第10章2標本による仮説検定

10.1 Two Population Means with Unknown Standard Deviations10.1　標準偏差が未知の2つの母平均

The two independent samples are simple random samples from two distinct populations.
2つの独立標本は、それぞれ異なる母集団から抽出した単純無作為標本である。
For the two distinct populations:
2つの異なる母集団について：
- if the sample sizes are small, the distributions are important (should be normal)
  標本が小さい場合、分布が重要になる（正規分布であるべきである）。
- if the sample sizes are large, the distributions are not important (need not be normal)
  標本が大きい場合、分布は重要ではない（正規分布である必要はない）。

The comparison of two population means is very common. A difference between the two samples depends on both the means and the standard deviations. Very different means can occur by chance if there is great variation among the individual samples. In order to account for the variation, we take the difference of the sample means,

{\bar{X}}_{1}

–

{\bar{X}}_{2}

, and divide by the standard error in order to standardize the difference. The result is a t-score test statistic.

英語のヒント

2つの母平均の比較は非常によく行われる。2つの標本の違いは、平均と標準偏差の両方に依存する。各標本の値のばらつきが大きい場合、偶然によって平均が大きく異なることもある。そのばらつきを考慮するため、標本平均の差

{\bar{X}}_{1}

–

{\bar{X}}_{2}

を取り、標準誤差で割って標準化する。こうして得られるのがt得点の検定統計量である。

Because we do not know the population standard deviations, we estimate them using the two sample standard deviations from our independent samples. For the hypothesis test, we calculate the estimated standard deviation, or standard error, of the difference in sample means,

{\bar{X}}_{1}

–

{\bar{X}}_{2}

母標準偏差は不明なので、独立標本から得た2つの標本標準偏差を使って推定する。仮説検定のために、標本平均の差

{\bar{X}}_{1}

–

{\bar{X}}_{2}

の標準偏差の推定値、すなわち標準誤差を計算する。

The standard error is:標準誤差は次のとおりである。

\sqrt{\frac{(s_{1})^{2}}{n_{1}} + \frac{(s_{2})^{2}}{n_{2}}}

The test statistic (t-score) is calculated as follows:

検定統計量（t得点）は次のように計算する。

\frac{({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}) - (μ_{1} - μ_{2})}{\sqrt{\frac{{(s_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(s_{2})}^{2}}{n_{2}}}}

where:ここで、

s₁ and s₂, the sample standard deviations, are estimates of σ₁ and σ₂, respectively.
標本標準偏差s₁とs₂は、それぞれσ₁とσ₂の推定値である。
σ₁ and σ₂ are the unknown population standard deviations.
σ₁とσ₂は未知の母標準偏差である。
${\bar{x}}_{1}$ and ${\bar{x}}_{2}$ are the sample means. μ₁ and μ₂ are the population means.
${\bar{x}}_{1}$ と ${\bar{x}}_{2}$ は標本平均である。μ₁とμ₂は母平均である。

The number of degrees of freedom (df) requires a somewhat complicated calculation. However, a computer or calculator calculates it easily. The df are not always a whole number. The test statistic calculated previously is approximated by the Student's t-distribution with df as follows:

自由度（df）を求めるには、やや複雑な計算が必要である。しかし、コンピューターや電卓なら簡単に計算できる。dfは必ずしも整数ではない。先ほど求めた検定統計量は、次の自由度dfを持つスチューデントのt分布で近似される。

Degrees of freedom自由度

d f = \frac{{(\frac{{(s_{1})}^{2}}{n_{1}} + \frac{{(s_{2})}^{2}}{n_{2}})}^{2}}{(\frac{1}{n_{1} - 1}) {(\frac{{(s_{1})}^{2}}{n_{1}})}^{2} + (\frac{1}{n_{2} - 1}) {(\frac{{(s_{2})}^{2}}{n_{2}})}^{2}}

When both sample sizes n₁ and n₂ are five or larger, the Student's t approximation is very good. Notice that the sample variances (s₁)² and (s₂)² are not pooled. (If the question comes up, do not pool the variances.)

