第3章確率

3.1 Terminology3.1　用語

Probability is a measure that is associated with how certain we are of outcomes of a particular experiment or activity. An experiment is a planned operation carried out under controlled conditions. If the result is not predetermined, then the experiment is said to be a chance experiment. Flipping one fair coin twice is an example of an experiment.

英語のヒント

確率とは、特定の実験や活動の結果について、どの程度確信が持てるかに関係する尺度である。実験とは、条件を管理したうえで行う、計画的な操作である。結果があらかじめ決まっていなければ、その実験を偶然実験という。公平な硬貨1枚を2回投げることは、実験の一例である。

A result of an experiment is called an outcome. The sample space of an experiment is the set of all possible outcomes. Three ways to represent a sample space are: to list the possible outcomes, to create a tree diagram, or to create a Venn diagram. The uppercase letter S is used to denote the sample space. For example, if you flip one fair coin, S = {H, T} where H = heads and T = tails are the outcomes.

英語のヒント

実験によって得られるものを結果という。実験の標本空間とは、起こりうる結果すべての集合である。標本空間の表し方には、起こりうる結果を列挙する、樹形図を作る、ベン図を作る、という三つの方法がある。標本空間は大文字のSで表す。たとえば、公平な硬貨1枚を投げる場合、S = {H, T}となり、H = 表、T = 裏が結果である。

An event is any combination of outcomes. Upper case letters like A and B represent events. For example, if the experiment is to flip one fair coin, event A might be getting at most one head. The probability of an event A is written P(A).

英語のヒント

事象とは、結果を任意に組み合わせたものである。事象はAやBなどの大文字で表す。たとえば、公平な硬貨1枚を投げる実験なら、事象Aを「表が出る回数が高々1回」とすることができる。事象Aの確率はP(A)と書く。

The probability of any outcome is the long-term relative frequency of that outcome. Probabilities are between zero and one, inclusive (that is, zero and one and all numbers between these values). P(A) = 0 means the event A can never happen. P(A) = 1 means the event A always happens. P(A) = 0.5 means the event A is equally likely to occur or not to occur. For example, if you flip one fair coin repeatedly (from 20 to 2,000 to 20,000 times) the relative frequency of heads approaches 0.5 (the probability of heads).

英語のヒント

ある結果の確率とは、その結果の長期的な相対度数である。確率は0以上1以下の値をとる（つまり、0と1、およびその間のすべての数である）。P(A) = 0は事象Aが決して起こらないこと、P(A) = 1は事象Aが必ず起こることを意味する。P(A) = 0.5は、事象Aが起こる場合と起こらない場合の可能性が等しいことを意味する。たとえば、公平な硬貨1枚を繰り返し投げる回数を20回、2,000回、20,000回と増やしていくと、表の相対度数は0.5（表が出る確率）に近づく。

Equally likely means that each outcome of an experiment occurs with equal probability. For example, if you toss a fair, six-sided die, each face (1, 2, 3, 4, 5, or 6) is as likely to occur as any other face. If you toss a fair coin, a Head (H) and a Tail (T) are equally likely to occur. If you randomly guess the answer to a true/false question on an exam, you are equally likely to select a correct answer or an incorrect answer.

同様に確からしいとは、実験の各結果が等しい確率で起こることを意味する。たとえば、公平な6面のさいころを投げると、どの面（1、2、3、4、5、6）も、ほかのどの面とも同じ起こりやすさを持つ。公平な硬貨を投げると、表（H）と裏（T）は同様に確からしい。試験の正誤問題で無作為に答えを選ぶと、正解を選ぶ可能性と不正解を選ぶ可能性は等しい。

To calculate the probability of an event A when all outcomes in the sample space are equally likely, count the number of outcomes for event A and divide by the total number of outcomes in the sample space. For example, if you toss a fair dime and a fair nickel, the sample space is {HH, TH, HT, TT} where T = tails and H = heads. The sample space has four outcomes. A = getting one head. There are two outcomes that meet this condition {HT, TH}, so P(A) =

\frac{2}{4}

= 0.5.

