第3章確率

References参考文献

DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll.” Field Research Corporation. Available online at http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (accessed May 2, 2013).

Mark DiCamillo、Mervin Field。「The File Poll」。Field Research Corporation。オンラインで閲覧可能：http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf（2013年5月2日閲覧）。

Rider, David, “Ford support plummeting, poll suggests,” The Star, September 14, 2011. Available online at http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (accessed May 2, 2013).

David Rider。「世論調査、フォード支持の急落を示唆」。The Star、2011年9月14日。オンラインで閲覧可能：http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html（2013年5月2日閲覧）。

“Mayor’s Approval Down.” News Release by Forum Research Inc. Available online at http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29%2820130320%29.pdf (accessed May 2, 2013).

「市長への支持が低下」。Forum Research Inc.による報道発表。オンラインで閲覧可能：http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29%2820130320%29.pdf（2013年5月2日閲覧）。

“Roulette.” Wikipedia. Available online at http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (accessed May 2, 2013).

「ルーレット」。Wikipedia。オンラインで閲覧可能：http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette（2013年5月2日閲覧）。

Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” United States Census Bureau. Available online at http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (accessed May 2, 2013).

Hyon B. Shin、Robert A. Kominski。「米国における言語の使用：2007年」。米国国勢調査局。オンラインで閲覧可能：http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf（2013年5月2日閲覧）。

Data from the Baseball-Almanac, 2013. Available online at www.baseball-almanac.com (accessed May 2, 2013).

Baseball-Almanacのデータ、2013年。オンラインで閲覧可能：www.baseball-almanac.com（2013年5月2日閲覧）。

Data from U.S. Census Bureau.

米国国勢調査局のデータ。

Data from the Wall Street Journal.

Wall Street Journalのデータ。

Data from The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Available online at http://www.ropercenter.uconn.edu/ (accessed May 2, 2013).

コネティカット大学のRoper Center: Public Opinion Archivesのデータ。オンラインで閲覧可能：http://www.ropercenter.uconn.edu/（2013年5月2日閲覧）。

Data from Field Research Corporation. Available online at www.field.com/fieldpollonline (accessed May 2,2 013).

Field Research Corporationのデータ。オンラインで閲覧可能：www.field.com/fieldpollonline（2013年5月2日閲覧）。

Chapter Review章の復習

The multiplication rule and the addition rule are used for computing the probability of A and B, as well as the probability of A or B for two given events A, B defined on the sample space. In sampling with replacement each member of a population is replaced after it is picked, so that member has the possibility of being chosen more than once, and the events are considered to be independent. In sampling without replacement, each member of a population may be chosen only once, and the events are considered to be not independent. The events A and B are mutually exclusive events when they do not have any outcomes in common.

乗法定理と加法定理は、標本空間上に定義された二つの事象A、Bについて、AとBの両方が起こる確率や、AまたはBが起こる確率を計算するために使う。復元抽出では、母集団から選んだ各要素を元に戻すので、同じ要素が2回以上選ばれる可能性があり、事象は独立と見なされる。非復元抽出では、母集団の各要素は1回しか選ばれず、事象は独立でないと見なされる。事象AとBに共通する結果がない場合、それらは排反である。

Formula Review公式の復習

The multiplication rule: P(A AND B) = P(A|B)P(B)

乗法定理：P(A AND B) = P(A|B)P(B)

The addition rule: P(A OR B) = P(A) + P(B) - P(A AND B)

加法定理：P(A OR B) = P(A) + P(B) − P(A AND B)

Exercises 62–71練習問題 62–71

Use the following information to answer the next ten exercises. A local restaurant knows that the probability that a customer will order a pizza is 87%. The restaurant also knows that the probability that a customer will order a salad is 32%. Of the customers who order pizzas, 55% of them also order a salad.

次の情報を使い、続く十の問題に答えよ。地元のレストランでは、客がピザを注文する確率は87%、サラダを注文する確率は32%だと分かっている。ピザを注文する客のうち、55%はサラダも注文する。

In this problem, let:

この問題では、次のように置く。

Z = event that a customer orders a pizza
Z = 客がピザを注文する事象
S = event that a customer orders a salad
S = 客がサラダを注文する事象

Suppose that one customer is randomly selected.

客を1人無作為に選ぶとする。

Exercise 62問題 62

Find P(Z).

P(Z)を求めよ。

Solution解き方

Find P(S) : P(S) = 0.87

P(S)を求めよ：P(S) = 0.87。

Exercise 63問題 63

Find P(S).

P(S)を求めよ。

Solution解き方

Find P(S) : P(S) = 0.32

P(S)を求めよ：P(S) = 0.32。

Exercise 64問題 64

Find P(S|Z).