英語のヒント

標本の大きさn₁とn₂がどちらも5以上であれば、スチューデントのt分布による近似は非常によい。標本分散(s₁)²と(s₂)²をプールしないことに注意する。（選択を求められても、分散をプールしてはならない。）

Example 10.1例題 10.1

Independent groups独立した集団

The average amount of time boys and girls aged seven to 11 spend playing sports each day is believed to be the same. A study is done and data are collected, resulting in the data in Table 10.1. Each populations has a normal distribution.

7～11歳の男子と女子が1日にスポーツをする平均時間は同じだと考えられている。研究でデータを集め、表10.1の結果を得た。各母集団は正規分布に従う。

Table 10.1表 10.1
	Sample Size 標本の大きさ	Average Number of Hours Playing Sports Per Day 1日にスポーツをする平均時間	Sample Standard Deviation 標本標準偏差
Girls 女子	9	2	$0.866$
Boys 男子	16	3.2	1.00

Is there a difference in the mean amount of time boys and girls aged seven to 11 play sports each day? Test at the 5% level of significance.

7～11歳の男子と女子では、1日にスポーツをする平均時間に違いがあるか。有意水準5%で検定せよ。

Solution解き方

The population standard deviations are not known. Let g be the subscript for girls and b be the subscript for boys. Then, μ_g is the population mean for girls and μ_b is the population mean for boys. This is a test of two independent groups, two population means.

母標準偏差は不明である。女子の添字をg、男子の添字をbとする。するとμ_gは女子の母平均、μ_bは男子の母平均となる。これは、独立した2集団の2つの母平均の検定である。

Random variable:

{\bar{X}}_{g} - {\bar{X}}_{b}

= difference in the sample mean amount of time girls and boys play sports each day.
H₀: μ_g = μ_b H₀: μ_g – μ_b = 0
H_a: μ_g ≠ μ_b H_a: μ_g – μ_b ≠ 0
The words "the same" tell you H₀ has an "=". Since there are no other words to indicate H_a, assume it says "is different." This is a two-tailed test.

確率変数：

{\bar{X}}_{g} - {\bar{X}}_{b}

= 女子と男子が1日にスポーツをする時間の標本平均の差。H₀：μ_g = μ_b。H₀：μ_g – μ_b = 0。H_a：μ_g ≠ μ_b。H_a：μ_g – μ_b ≠ 0。「同じ」という言葉から、H₀には「=」が入る。H_aを指定するほかの言葉はないため、「異なる」と仮定する。これは両側検定である。

Distribution for the test: Use t_df where df is calculated using the df formula for independent groups, two population means. Using a calculator, df is approximately 18.8462. Do not pool the variances.

検定の分布：t_dfを用いる。dfは独立した2集団の2つの母平均に対する自由度の公式で求める。電卓を使うと、dfは約18.8462となる。分散はプールしない。

Calculate the p-value using a Student's t-distribution: p-value = 0.0054

スチューデントのt分布を使ってp値を計算する。p値 = 0.0054。

Graph:

グラフ：

女子と男子が1日にスポーツをする平均時間の差を示す正規分布曲線。平均は0で、横軸には−1.2、0、1.2が表示されている。−1.2と1.2から曲線まで垂直線が伸び、x = −1.2より左とx = 1.2より右の領域がp値を表すように塗られている。各領域の面積は0.0028。 — Figure 10.2図 10.2

s_{g} = 0.866

s_{b} = 1

So,

{\bar{x}}_{g} - {\bar{x}}_{b}

= 2 – 3.2 = –1.2
Half the p-value is below –1.2 and half is above 1.2.

s_{g} = 0.866

、

s_{b} = 1

。したがって、

{\bar{x}}_{g} - {\bar{x}}_{b}

= 2 – 3.2 = −1.2。p値の半分が−1.2より下側、半分が1.2より上側にある。

Make a decision: Since α > p-value, reject H₀. This means you reject μ_g = μ_b. The means are different.

判断：α > p値なので、H₀を棄却する。つまりμ_g = μ_bを棄却する。平均は異なる。

Using the Calculator電卓の操作

Press STAT. Arrow over to TESTS and press 4:2-SampTTest. Arrow over to Stats and press ENTER. Arrow down and enter 2 for the first sample mean, $0.866$ for Sx1, 9 for n1, 3.2 for the second sample mean, 1 for Sx2, and 16 for n2. Arrow down to μ1: and arrow to does not equal μ2. Press ENTER. Arrow down to Pooled: and No. Press ENTER. Arrow down to Calculate and press ENTER. The p-value is p = 0.0054, the dfs are approximately 18.8462, and the test statistic is -3.14. Do the procedure again but instead of Calculate do Draw.

