第10章2標本による仮説検定

10.3 Comparing Two Independent Population Proportions10.3　独立した2つの母比率の比較

When conducting a hypothesis test that compares two independent population proportions, the following characteristics should be present:

独立した2つの母比率を比較する仮説検定を行う際には、次の条件が必要である。

The two independent samples are simple random samples that are independent.
2つの独立標本は、互いに独立な単純無作為標本である。
The number of successes is at least five, and the number of failures is at least five, for each of the samples.
各標本で、成功数と失敗数がともに少なくとも5である。
Growing literature states that the population must be at least ten or 20 times the size of the sample. This keeps each population from being over-sampled and causing incorrect results.
英語のヒント
母集団の大きさは標本の少なくとも10倍または20倍でなければならないとする文献が増えている。これにより、各母集団から抽出しすぎて結果が不正確になるのを防ぐ。

Comparing two proportions, like comparing two means, is common. If two estimated proportions are different, it may be due to a difference in the populations or it may be due to chance. A hypothesis test can help determine if a difference in the estimated proportions reflects a difference in the population proportions.

2つの割合の比較は、2つの平均の比較と同様、よく行われる。推定した2つの割合が異なる場合、母集団の違いによることも、偶然によることもある。仮説検定は、推定割合の差が母比率の差を反映しているかどうかの判断に役立つ。

Like the case of differences in sample means, we construct a sampling distribution for differences in sample proportions:

標本平均の差と同様に、標本比率の差の標本分布を構成する。

p'_{A} = \frac{X_{A}}{n_{A}}

and

p'_{B} = \frac{X_{B}}{n_{B}}

are the sample proportions for the two sets of data in question

X_{A}

and

X_{B}

p'_{A} = \frac{X_{A}}{n_{A}}

と

p'_{B} = \frac{X_{B}}{n_{B}}

は、対象とする2組のデータ

X_{A}

と

X_{B}

の標本比率である。

The difference of two proportions follows an approximate normal distribution. Generally, the null hypothesis states that the two proportions are the same. That is, H₀: p_A = p_B. To conduct the test, we use a pooled proportion, p_c.

2つの割合の差は、近似的に正規分布に従う。一般に帰無仮説は、2つの割合が等しいとする。すなわちH₀：p_A = p_Bである。検定にはプールした比率p_cを使う。

The pooled proportion is calculated as follows:プールした比率は次のように計算する。

p_{c} = \frac{x_{A} + x_{B}}{n_{A} + n_{B}}

The distribution for the differences is:差の分布は次のとおりである。

{P^{'}}_{A} - {P^{'}}_{B} ~ N [0, \sqrt{p_{c} (1 - p_{c}) (\frac{1}{n_{A}} + \frac{1}{n_{B}})}]

The test statistic (z-score) is:検定統計量（z得点）：

z = \frac{({p^{'}}_{A} - {p^{'}}_{B}) - (p_{A} - p_{B})}{\sqrt{p_{c} (1 - p_{c}) (\frac{1}{n_{A}} + \frac{1}{n_{B}})}}

Example 10.8例題 10.8

Two types of medication for hives are being tested to determine if there is a difference in the proportions of adult patient reactions. Twenty out of a random sample of 200 adults given medication A still had hives 30 minutes after taking the medication. Twelve out of another random sample of 200 adults given medication B still had hives 30 minutes after taking the medication. Test at a 1% level of significance.

英語のヒント

じんましんの2種類の薬について、成人患者の反応の割合に違いがあるかを調べる。薬Aを投与された成人200人の無作為標本では、20人に服薬30分後もじんましんが残っていた。薬Bを投与された別の成人200人の無作為標本では、12人に服薬30分後もじんましんが残っていた。有意水準1%で検定せよ。

Solution解き方

The problem asks for a difference in proportions, making it a test of two proportions.

問題は割合の違いを問うので、2つの割合の検定である。

Let A and B be the subscripts for medication A and medication B, respectively. Then p_A and p_B are the desired population proportions.

薬Aと薬Bの添字をそれぞれAとBとする。すると、p_Aとp_Bが求める母比率になる。

Random Variable: P′_A – P′_B = difference in the proportions of adult patients who did not react after 30 minutes to medication A and to medication B.

確率変数：P′_A – P′_B = 薬Aと薬Bに対して、30分後も反応しなかった成人患者の割合の差。

H₀: p_A = p_B

p_A – p_B = 0

H_a: p_A ≠ p_B

p_A – p_B ≠ 0

The words "is a difference" tell you the test is two-tailed.