P(S|Z)を求めよ。

Solution解き方

Find P(S | Z) : P(S | Z) = 0.55

P(S | Z)を求めよ：P(S | Z) = 0.55。

Exercise 65問題 65

In words, what is S|Z?

S|Zは何を意味するか、言葉で述べよ。

Solution解き方

In words, what is S | Z? : S | Z means, given that the customer has ordered pizza, the person also orders a salad.

S | Zは何を意味するか、言葉で述べよ：S | Zは、客がピザを注文したという条件のもとで、その客がサラダも注文することを意味する。

Exercise 66問題 66

Find

P (Z A N D S)

P (Z A N D S)

を求めよ。

Solution解き方

Find

P (Z A N D S)

P (Z A N D S)

= 0.4785

P (Z A N D S)

を求めよ：

P (Z A N D S)

= 0.4785。

Exercise 67問題 67

In words, what is

Z A N D S

Z A N D S

は何を表すか、言葉で述べよ。

Solution解き方

In words, what is

Z A N D S

? :

Z A N D S

represents the event that a customer orders a pizza and salad.

Z A N D S

は何を意味するか、言葉で述べよ：

Z A N D S

は、客がピザとサラダを注文する事象を表す。

Exercise 68問題 68

Are P and S independent events? Show why or why not.

PとSは独立な事象か。その理由を示せ。

Solution解き方

Are P and S independent events? Show why or why not. No, because P(S) does not equal P(S | Z).

PとSは独立な事象か。その理由を示せ。いいえ。P(S)はP(S | Z)に等しくないからである。

Exercise 69問題 69

Find

P (Z O R S)

P (Z O R S)

を求めよ。

Solution解き方

Find

P (Z O R S)

P (Z O R S)

= 0.7115

P (Z O R S)

を求めよ：

P (Z O R S)

= 0.7115。

Exercise 70問題 70

In words, what is

Z O R S

Z O R S

は何を表すか、言葉で述べよ。

Solution解き方

In words, what is

Z O R S

Z O R S

represents the event that a customer orders a pizza or salad.

Z O R S

は何を意味するか、言葉で述べよ。

Z O R S

は、客がピザまたはサラダを注文する事象を表す。

Exercise 71問題 71

Are Z and S mutually exclusive events? Show why or why not.

ZとSは排反な事象か。その理由を示せ。

Solution解き方

Are Z and S mutually exclusive events? Show why or why not. No, because P(S and Z) does not equal 0.

ZとSは排反な事象か。その理由を示せ。いいえ。P(S and Z)は0に等しくないからである。

Homework宿題

Exercises 72–73練習問題 72–73

Exercise 72問題 72

Prior to the 2015 Supreme Court decision legalizing same-sex marriage nationwide, a survey reported that 61% of California registered voters approved of allowing two people of the same gender to marry and have regular marriage laws apply to them. Among 18 to 39 year olds (California registered voters), the approval rating was 78%. Six in ten California registered voters said that the upcoming Supreme Court’s ruling about the constitutionality of California’s Proposition 8 was either very or somewhat important to them. Out of those CA registered voters who support same-sex marriage, 75% say the ruling is important to them.

英語のヒント

同性婚を全米で合法とした2015年の最高裁判決より前の調査では、カリフォルニア州の登録有権者の61%が、同性の2人の結婚を認め、通常の婚姻法を適用することを支持していた。18〜39歳の同州登録有権者では、支持率は78%だった。カリフォルニア州の登録有権者の10人に6人が、同州の提案8号の合憲性について予定されていた最高裁判決を、自分にとって非常に重要またはいくらか重要だと答えた。同性婚を支持する同州の登録有権者のうち、75%は判決が自分にとって重要だと答えた。

In this problem, let:

この問題では、次のように置く。

C = California registered voters who support same-sex marriage.
C = 同性婚を支持するカリフォルニア州の登録有権者。
B = California registered voters who say the Supreme Court’s ruling about the constitutionality of California’s Proposition 8 is very or somewhat important to them
B = カリフォルニア州提案8号の合憲性に関する最高裁判決を、自分にとって非常に重要またはいくらか重要と答える同州の登録有権者。
A = California registered voters who are 18 to 39 years old.
A = 18〜39歳のカリフォルニア州の登録有権者。
1. Find P(C).
  P(C)を求めよ。
2. Find P(B).
  P(B)を求めよ。
3. Find P(C|A).
  P(C|A)を求めよ。
4. Find P(B|C).
  P(B|C)を求めよ。
5. In words, what is C|A?
  C|Aは何を意味するか、言葉で述べよ。
6. In words, what is B|C?
  B|Cは何を意味するか、言葉で述べよ。
7. Find P(C AND B).
  P(C AND B)を求めよ。
8. In words, what is C AND B?
  C AND Bは何を意味するか、言葉で述べよ。
9. Find P(C OR B).
  P(C OR B)を求めよ。
10. Are C and B mutually exclusive events? Show why or why not.
  CとBは排反な事象か。その理由を示せ。