STATを押す。矢印キーでTESTSに移動して4:2-SampTTestを選ぶ。Statsに移動してENTERを押す。下へ移動し、第1標本平均に2、Sx1に

0.866

、n1に9、第2標本平均に3.2、Sx2に1、n2に16を入力する。μ1:へ移動し、μ2と等しくないという選択肢を選んでENTERを押す。Pooled:へ移動してNoを選び、ENTERを押す。Calculateへ移動し、ENTERを押す。p値はp = 0.0054、自由度は約18.8462、検定統計量は−3.14となる。同じ操作を繰り返し、今度はCalculateの代わりにDrawを選ぶ。

Conclusion: At the 5% level of significance, the sample data show there is sufficient evidence to conclude that the mean number of hours that girls and boys aged seven to 11 play sports per day is different (mean number of hours boys aged seven to 11 play sports per day is greater than the mean number of hours played by girls OR the mean number of hours girls aged seven to 11 play sports per day is greater than the mean number of hours played by boys).

結論：有意水準5%では、標本データから、7～11歳の男子と女子が1日にスポーツをする平均時間は異なると結論づける十分な証拠がある（男子の平均時間が女子より長い、または女子の平均時間が男子より長い）。

Try Itやってみよう

Two samples are shown in Table 10.2. Both have normal distributions. The means for the two populations are thought to be the same. Is there a difference in the means? Test at the 5% level of significance.

表10.2に2つの標本を示す。どちらも正規分布に従う。2つの母平均は同じだと考えられている。平均に違いはあるか。有意水準5%で検定せよ。

Table 10.2表 10.2
	Sample Size 標本の大きさ	Sample Mean 標本平均	Sample Standard Deviation 標本標準偏差
Population A 母集団A	25	5	1
Population B 母集団B	16	4.7	1.2

Example 10.2例題 10.2

A study is done by a community group in two neighboring colleges to determine which one graduates students with more math classes. College A samples 11 graduates. Their average is four math classes with a standard deviation of 1.5 math classes. College B samples nine graduates. Their average is 3.5 math classes with a standard deviation of one math class. The community group believes that a student who graduates from college A has taken more math classes, on the average. Both populations have a normal distribution. Test at a 1% significance level. Answer the following questions.

地域団体が、近隣の2大学のうち、どちらの卒業生が数学の授業を多く履修しているかを調査する。大学Aは卒業生11人を標本とし、平均履修数4科目、標準偏差1.5科目を得た。大学Bは卒業生9人を標本とし、平均履修数3.5科目、標準偏差1科目を得た。地域団体は、大学Aの卒業生のほうが平均で多くの数学の授業を履修していると考えている。両母集団は正規分布に従う。有意水準1%で検定せよ。以下の問いに答えよ。

a. Is this a test of two means or two proportions?

a. これは2つの平均の検定か、2つの割合の検定か。

Solution解き方

a. two means

a. 2つの平均。

b. Are the populations standard deviations known or unknown?

b. 母標準偏差は既知か、未知か。

Solution解き方

b. unknown

b. 未知。

c. Which distribution do you use to perform the test?

c. 検定にはどの分布を使うか。

Solution解き方

c. Student's t

c. スチューデントのt分布。

d. What is the random variable?

d. 確率変数は何か。

Solution解き方

{\bar{X}}_{A} - {\bar{X}}_{B}

e. What are the null and alternate hypotheses? Write the null and alternate hypotheses in words and in symbols.

e. 帰無仮説と対立仮説は何か。言葉と記号で書け。

Solution解き方

$H_{o} : μ_{A} \leq μ_{B}$
$H_{a} : μ_{A} > μ_{B}$

f. Is this test right-, left-, or two-tailed?

f. これは右片側、左片側、両側のどの検定か。

Solution解き方

平均0の正規分布曲線。0の右側の裾近くに、軸から曲線まで垂直線が伸びている。その線より右の曲線下の領域が塗られている。 — Figure 10.3図 10.3

right

右片側。

g. What is the p-value?