「違いがある」という言葉から、両側検定だとわかる。

Distribution for the test: Since this is a test of two binomial population proportions, the distribution is normal:

検定の分布：2つの二項母集団の割合の検定なので、正規分布になる。

p_{c} = \frac{x_{A} + x_{B}}{n_{A} + n_{B}} = \frac{20 + 12}{200 + 200} = 0.08 1 - p_{c} = 0.92

{P^{'}}_{A} - {P^{'}}_{B} ~ N [0, \sqrt{(0.08) (0.92) (\frac{1}{200} + \frac{1}{200})}]

P′_A – P′_B follows an approximate normal distribution.

P′_A – P′_Bは、近似的に正規分布に従う。

Calculate the p-value using the normal distribution: p-value = 0.1404.

正規分布でp値を計算する：p値 = 0.1404。

Estimated proportion for group A:

{p^{'}}_{A} = \frac{x_{A}}{n_{A}} = \frac{20}{200} = 0.1

A群の推定割合：

{p^{'}}_{A} = \frac{x_{A}}{n_{A}} = \frac{20}{200} = 0.1

Estimated proportion for group B:

{p^{'}}_{B} = \frac{x_{B}}{n_{B}} = \frac{12}{200} = 0.06

B群の推定割合：

{p^{'}}_{B} = \frac{x_{B}}{n_{B}} = \frac{12}{200} = 0.06

Graph:

グラフ：

薬Aと薬Bに対し30分後も反応しなかった成人患者の割合の差の正規分布曲線。平均は0で、横軸には−0.04、0、0.04が表示される。−0.04と0.04から曲線まで垂直線が伸びる。−0.04より左と0.04より右の領域がそれぞれ塗られ、各面積が(1/2)×p値 = 0.0702を表す。 — Figure 10.8図 10.8

P′_A – P′_B = 0.1 – 0.06 = 0.04.

Half the p-value is below –0.04, and half is above 0.04.

p値の半分が−0.04より下側、半分が0.04より上側にある。

Compare α and the p-value: α = 0.01 and the p-value = 0.1404. α < p-value.

αとp値を比較する。α = 0.01、p値 = 0.1404。α < p値。

Make a decision: Since α < p-value, do not reject H₀.

判断する：α < p値なので、H₀を棄却しない。

Conclusion: At a 1% level of significance, from the sample data, there is not sufficient evidence to conclude that there is a difference in the proportions of adult patients who did not react after 30 minutes to medication A and medication B.

結論：有意水準1%では、標本データから、30分後も反応しなかった成人患者の割合が薬Aと薬Bで異なると結論づける証拠は不十分である。

Using the Calculator電卓の操作

Example 10.9例題 10.9

A research study was conducted about gender differences regarding the use of seat belts in motor vehicles. The researcher believed that the proportion of women not wearing seat belts is less than the proportion of men not wearing seat belts. The data collected represents a random sample of U.S. adults and is summarized in Table 10.18. Is the proportion of women not wearing seat belts less than the proportion of men not wearing seat belts? Test at a 1% level of significance.

自動車のシートベルト着用に関する男女差を調べる研究を行った。研究者は、シートベルトを着用しない女性の割合は男性より低いと考えていた。集めたデータは米国成人の無作為標本であり、表10.18にまとめてある。着用しない女性の割合は男性より低いか。有意水準1%で検定せよ。

Table 10.18表 10.18
	Men 男性	Women 女性
Does not wear seat belts シートベルトを着用しない	183	156
Total number surveyed 調査人数の合計	2231	2169

Solution解き方

This is a test of two population proportions. Let M and F be the subscripts for men and women. Then p_M and p_F are the desired population proportions.

これは2つの母比率の検定である。男性と女性の添字をMとFとする。すると、p_Mとp_Fが求める母比率になる。

Random Variable: p′_F − p′_M = difference in the proportions of men and women who do not wear seat belts.

確率変数：p′_F − p′_M = シートベルトを着用しない男女の割合の差。

H₀: p_F = p_M H₀: p_F – p_M = 0

H_a: p_F < p_M H_a: p_F – p_M < 0

The words "less than" tell you the test is left-tailed.

「より低い」という言葉から、左片側検定だとわかる。

Distribution for the test: Since this is a test of two population proportions, the distribution is normal:

検定の分布：2つの母比率の検定なので、正規分布になる。

p_{c} = \frac{x_{F} + x_{M}}{n_{F} + n_{M}} = \frac{156 + 183}{2169 + 2231} = 0 .077

1 - p_{c} = 0.923

Therefore,

{p^{'}}_{F} - {p^{'}}_{M} \sim N (0, \sqrt{(0.077) (0.923) (\frac{1}{2169} + \frac{1}{2231})})

p′_F – p′_M follows an approximate normal distribution.

p_{c} = \frac{x_{F} + x_{M}}{n_{F} + n_{M}} = \frac{156 + 183}{2169 + 2231} = 0 .077

、

1 - p_{c} = 0.923

。したがって

{p^{'}}_{F} - {p^{'}}_{M} \sim N (0, \sqrt{(0.077) (0.923) (\frac{1}{2169} + \frac{1}{2231})})

