第3章確率
3.2 Independent and Mutually Exclusive Events3.2 独立な事象と排反な事象
Independent and mutually exclusive do not mean the same thing.
独立と排反は、同じ意味ではない。
Independent Events独立な事象
Two events are independent if the following are true:
次の条件が成り立つとき、二つの事象は独立である。
- P(A|B) = P(A)
- P(B|A) = P(B)
- P(A AND B) = P(A)P(B)
Two events A and B are independent events if the knowledge that one occurred does not affect the chance the other occurs. For example, the outcomes of two roles of a fair die are independent events. The outcome of the first roll does not change the probability for the outcome of the second roll. To show two events are independent, you must show only one of the above conditions. If two events are NOT independent, then we say that they are dependent events.
英語のヒント
一方が起こったと知っても、他方が起こる可能性が変わらないとき、二つの事象AとBは独立な事象である。たとえば、公平なさいころを2回投げたとき、それぞれの結果は独立な事象である。1回目の結果によって、2回目の結果の確率は変わらない。二つの事象が独立であると示すには、上の条件のどれか一つを示せばよい。二つの事象が独立でない場合、それらは従属な事象であるという。
Sampling may be done with replacement or without replacement.
標本抽出には、復元抽出と非復元抽出がある。
- With replacement: If each member of a population is replaced after it is picked, then that member has the possibility of being chosen more than once. When sampling is done with replacement, then events are considered to be independent, meaning the result of the first pick will not change the probabilities for the second pick.復元抽出：母集団の各要素を選ぶたびに元に戻すなら、その要素が2回以上選ばれる可能性がある。復元抽出では事象は独立と見なされる。つまり、1回目に選んだ結果は、2回目の抽出の確率を変えない。
- Without replacement: When sampling is done without replacement, each member of a population may be chosen only once. In this case, the probabilities for the second pick are affected by the result of the first pick. The events are considered to be dependent or not independent.非復元抽出：選んだ要素を元に戻さない抽出では、母集団の各要素は1回しか選ばれない。この場合、2回目の抽出の確率は、1回目に選んだ結果の影響を受ける。事象は従属、すなわち独立ではないと見なされる。
If it is not known whether A and B are independent or dependent, assume they are dependent until you can show otherwise.
英語のヒント
AとBが独立か従属か分からない場合は、そうでないことを示せるまでは従属であると仮定する。
Example 3.4例題 3.4
You have a fair, well-shuffled deck of 52 cards. It consists of four suits. The suits are clubs, diamonds, hearts and spades. There are 13 cards in each suit consisting of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Q (queen), K (king) of that suit.
英語のヒント
公平で、よく切った52枚のトランプがある。スートはクラブ、ダイヤ、ハート、スペードの4種類である。各スートには1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J（ジャック）、Q（クイーン）、K（キング）の13枚がある。
a. Sampling with replacement:
Suppose you pick three cards with replacement. The first card you pick out of the 52 cards is the Q of spades. You put this card back, reshuffle the cards and pick a second card from the 52-card deck. It is the ten of clubs. You put this card back, reshuffle the cards and pick a third card from the 52-card deck. This time, the card is the Q of spades again. Your picks are {Q of spades, ten of clubs, Q of spades}. You have picked the Q of spades twice. You pick each card from the 52-card deck.
Suppose you pick three cards with replacement. The first card you pick out of the 52 cards is the Q of spades. You put this card back, reshuffle the cards and pick a second card from the 52-card deck. It is the ten of clubs. You put this card back, reshuffle the cards and pick a third card from the 52-card deck. This time, the card is the Q of spades again. Your picks are {Q of spades, ten of clubs, Q of spades}. You have picked the Q of spades twice. You pick each card from the 52-card deck.
a. 復元抽出：カードを元に戻しながら3枚選ぶとする。52枚から最初に引いたカードはスペードのQである。このカードを戻し、よく切り直して52枚から2枚目を引くと、クラブの10だった。このカードも戻し、よく切り直して52枚から3枚目を引く。今回は再びスペードのQだった。選んだカードは{スペードのQ、クラブの10、スペードのQ}である。スペードのQを2回選んだことになる。毎回52枚の中から1枚を選んでいる。
b. Sampling without replacement:
Suppose you pick three cards without replacement. The first card you pick out of the 52 cards is the K of hearts. You put this card aside and pick the second card from the 51 cards remaining in the deck. It is the three of diamonds. You put this card aside and pick the third card from the remaining 50 cards in the deck. The third card is the J of spades. Your picks are {K of hearts, three of diamonds, J of spades}. Because you have picked the cards without replacement, you cannot pick the same card twice.
Suppose you pick three cards without replacement. The first card you pick out of the 52 cards is the K of hearts. You put this card aside and pick the second card from the 51 cards remaining in the deck. It is the three of diamonds. You put this card aside and pick the third card from the remaining 50 cards in the deck. The third card is the J of spades. Your picks are {K of hearts, three of diamonds, J of spades}. Because you have picked the cards without replacement, you cannot pick the same card twice.
b. 非復元抽出：カードを元に戻さずに3枚選ぶとする。52枚から最初に引いたカードはハートのKである。このカードを脇に置き、残る51枚から2枚目を引くと、ダイヤの3だった。このカードも脇に置き、残る50枚から3枚目を引く。3枚目はスペードのJだった。選んだカードは{ハートのK、ダイヤの3、スペードのJ}である。カードを元に戻さずに選んだので、同じカードを2回選ぶことはできない。
Example 3.5例題 3.5
You have a fair, well-shuffled deck of 52 cards. It consists of four suits. The suits are clubs, diamonds, hearts, and spades. There are 13 cards in each suit consisting of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (jack), Q (queen), and K (king) of that suit. S = spades, H = Hearts, D = Diamonds, C = Clubs.
公平で、よく切った52枚のトランプがある。スートはクラブ、ダイヤ、ハート、スペードの4種類である。各スートには1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J（ジャック）、Q（クイーン）、K（キング）の13枚がある。S = スペード、H = ハート、D = ダイヤ、C = クラブとする。
- Suppose you pick four cards, but do not put any cards back into the deck. Your cards are QS, 1D, 1C, QD.どのカードも山に戻さずに4枚引くとする。引いたカードはQS、1D、1C、QDである。
- Suppose you pick four cards and put each card back before you pick the next card. Your cards are KH, 7D, 6D, KH.次を引く前に毎回カードを戻し、4枚引くとする。引いたカードはKH、7D、6D、KHである。
Which of a. or b. did you sample with replacement and which did you sample without replacement?
aとbのどちらが復元抽出で、どちらが非復元抽出か。
Solution解き方
a. Without replacement; b. With replacement
a. 非復元抽出、b. 復元抽出。