英語のヒント

標本空間のすべての結果が同様に確からしいとき、事象Aの確率を計算するには、Aに含まれる結果の数を数え、それを標本空間の結果の総数で割る。たとえば、公平な10セント硬貨と公平な5セント硬貨を投げると、標本空間は{HH, TH, HT, TT}となる。ここでT = 裏、H = 表である。標本空間には四つの結果がある。A = 表が一つ出る、とする。この条件を満たす結果は{HT, TH}の二つなので、P(A) =

\frac{2}{4}

= 0.5となる。

Suppose you roll one fair six-sided die, with the numbers {1, 2, 3, 4, 5, 6} on its faces. Let event E = rolling a number that is at least five. There are two outcomes {5, 6}. P(E) =

\frac{2}{6}

. If you were to roll the die only a few times, you would not be surprised if your observed results did not match the probability. If you were to roll the die a very large number of times, you would expect that, overall,

\frac{2}{6}

of the rolls would result in an outcome of "at least five". You would not expect exactly

\frac{2}{6}

. The long-term relative frequency of obtaining this result would approach the theoretical probability of

\frac{2}{6}

as the number of repetitions grows larger and larger.

各面に{1, 2, 3, 4, 5, 6}の数がある公平な6面のさいころを1個投げるとする。事象E = 5以上の目が出る、と置く。結果は{5, 6}の二つで、P(E) =

\frac{2}{6}

である。さいころを数回しか投げなければ、観測した結果がこの確率と一致しなくても不思議ではない。非常に多くの回数投げれば、全体として試行の

\frac{2}{6}

で「5以上」という結果が出ると期待できる。ただし、ちょうど

\frac{2}{6}

になると期待するわけではない。繰り返す回数が増えるほど、この結果が得られる長期的な相対度数は、理論上の確率

\frac{2}{6}

に近づくだろう。

This important characteristic of probability experiments is known as the law of large numbers which states that as the number of repetitions of an experiment is increased, the relative frequency obtained in the experiment tends to become closer and closer to the theoretical probability. Even though the outcomes do not happen according to any set pattern or order, overall, the long-term observed relative frequency will approach the theoretical probability. (The word empirical is often used instead of the word observed.)

英語のヒント

確率実験のこの重要な性質は、大数の法則として知られている。これは、実験の繰り返し回数を増やすと、実験で得られる相対度数が理論上の確率にますます近づく傾向があるという法則である。結果が決まったパターンや順序に従って起こらなくても、全体として、長期的に観測される相対度数は理論上の確率に近づく。（observed〔観測された〕の代わりにempirical〔経験的な〕という語がよく使われる。）

It is important to realize that in many situations, the outcomes are not equally likely. A coin or die may be unfair, or biased. Two math professors in Europe had their statistics students test the Belgian one Euro coin and discovered that in 250 trials, a head was obtained 56% of the time and a tail was obtained 44% of the time. The data seem to show that the coin is not a fair coin; more repetitions would be helpful to draw a more accurate conclusion about such bias. Some dice may be biased. Look at the dice in a game you have at home; the spots on each face are usually small holes carved out and then painted to make the spots visible. Your dice may or may not be biased; it is possible that the outcomes may be affected by the slight weight differences due to the different numbers of holes in the faces. Gambling casinos make a lot of money depending on outcomes from rolling dice, so casino dice are made differently to eliminate bias. Casino dice have flat faces; the holes are completely filled with paint having the same density as the material that the dice are made out of so that each face is equally likely to occur. Later we will learn techniques to use to work with probabilities for events that are not equally likely.