g. p値はいくらか。

Solution解き方

g. 0.1928

h. Do you reject or not reject the null hypothesis?

h. 帰無仮説を棄却するか、棄却しないか。

Solution解き方

h. Do not reject.

h. 棄却しない。

i. Conclusion:

i. 結論：

Solution解き方

i. At the 1% level of significance, from the sample data, there is not sufficient evidence to conclude that a student who graduates from college A has taken more math classes, on the average, than a student who graduates from college B.

i. 有意水準1%では、標本データから、大学Aの卒業生は大学Bの卒業生より平均して多くの数学の授業を履修していると結論づける証拠は不十分である。

Try Itやってみよう

A study is done to determine if Company A retains its workers longer than Company B. Company A samples 15 workers, and their average time with the company is five years with a standard deviation of 1.2. Company B samples 20 workers, and their average time with the company is 4.5 years with a standard deviation of 0.8. The populations are normally distributed.

英語のヒント

A社はB社より従業員が長く勤めるかどうかを調べる研究を行う。A社は15人を標本とし、平均勤続年数5年、標準偏差1.2年を得た。B社は20人を標本とし、平均勤続年数4.5年、標準偏差0.8年を得た。母集団は正規分布に従う。

Are the population standard deviations known?
母標準偏差は既知か。
Conduct an appropriate hypothesis test. At the 5% significance level, what is your conclusion?
適切な仮説検定を行え。有意水準5%で、どのような結論になるか。

Example 10.3例題 10.3

A professor at a large community college wanted to determine whether there is a difference in the means of final exam scores between students who took his statistics course online and the students who took his face-to-face statistics class. He believed that the mean of the final exam scores for the online class would be lower than that of the face-to-face class. Was the professor correct? The randomly selected 30 final exam scores from each group are listed in Table 10.3 and Table 10.4.

英語のヒント

大規模なコミュニティ・カレッジの教授は、自分の統計学をオンラインで受講した学生と対面で受講した学生で、期末試験の平均点に違いがあるかどうかを知りたかった。教授はオンライン授業の平均点のほうが対面授業より低いだろうと考えていた。教授の考えは正しいか。各集団から無作為に選んだ30人分の期末試験の得点を表10.3と表10.4に示す。

Online Classオンライン授業

Table 10.3表 10.3
67.6	41.2	85.3	55.9	82.4	91.2	73.5	94.1	64.7	64.7
70.6	38.2	61.8	88.2	70.6	58.8	91.2	73.5	82.4	35.5
94.1	88.2	64.7	55.9	88.2	97.1	85.3	61.8	79.4	79.4

Face-to-face Class対面授業

Table 10.4表 10.4
77.9	95.3	81.2	74.1	98.8	88.2	85.9	92.9	87.1	88.2
69.4	57.6	69.4	67.1	97.6	85.9	88.2	91.8	78.8	71.8
98.8	61.2	92.9	90.6	97.6	100	95.3	83.5	92.9	89.4

Is the mean of the Final Exam scores of the online class lower than the mean of the Final Exam scores of the face-to-face class? Test at a 5% significance level. Answer the following questions:

オンライン授業の期末試験の平均点は、対面授業の期末試験の平均点より低いか。有意水準5%で検定せよ。以下の問いに答えよ。

Is this a test of two means or two proportions?
これは2つの平均の検定か、2つの比率の検定か。
Are the population standard deviations known or unknown?
母標準偏差は既知か、未知か。
Which distribution do you use to perform the test?
検定にはどの分布を使うか。
What is the random variable?
確率変数は何か。
What are the null and alternative hypotheses? Write the null and alternative hypotheses in words and in symbols.
帰無仮説と対立仮説は何か。それぞれを言葉と記号で書く。
Is this test right, left, or two tailed?
これは右片側、左片側、両側のどの検定か。
What is the p-value?
p値はいくつか。
Do you reject or not reject the null hypothesis?
帰無仮説を棄却するか、棄却しないか。
At the ___ level of significance, from the sample data, there ______ (is/is not) sufficient evidence to conclude that ______.
有意水準___では、標本データから、______と結論づける十分な証拠が______（ある／ない）。

(See the conclusion in Example 10.2, and write yours in a similar fashion)

