significance level.

イライジャは、専攻によって教科書の価格が違うかを知りたい。人気のオンラインサイトから社会学の教科書33冊を無作為に選ぶと、標本の平均価格は74.64ドル、標準偏差は49.36ドルだった。次に、同じサイトから数学・自然科学の教科書33冊を無作為に選ぶと、平均価格は111.56ドル、標準偏差は66.90ドルだった。社会学の教科書の平均価格は数学・自然科学より低いか。有意水準1%で検定せよ。

Solution解き方

Test: two independent sample means, population standard deviations unknown.

検定：独立した2標本の平均、母標準偏差は未知。

μ_{1}

= the the mean price of a sociology text on the selected site.

μ_{1}

= 選んだサイトの社会学教科書の平均価格。

μ_{2}

= the mean price of a math/science text on the selected site.

μ_{2}

= 選んだサイトの数学・自然科学教科書の平均価格。

Random variable:

\bar{X_{1}} - \bar{X_{1}}

= the difference in the sample mean textbook price between sociology texts and math/science texts.

確率変数：

\bar{X_{1}} - \bar{X_{1}}

= 社会学教科書と数学・自然科学教科書の価格の標本平均の差。

Hypotheses:

H_{0} : μ_{1} - μ_{2} = 0, H_{a} : μ_{1} - μ_{2} < μ_{2}

which can be expressed as

H 0 s : μ 1 - μ 2, Ha μ 1 < μ 2

仮説：

H_{0} : μ_{1} - μ_{2} = 0, H_{a} : μ_{1} - μ_{2} < μ_{2}

。これは

H 0 s : μ 1 - μ 2, Ha μ 1 < μ 2

と表せる。

Distribution for the test: Use

t_{d f}

; because each sample has more than 30 observations,

d f = n_{1} + n_{2} - 2 = 33 + 33 - 2 = 64

検定の分布：

t_{d f}

を使う。各標本の観測数が30を超えるため、

d f = n_{1} + n_{2} - 2 = 33 + 33 - 2 = 64

。

Estimate the critical value on the

t

-table using the nearest available degrees of freedom, 60. The critical value, 2.660, is found in the .0005 column.

t

分布表で、使用できる最も近い自由度60を使って臨界値を推定する。.0005の列から臨界値2.660が得られる。

Calculate the test statistic:

t_{c} = \frac{({\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}) - 0}{\sqrt{\frac{{s_{1}}^{2}}{n_{2}} + \frac{{s_{2}}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(74.64 - 111.56) - 0}{\sqrt{\frac{49 . 36^{2}}{33} + \frac{66 . 90^{2}}{33}}} = - 2.55

検定統計量を計算する：

t_{c} = \frac{({\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}) - 0}{\sqrt{\frac{{s_{1}}^{2}}{n_{2}} + \frac{{s_{2}}^{2}}{n_{2}}}} = \frac{(74.64 - 111.56) - 0}{\sqrt{\frac{49 . 36^{2}}{33} + \frac{66 . 90^{2}}{33}}} = - 2.55

。

Using a calculator with

t_{c} = - 2.55

and

d f = 64

, the left-tailed

p

-value: Decision: Reject

H_{0}

. Conclusion: At the 1% level of significance, from the sample data, there is sufficient evidence to conclude that the mean price of sociology textbooks is less than the mean price of textbooks for math/science.

電卓に

t_{c} = - 2.55

と

d f = 64

を用い、左片側の

p

値を求める。判断：

H_{0}

を棄却する。結論：有意水準1%では、標本データから、社会学教科書の平均価格は数学・自然科学教科書より低いと結論づける十分な証拠がある。

Exercise 44問題 44

A powder diet is tested on 49 people, and a liquid diet is tested on 36 different people. Of interest is whether the liquid diet yields a higher mean weight loss than the powder diet. The powder diet group had a mean weight loss of 42 pounds with a standard deviation of 12 pounds. The liquid diet group had a mean weight loss of 45 pounds with a standard deviation of 14 pounds.

粉末食による減量法を49人に、液体食による減量法を別の36人に試す。液体食のほうが平均減量幅が大きいかどうかに関心がある。粉末食群は平均42ポンドの減量で標準偏差12ポンド、液体食群は平均45ポンドの減量で標準偏差14ポンドだった。

Exercise 45問題 45

Suppose a statistics instructor believes that there is no significant difference between the mean class scores of statistics day students on Exam 2 and statistics night students on Exam 2. They take random samples from each of the populations. The mean and standard deviation for 35 statistics day students were 75.86 and 16.91, respectively. The mean and standard deviation for 37 statistics night students were 75.41 and 19.73. The “day” subscript refers to the statistics day students. The “night” subscript refers to the statistics night students. An appropriate alternative hypothesis for the hypothesis test is:

ある統計学の教員は、昼間と夜間の統計クラスで第2回試験の平均点に有意な差はないと考えている。それぞれの母集団から無作為標本を取った。昼間の学生35人の平均と標準偏差はそれぞれ75.86と16.91、夜間の学生37人では75.41と19.73だった。添字dayは昼間の学生、nightは夜間の学生を指す。この検定に適した対立仮説は次のどれか。

μ_day > μ_night
μ_day < μ_night
μ_day = μ_night
μ_day ≠ μ_night

Solution解き方

Degrees of Freedom (df)

自由度（df）

the number of objects in a sample that are free to vary.

標本の中で自由に変化できる要素の数。

Standard Deviation

標準偏差

A number that is equal to the square root of the variance and measures how far data values are from their mean; notation: s for sample standard deviation and σ for population standard deviation.

分散の平方根に等しく、データ値が平均からどれだけ離れているかを測る数。標本標準偏差はs、母標準偏差はσで表す。

Variable (Random Variable)

変数（確率変数）

a characteristic of interest in a population being studied. Common notation for variables are upper-case Latin letters X, Y, Z,... Common notation for a specific value from the domain (set of all possible values of a variable) are lower-case Latin letters x, y, z,.... For example, if X is the number of children in a family, then x represents a specific integer 0, 1, 2, 3, .... Variables in statistics differ from variables in intermediate algebra in the two following ways.

研究対象の母集団で関心のある特性。変数は通常、大文字のラテン文字X、Y、Z、…で表す。定義域（変数の取りうるすべての値の集合）の特定の値は、通常、小文字のx、y、z、…で表す。たとえばXが1家族の子どもの数なら、xは0、1、2、3、…という特定の整数を表す。統計学の変数は、中級代数の変数と次の2点で異なる。

The domain of the random variable (RV) is not necessarily a numerical set; the domain may be expressed in words; for example, if X = hair color, then the domain is {black, blond, gray, green, orange}.
確率変数の定義域は、必ずしも数の集合ではなく、言葉で表される場合もある。たとえばX = 髪の色なら、定義域は{黒、金、灰、緑、オレンジ}である。
We can tell what specific value x of the random variable X takes only after performing the experiment.
確率変数Xが取る具体的な値xは、実験を行って初めてわかる。