英語のヒント

多くの状況では、結果が同様に確からしいわけではないと理解することが重要である。硬貨やさいころは公平でなく、偏りがあるかもしれない。ヨーロッパの数学教授2人が、統計学の学生にベルギーの1ユーロ硬貨を調べさせたところ、250回の試行で表が56%、裏が44%の割合で出た。データはその硬貨が公平でないことを示しているように見える。このような偏りについて、より正確な結論を導くには、試行回数を増やすことが役立つだろう。さいころにも偏りがあるものがある。自宅のゲームに付いているさいころを見てみよう。通常、各面の目は小さな穴を掘り、見えるように色を塗って作られている。そのさいころには偏りがあるかもしれないし、ないかもしれない。各面の穴の数が異なるために生じるわずかな重さの差が、結果に影響する可能性がある。賭博を行うカジノは、さいころの出目に依存して多額の収益を得る。そのため、カジノのさいころは偏りをなくすよう、別の作り方をしている。面は平らで、穴はさいころ本体と同じ密度の塗料で完全に埋められ、どの面も同様に確からしくなるようにしてある。後で、同様に確からしくない事象の確率を扱う方法を学ぶ。

"OR" Event:「OR」の事象：

An outcome is in the event A OR B if the outcome is in A or is in B or is in both A and B.
The event A OR B can also be written as A Union B, with notation as follows:

A \cup B

For example, let A = {1, 2, 3, 4, 5} and B = {4, 5, 6, 7, 8}.
Then

A \cup B

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Notice that 4 and 5 are NOT listed twice.

ある結果がAに含まれるか、Bに含まれるか、またはAとBの両方に含まれるとき、その結果は事象A OR Bに含まれる。事象A OR Bは、AとBの和集合とも書き、次のように表す。

A \cup B

たとえば、A = {1, 2, 3, 4, 5}、B = {4, 5, 6, 7, 8}とする。このとき、

A \cup B

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}となる。4と5を2回ずつ列挙しないことに注意せよ。

"AND" Event:「AND」の事象：

An outcome is in the event A AND B if the outcome is in both A and B at the same time.
The event A AND B can also be written as A Intersection B, with notation as follows:

A \cap B

For example, let A and B be {1, 2, 3, 4, 5} and {4, 5, 6, 7, 8}, respectively.
Then

A \cap B

= {4, 5}.

ある結果がAとBの両方に同時に含まれるとき、その結果は事象A AND Bに含まれる。事象A AND Bは、AとBの共通部分とも書き、次のように表す。

A \cap B

たとえば、AとBをそれぞれ{1, 2, 3, 4, 5}と{4, 5, 6, 7, 8}とする。このとき、

A \cap B

= {4, 5}となる。

The complement of event A is denoted A′ (read "A prime"). A′ consists of all outcomes that are NOT in A. Notice that P(A) + P(A′) = 1. For example, let S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} and let A = {1, 2, 3, 4}. Then, A′ = {5, 6}. P(A) =

\frac{4}{6}

, P(A′) =

\frac{2}{6}

, and P(A) + P(A′) =

\frac{4}{6} + \frac{2}{6}

= 1

英語のヒント

事象Aの余事象をA′（「エー・プライム」と読む）と表す。A′はAに含まれないすべての結果からなる。P(A) + P(A′) = 1であることに注意せよ。たとえば、S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}、A = {1, 2, 3, 4}とする。このときA′ = {5, 6}となる。P(A) =

\frac{4}{6}

、P(A′) =

\frac{2}{6}

であり、P(A) + P(A′) =

\frac{4}{6} + \frac{2}{6}

= 1となる。

The conditional probability of A given B is written P(A|B). P(A|B) is the probability that event A will occur given that the event B has already occurred. A conditional reduces the sample space. We calculate the probability of A from the reduced sample space B. The formula to calculate P(A|B) is P(A|B) =

\frac{P (A AND B)}{P (B)}

where P(B) is greater than zero.