（例10.2の結論を参照し、同じような形で自分の結論を書け。）

Solution解き方

two means
2つの平均。
unknown
未知
Student's t
スチューデントのt分布。
${\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}$
1. H₀: μ₁ = μ₂ Null hypothesis: the means of the final exam scores are equal for the online and face-to-face statistics classes.
  H₀：μ₁ = μ₂。帰無仮説：オンラインと対面の統計学授業では、期末試験の平均点は等しい。
2. H_a: μ₁ < μ₂ Alternative hypothesis: the mean of the final exam scores of the online class is less than the mean of the final exam scores of the face-to-face class.
  H_a：μ₁ < μ₂。対立仮説：オンライン授業の期末試験の平均点は、対面授業の平均点より低い。
left-tailed
左片側。
p-value = 0.0011
p値 = 0.0011

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Figure 10.4図 10.4
Reject the null hypothesis
帰無仮説を棄却する。
The professor was correct. The evidence shows that the mean of the final exam scores for the online class is lower than that of the face-to-face class.
At the 5% level of significance, from the sample data, there is (is/is not) sufficient evidence to conclude that the mean of the final exam scores for the online class is less than the mean of final exam scores of the face-to-face class.
教授の考えは正しかった。証拠は、オンライン授業の期末試験の平均点が対面授業より低いことを示す。有意水準5%では、標本データから、オンライン授業の期末試験の平均点は対面授業より低いと結論づける十分な証拠がある（ある／ない）。

Using the Calculator電卓の操作

First put the data for each group into two lists (such as L1 and L2). Press STAT. Arrow over to TESTS and press 4:2SampTTest. Make sure Data is highlighted and press ENTER. Arrow down and enter L1 for the first list and L2 for the second list. Arrow down to μ₁: and arrow to < μ₂ (less than). Press ENTER. Arrow down to Pooled: No. Press ENTER. Arrow down to Calculate and press ENTER.

まず、各集団のデータを2つのリスト（L1とL2など）に入力する。STATを押し、矢印キーでTESTSに移動して4:2SampTTestを選ぶ。Dataが選択されていることを確かめてENTERを押す。下へ移動し、第1リストにL1、第2リストにL2を入力する。μ₁:へ移動し、< μ₂（より小さい）を選んでENTERを押す。Pooled: Noへ移動してENTERを押し、Calculateへ移動してENTERを押す。

Try Itやってみよう

Two professors, A and B, teach classes on the same subjects. Scores of 10 students from each class are selected randomly. The final exam scores of the students are as follows:

教授Aと教授Bは同じ科目を教えている。それぞれのクラスから10人の得点を無作為に選ぶ。期末試験の得点は次のとおりである。

Professor A:教授A：

Table 10.5表 10.5
97	62	73	58	84
74	66	93	73	85

Professor B:教授B：

Table 10.6表 10.6
85	64	74	55	76
67	72	84	71	98

Professor A says that the mean score of their class is more than the mean of professor B’s class. Is professor A correct? Test at a 5% significance level. Answer the following questions:

教授Aは、自分のクラスの平均点は教授Bのクラスより高いと言っている。教授Aは正しいか。有意水準5%で検定せよ。以下の問いに答えよ。

Is this a test of two means or two proportions?
これは2つの平均の検定か、2つの比率の検定か。
Are the population standard deviations known or unknown?
母標準偏差は既知か、未知か。
Which distribution do you use to perform the test?
検定にはどの分布を使うか。
What is the random variable?
確率変数は何か。
What are the null and alternative hypotheses? Write the null and alternative hypotheses in words and in symbols.
帰無仮説と対立仮説は何か。それぞれを言葉と記号で書く。
Is this test right-, left-, or two-tailed?
これは右片側、左片側、両側のどの検定か。
What is the p-value?
p値はいくつか。
Do you reject or not reject the null hypothesis?
帰無仮説を棄却するか、棄却しないか。
At the ___ level of significance, from the sample data, there ___ (is/is not) sufficient evidence to conclude that ___.
有意水準___では、標本データから、___と結論づける十分な証拠が___（ある／ない）。