。p′_F – p′_Mは近似的に正規分布に従う。

Calculate the p-value using the normal distribution:
p-value = 0.1045
Estimated proportion for women: 0.0719
Estimated proportion for men: 0.082

正規分布でp値を計算する：p値 = 0.1045。女性の推定割合：0.0719。男性の推定割合：0.082。

Graph:

グラフ：

平均0の正規分布曲線。0より左の裾近くで、軸から曲線まで垂直線が伸びている。線より左の曲線下の領域が塗られ、p値 = 0.1045を表す。 — Figure 10.9図 10.9

Decision: Since α < p-value, Do not reject H₀

判断：α < p値なので、H₀を棄却しない。

Conclusion: At the 1% level of significance, from the sample data, there is not sufficient evidence to conclude that the proportion of women not wearing seat belts is less than the proportion of men not wearing seat belts.

結論：有意水準1%では、標本データから、シートベルトを着用しない女性の割合は男性より低いと結論づける証拠は不十分である。

Try Itやってみよう

A survey was conducted about the favorable beverage as tea. The data collected is summarized in the table. Is the proportion of men favoring tea more than women favoring tea? Test at a 1% level of significance.

お茶を好む飲み物とするかどうかの調査を行った。データを表にまとめる。お茶を好む男性の割合は女性より高いか。有意水準1%で検定せよ。

Table 10.19表 10.19
Men 男性	Women 女性
Favor tea お茶を好む	16	18
Total surveyed 調査人数の合計	230	218

Solution解答

Let

p_{M}

and

p_{F}

be desired population proportions.

求める母比率を

p_{M}

と

p_{F}

とする。

H_{0} : p_{F} = p_{M} H_{0} : p_{F} - p_{M} = 0

H_{0} : p_{F} < p_{M} H_{0} : p_{F} - p_{M} < 0

The test is for “less than,” so it is left-tailed.

「より小さい」ことを調べるので、左片側検定である。

Distribution for the test:

検定の分布：

p_{C} = \frac{x_{F} + x_{M}}{n_{F} + n_{M}} = \frac{18 + 16}{218 + 230} = 0.076

1 - p_{C} = 0.924

p'_{F} - p'_{M} ~ N (0, \sqrt{(0.076) (0.924) (\frac{1}{218} + \frac{1}{230})})

This follows an approximate normal distribution.

これは近似的に正規分布に従う。

Calculate the p-value using the normal distribution:

正規分布でp値を計算する。

p-value = 0.1023

p値 = 0.1023

Decision: Since

判断：次の理由による。

α < p - v a l u e

, do not reject

H_{0}

α < p値

なので、

H_{0}

を棄却しない。

Conclusion: At 1% level of significance, from the sample data, there is not sufficient evidence to conclude that the proportion of females favoring tea is less than the proportion of males favoring tea.

結論：有意水準1%では、標本データから、お茶を好む女性の割合は男性より低いと結論づける証拠は不十分である。

Using the Calculator電卓の操作

Example 10.10例題 10.10

A marketing firm claims that the proportion of younger adults who own electric vehicles is greater than the proportion of older adults who own electric vehicles. A random sample of U.S. adults was taken, and the results of the survey indicate the following:

あるマーケティング会社は、若年成人が電気自動車を所有する割合は、年長の成人より高いと主張する。米国成人の無作為標本を取り、次の調査結果を得た。

Out of a sample of 232 older adults (aged 35 or older), 5% own electric vehicles.
年長の成人（35歳以上）232人の標本では、5%が電気自動車を所有する。
Out of a sample of 1,343 young adults (aged 34 or younger), 10% own electric vehicles.
若年成人（34歳以下）1,343人の標本では、10%が電気自動車を所有する。

Test at the 5% level of significance. Is the proportion of younger adults greater than the proportion of older adults with respect to owning electric vehicles?

有意水準5%で検定せよ。電気自動車を所有する割合は、若年成人のほうが年長の成人より高いか。

Solution解き方

This is a test of two population proportions. Let Y and O be the subscripts for younger adults and older adults, respectively. Then pY and pO are the desired population proportions.

これは2つの母比率の検定である。若年成人と年長の成人の添字をそれぞれYとOとする。すると、pYとpOが求める母比率になる。

Random Variable: p’Y and p’O = difference in the proportions of younger and older adults who own electric vehicles.

確率変数：p’Yとp’O = 電気自動車を所有する若年成人と年長の成人の割合の差。

H_{0} : p_{Y} = p_{O} H_{0} : p_{Y} - p_{O} = 0

H_{a} : p_{Y} > p_{O} H_{a} : p_{Y} - p_{O} > 0

The words "greater than" indicate that the test is right-tailed.