英語のヒント

Bが起こったという条件のもとでのAの条件付き確率をP(A|B)と書く。P(A|B)は、事象Bがすでに起こったという条件のもとで、事象Aが起こる確率である。条件を付けると標本空間が縮小する。縮小した標本空間Bから、Aの確率を計算する。P(A|B)を計算する公式はP(A|B) =

\frac{P (A AND B)}{P (B)}

であり、ここでP(B)は0より大きい。

For example, suppose we toss one fair, six-sided die. The sample space S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Let A = face is 2 or 3 and B = face is even (2, 4, 6). To calculate P(A|B), we count the number of outcomes 2 or 3 in the sample space B = {2, 4, 6}. Then we divide that by the number of outcomes B (rather than S).

たとえば、公平な6面のさいころを1個投げるとする。標本空間はS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}である。A = 目が2または3である、B = 目が偶数である（2、4、6）、と置く。P(A|B)を計算するには、標本空間B = {2, 4, 6}の中で、2または3である結果の数を数える。その数を、SではなくBに含まれる結果の数で割る。

We get the same result by using the formula. Remember that S has six outcomes.

公式を使っても同じ結果が得られる。Sには六つの結果があることを思い出そう。

P(A|B) =

\frac{P (A AND B)}{P (B)} = \frac{\frac{(the number of outcomes that are 2 or 3 and even in S)}{6}}{\frac{(the number of outcomes that are even in S)}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3}

P(A|B) =

\frac{P (A AND B)}{P (B)} = \frac{\frac{（S内で2または3であり、かつ偶数である結果の数）}{6}}{\frac{（S内で偶数である結果の数）}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3}

Understanding Terminology and Symbols用語と記号を理解する

It is important to read each problem carefully to think about and understand what the events are. Understanding the wording is the first very important step in solving probability problems. Reread the problem several times if necessary. Clearly identify the event of interest. Determine whether there is a condition stated in the wording that would indicate that the probability is conditional; carefully identify the condition, if any.

英語のヒント

それぞれの問題を注意深く読み、事象が何であるかを考え、理解することが重要である。問題文の表現を理解することは、確率の問題を解く最初の非常に重要な段階である。必要なら何度か読み返そう。関心のある事象を明確に特定せよ。条件付き確率であることを示す条件が問題文に書かれているか判断し、条件があるなら、それを注意深く特定せよ。

Example 3.1例題 3.1

The sample space S is the whole numbers starting at one and less than 20.

標本空間Sは、1から始まる20未満の整数全体である。

S = _____________________________

Let event A = the even numbers and event B = numbers greater than 13.
事象A = 偶数、事象B = 13より大きい数、と置く。
A = _____________________, B = _____________________
P(A) = _____________, P(B) = ________________
A AND B = ____________________, A OR B = ________________
P(A AND B) = _________, P(A OR B) = _____________
A′ = _____________, P(A′) = _____________
P(A) + P(A′) = ____________
P(A|B) = ___________, P(B|A) = _____________; are the probabilities equal?
P(A|B) = ___________、P(B|A) = _____________。これらの確率は等しいか。

Solution解き方

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19}
P(A) = $\frac{9}{19}$ , P(B) = $\frac{6}{19}$
A AND B = {14,16,18}, A OR B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19}
P(A AND B) = $\frac{3}{19}$ , P(A OR B) = $\frac{12}{19}$
A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P(A′) = $\frac{10}{19}$
P(A) + P(A′) = 1 ( $\frac{9}{19}$ + $\frac{10}{19}$ = 1)
P(A|B) = $\frac{P (A AND B)}{P (B)}$ = $\frac{3}{6}$ , P(B|A) = $\frac{P (A AND B)}{P (A)}$ = $\frac{3}{9}$ , No
P(A|B) = $\frac{P (A AND B)}{P (B)}$ = $\frac{3}{6}$ 、P(B|A) = $\frac{P (A AND B)}{P (A)}$ = $\frac{3}{9}$ 。等しくない。

Try Itやってみよう

The sample space S is all the ordered pairs of two whole numbers, the first from one to three and the second from one to four (Example: (1, 4)).