Solution解答

two means
2つの平均。
unknown
未知
Student’s t
スチューデントのt分布。
$X_{1} - X_{2}$
1. $H_{0} : μ_{1} = μ_{2}$ Null hypothesis: the means of final exam scores are equal for both professors.
  $H_{0} : μ_{1} = μ_{2}$ 。帰無仮説：両教授のクラスの期末試験の平均点は等しい。
2. $H_{0} : μ_{2} < μ_{1}$ Alternative hypothesis: the mean of final exam scores for class of professor B is less than mean of final exam scores for class of professor A.
  $H_{0} : μ_{2} < μ_{1}$ 。対立仮説：教授Bのクラスの期末試験の平均点は、教授Aのクラスより低い。
left-tailed
左片側。
p-value = 0.03
p値 = 0.03
Reject the null hypothesis.
帰無仮説を棄却する。
Professor A is correct. The evidence shows that the mean of final exam scores of the class of professor A is more than that of the class of professor B.
At the 5% level of significance, from the sample data, there is (is/is not) sufficient evidence to conclude that the mean of final exam scores of the class of professor A is more than that of the class of professor B.
教授Aは正しい。証拠は、教授Aのクラスの期末試験の平均点が教授Bのクラスより高いことを示す。有意水準5%では、標本データから、教授Aのクラスの期末試験の平均点は教授Bのクラスより高いと結論づける十分な証拠がある（ある／ない）。

Cohen's Standards for Small, Medium, and Large Effect Sizes効果量の小・中・大を判断するコーエンの基準

Cohen's d is a measure of effect size based on the differences between two means. Cohen’s d, named for United States statistician Jacob Cohen, measures the relative strength of the differences between the means of two populations based on sample data. The calculated value of effect size is then compared to Cohen’s standards of small, medium, and large effect sizes.

英語のヒント

コーエンのdは、2つの平均の差に基づく効果量の指標である。米国の統計学者ジェイコブ・コーエンにちなんで名付けられ、標本データに基づいて2つの母平均の差の相対的な大きさを測る。計算された効果量を、コーエンの小・中・大の効果量の基準と比較する。

Cohen's Standard Effect Sizesコーエンの効果量の基準

Table 10.7表 10.7
Size of effect 効果の大きさ	d
Small 小	0.2
medium 中	0.5
Large 大	0.8

Cohen's d is the measure of the difference between two means divided by the pooled standard deviation:

d = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{s_{p o o l e d}}

where

s_{p o o l e d} = \sqrt{\frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}}

コーエンのdは、2つの平均の差をプールした標準偏差で割った指標である：

d = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{s_{p o o l e d}}

。ここで

s_{p o o l e d} = \sqrt{\frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}}

。

Example 10.4例題 10.4

Calculate Cohen’s d for Example 10.2. Is the size of the effect small, medium, or large? Explain what the size of the effect means for this problem.

例10.2のコーエンのdを計算せよ。効果の大きさは小・中・大のどれか。この問題で効果の大きさが何を意味するか説明せよ。

Solution解き方

μ₁ = 4 s₁ = 1.5 n₁ = 11
μ₂ = 3.5 s₂ = 1 n₂ = 9
d = 0.384
The effect is small because 0.384 is between Cohen’s value of 0.2 for small effect size and 0.5 for medium effect size. The size of the differences of the means for the two colleges is small indicating that there is not a significant difference between them.

μ₁ = 4、s₁ = 1.5、n₁ = 11、μ₂ = 3.5、s₂ = 1、n₂ = 9、d = 0.384。0.384は、コーエンの小さい効果量の基準0.2と中程度の基準0.5の間なので、効果は小さい。2大学の平均の差は小さく、両者に有意な違いがないことを示す。

Try Itやってみよう

Calculate Cohen’s d for Try It. Is the size of the effect small, medium, or large? Explain what the size of the effect means for this problem.

「やってみよう」のコーエンのdを計算せよ。効果の大きさは小・中・大のどれか。この問題で効果の大きさが何を意味するか説明せよ。

Solution解答

μ_{1} = 5

s_{1} = 1.2

n_{1} = 15

μ_{2} = 4.5

s_{2} = 0.8

n_{2} = 20

d = 0.49

The effect is medium because 0.49 is very close to Cohen’s value of 0.5 for medium effect size. The size of the differences of the means for the two companies is small, indicating that there is not a significant difference between them.