「より高い」という言葉は、右片側検定であることを示す。

Distribution for the test: The distribution is approximately normal:

検定の分布：近似的に正規分布になる。

p_{c} = \frac{x_{y} + x_{o}}{n_{y} + n_{o}} = \frac{134 + 12}{1343 + 232} = 0.0927

1 - p_{c} = 0.9073

Therefore,

したがって、

p'_{y} - {p^{'}}_{O} ~ N (0, \sqrt{0.0927) (0.9073) (\frac{1}{1343} + \frac{1}{232})})

p'_{y} - {p^{'}}_{O}

follows an approximate normal distribution.

p'_{y} - {p^{'}}_{O}

は近似的に正規分布に従う。

Calculate the p-value using the normal distribution:
p-value = 0.0077
Estimated proportion for group Y: 0.10
Estimated proportion for group O: 0.05

正規分布でp値を計算する：p値 = 0.0077。Y群の推定割合：0.10。O群の推定割合：0.05。

Graph:

グラフ：

平均0の正規分布曲線。0より右の裾近くで、軸から曲線まで垂直線が伸びる。線より右の曲線下の領域が塗られ、p値 = 0.00004を表す。 — Figure 10.10図 10.10

Decision: Since  > p-value, reject the

H_{0}

判断：α > p値なので、

H_{0}

を棄却する。

Conclusion: At the 5% level of significance, from the sample data, there is sufficient evidence to conclude that a larger proportion of younger adults own electric vehicles as compared to older adults.

結論：有意水準5%では、標本データから、電気自動車を所有する割合は若年成人のほうが年長の成人より高いと結論づける十分な証拠がある。

Using the Calculator電卓の操作

Try Itやってみよう

A government researcher is investigating whether there is a difference in the use of helmets by motorcyclists in different geographic regions for those states where use of helmets is required by law. The research shows that for motorcyclists in the northeast U.S., 7622 out of 113,231 motorcyclists did not wear helmets. In the southeast U.S., 7439 out of 104,873 motorcyclists did not wear helmets. Test at a 5% significance level. Answer the following questions:

英語のヒント

政府の研究者が、ヘルメット着用を法律で義務づける州について、オートバイ運転者の着用状況に地域差があるかを調べている。米国北東部では113,231人中7,622人、南東部では104,873人中7,439人がヘルメットを着用していなかった。有意水準5%で検定せよ。以下の問いに答えよ。

a. Is this a test of two means or two proportions?

a. これは2つの平均の検定か、2つの割合の検定か。

Solution解答

two proportions

2つの比率

b. Which distribution do you use to perform the test?

b. 検定にはどの分布を使うか。

Solution解答

normal for two proportions

2つの比率に対する正規分布

c. What is the random variable?

c. 確率変数は何か。

Solution解答

Subscripts: 1 = Northeast, 2 = Southeast

添字：1 = 北東部、2 = 南東部。

P'_{2} - P'_{2}

d. What are the null and alternative hypothesis? Write the null and alternative hypothesis in symbols.

d. 帰無仮説と対立仮説は何か。記号で書け。

Solution解答

Subscripts: 1 = Northeast, 2 = Southeast

添字：1 = 北東部、2 = 南東部。

H_{0} : p_{1} = p_{2} H 0 : p 1_{} - p_{2} = 0

H_{a} : p_{1} \neq p_{2} H_{a} : p_{1} - p_{2} \neq 0

e. Is this test right-, left-, or two-tailed?

e. これは右片側、左片側、両側のどの検定か。

Solution解答

two-tailed

両側検定。

f. What is the p-value?

f. p値はいくらか。

Solution解答

p-value = 0.00086

p値 = 0.00086

平均0の正規分布曲線。両端の領域が塗られ、それぞれp値の半分 = 0.0004を表す。

g. Do you reject or not reject the null hypothesis?

g. 帰無仮説を棄却するか、棄却しないか。

Solution解答

Reject the H₀.

H₀を棄却する。

h. At the ___ level of significance, from the sample data, there ______ (is/is not) sufficient evidence to conclude that ____________.

h. 有意水準___では、標本データから、____________と結論づける十分な証拠が______（ある／ない）。

Solution解答

At the 5% significance level, from the sample data, there is sufficient evidence to conclude that there is a difference between the proportion of motorcyclists who did not wear helmets for northeast and southeast regions of the U.S.

有意水準5%では、標本データから、ヘルメットを着用しなかったオートバイ運転者の割合は米国北東部と南東部で異なると結論づける十分な証拠がある。

第10章2標本による仮説検定

10.3 Comparing Two Independent Population Proportions10.3 独立した2つの母比率の比較

The pooled proportion is calculated as follows:プールした比率は次のように計算する。

The distribution for the differences is:差の分布は次のとおりである。

The test statistic (z-score) is:検定統計量（z得点）：

10.3 Comparing Two Independent Population Proportions10.3　独立した2つの母比率の比較