英語のヒント

標本空間Sは、最初の数が1から3、2番目の数が1から4である二つの整数の順序対すべてである（例：(1, 4)）。

S = _____________________________
Let event A = the sum is even and event B = the first number is prime.
S = _____________________________。事象A = 和が偶数である、事象B = 最初の数が素数である、と置く。
A = _____________________, B = _____________________
P(A) = _____________, P(B) = ________________
A AND B = ____________________, A OR B = ________________
P(A AND B) = _________, P(A OR B) = _____________
B′ = _____________, P(B′) = _____________
P(A) + P(A′) = ____________
P(A|B) = ___________, P(B|A) = _____________; are the probabilities equal?
P(A|B) = ___________、P(B|A) = _____________。これらの確率は等しいか。

Example 3.2例題 3.2

A fair, six-sided die is rolled. Describe the sample space S, identify each of the following events with a subset of S and compute its probability (an outcome is the number of dots that show up).

英語のヒント

公平な6面のさいころを投げる。標本空間Sを記述し、次の各事象をSの部分集合として表し、その確率を計算せよ（結果は出た面の目の数である）。

Event T = the outcome is two.
事象T = 出目が2である。
Event A = the outcome is an even number.
事象A = 出目が偶数である。
Event B = the outcome is less than four.
事象B = 出目が4未満である。
The complement of A.
Aの余事象。
A GIVEN B
Bが起こったという条件のもとでのA
B GIVEN A
Aが起こったという条件のもとでのB
A AND B
A OR B
A OR B′
Event N = the outcome is a prime number.
事象N = 出目が素数である。
Event I = the outcome is seven.
事象I = 出目が7である。

Solution解き方

T = {2}, P(T) = $\frac{1}{6}$
A = {2, 4, 6}, P(A) = $\frac{1}{2}$
B = {1, 2, 3}, P(B) = $\frac{1}{2}$
A′ = {1, 3, 5}, P(A′) = $\frac{1}{2}$
A|B = {2}, P(A|B) = $\frac{1}{3}$
B|A = {2}, P(B|A) = $\frac{1}{3}$
A AND B = {2}, P(A AND B) = $\frac{1}{6}$
A OR B = {1, 2, 3, 4, 6}, P(A OR B) = $\frac{5}{6}$
A OR B′ = {2, 4, 5, 6}, P(A OR B′) = $\frac{2}{3}$
N = {2, 3, 5}, P(N) = $\frac{1}{2}$
A six-sided die does not have seven dots. P(7) = 0.
6面のさいころには7の目はない。P(7) = 0。

Try Itやってみよう

A number is randomly selected between 1 to 10. Describe the sample space S, identify each of the following events with a subset of S, and compute its probability (an outcome is the number selected).

1から10までの数を一つ無作為に選ぶ。標本空間Sを記述し、次の各事象をSの部分集合として表し、その確率を計算せよ（結果は選んだ数である）。

Event F = the outcome is 5.
事象F = 結果が5である。
Event A = the number is more than 6.
事象A = 数が6より大きい。
Event B = the number is odd.
事象B = 数が奇数である。
The complement of B.
Bの余事象。
A GIVEN B.
Bが起こったという条件のもとでのA。
B GIVEN A.
Aが起こったという条件のもとでのB。
A OR B.
A’ OR B.
Event P = the outcome is a composite number.
英語のヒント
事象P = 結果が合成数である。
Event M = the number is a multiple of 3.
事象M = 数が3の倍数である。

Solution解答

$F = 5, P (F) = \frac{1}{10}$
$A = \{7, 8, 9\}, P (A) = \frac{3}{10}$
$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}, P (B) = \frac{5}{10}$
$B' = \{2, 4, 6, 8, 10\}, P (B') = \frac{5}{10}$
$A | B = \{7, 9\}, P \{A | B\} = \frac{2}{5}$
$B | A = \{7, 9\}, P (B | A) = \frac{1}{2}$
$A O R B = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}, P (A O R B) = \frac{7}{10}$
$A' O R B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}, P (A' O R B) = \frac{4}{5}$
$P = \{4, 6, 8, 9, 10\}, P (P) = \frac{1}{2}$
$M = \{3, 6, 9\}, P (M) = \frac{3}{10}$

Example 3.3例題 3.3

Table 3.1 describes the distribution of a random sample S of 100 individuals, organized by sex assigned at birth and whether they are right- or left-handed.