0.49はコーエンの中程度の効果量の基準0.5に非常に近いので、効果は中程度である。2社の平均の差は小さく、両者に有意な違いがないことを示す。

Example 10.5例題 10.5

Calculate Cohen’s d for Example 10.3. Is the size of the effect small, medium or large? Explain what the size of the effect means for this problem.

例10.3のコーエンのdを計算せよ。効果の大きさは小・中・大のどれか。この問題で効果の大きさが何を意味するか説明せよ。

Solution解き方

d = 0.834; Large, because 0.834 is greater than Cohen’s 0.8 for a large effect size. The size of the differences between the means of the Final Exam scores of online students and students in a face-to-face class is large indicating a significant difference.

d = 0.834。大きな効果である。0.834が、コーエンの大きい効果量の基準0.8を超えるからだ。オンライン受講生と対面授業の受講生の期末試験の平均点の差は大きく、有意な違いを示す。

Try Itやってみよう

Weighted alpha is a measure of risk-adjusted performance of stocks over a period of a year. A high positive weighted alpha signifies a stock whose price has risen while a small positive weighted alpha indicates an unchanged stock price during the time period. Weighted alpha is used to identify companies with strong upward or downward trends. The weighted alpha for the top 30 stocks of banks in the northeast and in the west as identified by Nasdaq on May 24, 2013 are listed in Table 10.8 and Table 10.9, respectively.

英語のヒント

加重αは、1年間の株式のリスク調整済み運用成績を測る指標である。大きな正の加重αは株価が上昇した銘柄を示し、小さな正の加重αは期間中の株価が変わらなかったことを示す。加重αは、強い上昇傾向または下降傾向にある企業を見つけるために使われる。ナスダックが2013年5月24日に特定した、北東部と西部の銀行株それぞれ上位30銘柄の加重αを、表10.8と表10.9に示す。

Northeast北東部

Table 10.8表 10.8
94.2	75.2	69.6	52.0	48.0	41.9	36.4	33.4	31.5	27.6
77.3	71.9	67.5	50.6	46.2	38.4	35.2	33.0	28.7	26.5
76.3	71.7	56.3	48.7	43.2	37.6	33.7	31.8	28.5	26.0

West西部

Table 10.9表 10.9
126.0	70.6	65.2	51.4	45.5	37.0	33.0	29.6	23.7	22.6
116.1	70.6	58.2	51.2	43.2	36.0	31.4	28.7	23.5	21.6
78.2	68.2	55.6	50.3	39.0	34.1	31.0	25.3	23.4	21.5

Is there a difference in the weighted alpha of the top 30 stocks of banks in the northeast and in the west? Test at a 5% significance level. Answer the following questions:

北東部と西部の銀行株上位30銘柄の加重αに違いはあるか。有意水準5%で検定せよ。以下の問いに答えよ。

Is this a test of two means or two proportions?
これは2つの平均の検定か、2つの比率の検定か。
Are the population standard deviations known or unknown?
母標準偏差は既知か、未知か。
Which distribution do you use to perform the test?
検定にはどの分布を使うか。
What is the random variable?
確率変数は何か。
What are the null and alternative hypotheses? Write the null and alternative hypotheses in words and in symbols.
帰無仮説と対立仮説は何か。それぞれを言葉と記号で書く。
Is this test right, left, or two tailed?
これは右片側、左片側、両側のどの検定か。
What is the p-value?
p値はいくつか。
Do you reject or not reject the null hypothesis?
帰無仮説を棄却するか、棄却しないか。
At the ___ level of significance, from the sample data, there ______ (is/is not) sufficient evidence to conclude that ______.
有意水準___では、標本データから、______と結論づける十分な証拠が______（ある／ない）。
Calculate Cohen’s d and interpret it.
コーエンのdを計算し、解釈せよ。

第10章2標本による仮説検定

10.1 Two Population Means with Unknown Standard Deviations10.1 標準偏差が未知の2つの母平均

The standard error is:標準誤差は次のとおりである。

where:ここで、

Degrees of freedom自由度

Independent groups独立した集団

Online Classオンライン授業

Face-to-face Class対面授業

Cohen's Standards for Small, Medium, and Large Effect Sizes効果量の小・中・大を判断するコーエンの基準

Cohen's Standard Effect Sizesコーエンの効果量の基準

10.1 Two Population Means with Unknown Standard Deviations10.1　標準偏差が未知の2つの母平均