表3.1は、100人の無作為標本Sを出生時に割り当てられた性別と右利き・左利きによって分類し、その分布を示している。

Table 3.1表 3.1
	Right-handed 右利き	Left-handed 左利き
Males 男性	43	9
Females 女性	44	4

Let’s denote the events M = the subject is male, F = the subject is female, R = the subject is right-handed, L = the subject is left-handed. Compute the following probabilities:

M = 対象者が男性である、F = 対象者が女性である、R = 対象者が右利きである、L = 対象者が左利きである、という事象を表すことにする。次の確率を計算せよ。

P(M)
P(F)
P(R)
P(L)
P(M AND R)
P(F AND L)
P(M OR F)
P(M OR R)
P(F OR L)
P(M')
P(R|M)
P(F|L)
P(L|F)

Solution解き方

P(M) = 0.52
P(F) = 0.48
P(R) = 0.87
P(L) = 0.13
P(M AND R) = 0.43
P(F AND L) = 0.04
P(M OR F) = 1
P(M OR R) = 0.96
P(F OR L) = 0.57
P(M') = 0.48
P(R|M) = 0.8269 (rounded to four decimal places)
P(R|M) = 0.8269（小数第4位に丸めた値）
P(F|L) = 0.3077 (rounded to four decimal places)
P(F|L) = 0.3077（小数第4位に丸めた値）
P(L|F) = 0.0833

Try Itやってみよう

The table describes the distribution of a random sample S of 100 individuals, organized by gender and whether they like tea or coffee.

この表は、100人の無作為標本Sを、ジェンダーと紅茶・コーヒーのどちらが好きかによって分類した分布を示している。

Table 3.2表 3.2
	Tea 紅茶	Coffee コーヒー
Men 男性	22	26
Women 女性	16	36

Let's denote the events M = the subject is a man, W = the subject is a woman, T = the subject likes tea, and C = the subject likes coffee. Compute the following probabilities:

M = 対象者が男性である、W = 対象者が女性である、T = 対象者が紅茶を好きである、C = 対象者がコーヒーを好きである、という事象を表すことにする。次の確率を計算せよ。

P(M)
P(W)
P(T)
P(C)
P(M AND T)
P(W and C)
P(M OR W)
P(M OR T)
P(W OR C)
P(M')
P(T|M)
P(W|C)
P(C|W)

Solution解答

$P (M) = 0.48$
$P (W) = 0.52$
$P (T) = 0.38$
$P (C) = 0.62$
$P (M A N D T) = 0.22$
$P (W a n d C) = 0.36$
$P (M O R W) = 1$
$P (M O R T) = 0.64$
$P (W O R C) = 0.78$
$P (M') = 0.52$
$P (T | M) = 0.4583$ (rounded to four decimal places)
$P (T | M) = 0.4583$ （小数第4位に丸めた値）
$P (W | C) = 0.5806$ (rounded to four decimal places)
$P (W | C) = 0.5806$ （小数第4位に丸めた値）
$P (C | W) = 0.6923$ (rounded to four decimal places)
$P (C | W) = 0.6923$ （小数第4位に丸めた値）

第3章確率

3.1 Terminology3.1 用語

"OR" Event:「OR」の事象：

"AND" Event:「AND」の事象：

Understanding Terminology and Symbols用語と記号を理解する

3.1 Terminology3.1　用語