Exercise 73問題 73

A survey was conducted in a large city to measure the popularity of that city’s mayor. The survey was repeated every year for three years. The survey polled 1,046 people to measure the mayor’s popularity. Everyone polled expressed either approval or disapproval. These are the results the poll produced:

ある大都市で、市長の人気を測る調査が行われた。この調査は3年間、毎年繰り返された。市長の人気を測るため、1,046人を調査した。回答者は全員、支持か不支持のどちらかを表明した。調査結果は次のとおりである。

In Year 1, 60% of the population approved of the mayor’s actions in office.
1年目には、市民の60%が市長の在任中の行動を支持した。
In Year 2, 57% of the population approved of his actions.
2年目には、市民の57%が市長の行動を支持した。
In Year 3, the percentage of popular approval was measured at 42%.
3年目には、支持率は42%と測定された。
1. What is the sample size for this study?
  この研究の標本の大きさはいくつか。
2. What proportion in the poll disapproved of the mayor, according to the results from Year 3?
  3年目の結果によると、調査で市長を支持しなかった人の比率はいくらか。
3. How many people polled responded that they approved the mayor based on results from Year 3?
  3年目の結果によると、調査対象者の何人が市長を支持すると答えたか。
4. What is the probability that a person supported the mayor, based on the data collected in Year 2?
  2年目に収集したデータに基づくと、ある人が市長を支持していた確率はいくらか。
5. What is the probability that a person supported the mayor, based on the data collected in Year 1?
  1年目に収集したデータに基づくと、ある人が市長を支持していた確率はいくらか。

Solution解き方

The Forum Research surveyed 1,046 Torontonians.
Forum Researchはトロント市民1,046人を調査した。
58%
42% of 1,046 = 439 (rounding to the nearest integer)
1,046人の42% = 439人（最も近い整数に丸める）。
0.57
0.60.

Exercises 74–92練習問題 74–92

Use the following information to answer the next three exercises. The casino game, roulette, allows the gambler to bet on the probability of a ball, which spins in the roulette wheel, landing on a particular color, number, or range of numbers. The table used to place bets contains of 38 numbers, and each number is assigned to a color and a range.

英語のヒント

次の情報を使い、続く三つの問題に答えよ。カジノのゲームであるルーレットでは、回転盤を回る球が、特定の色、数、または数の範囲に止まる確率に賭ける。賭け金を置くためのテーブルには38の数があり、各数には色と範囲が割り当てられている。

ルーレットのテーブルの図。 — Figure 3.5図 3.5
(credit: film8ker/wikibooks)
（出典：film8ker／Wikibooks）

Exercise 74問題 74

List the sample space of the 38 possible outcomes in roulette.
ルーレットで起こりうる38の結果からなる標本空間を列挙せよ。
You bet on red. Find P(red).
赤に賭ける。P(赤)を求めよ。
You bet on -1st 12- (1st Dozen). Find P(-1st 12-).
「最初の12個」（1st Dozen）に賭ける。P(最初の12個)を求めよ。
You bet on an even number. Find P(even number).
偶数に賭ける。P(偶数)を求めよ。
Is getting an odd number the complement of getting an even number? Why?
奇数が出る事象は、偶数が出る事象の余事象か。その理由は何か。
Find two mutually exclusive events.
排反な事象を二つ挙げよ。
Are the events Even and 1st Dozen independent?
偶数の事象と最初の12個の事象は独立か。

Exercise 75問題 75

Compute the probability of winning the following types of bets:

次の種類の賭けに勝つ確率を計算せよ。

Betting on two lines that touch each other on the table as in 1-2-3-4-5-6
1–2–3–4–5–6のように、テーブルで隣り合う2列に賭ける。
Betting on three numbers in a line, as in 1-2-3
1–2–3のように、1列に並ぶ三つの数に賭ける。
Betting on one number
一つの数に賭ける。
Betting on four numbers that touch each other to form a square, as in 10-11-13-14
10–11–13–14のように、正方形を作って隣り合う四つの数に賭ける。
Betting on two numbers that touch each other on the table, as in 10-11 or 10-13
10–11や10–13のように、テーブルで隣り合う二つの数に賭ける。
Betting on 0-00-1-2-3
0–00–1–2–3に賭ける。
Betting on 0-1-2; or 0-00-2; or 00-2-3
0–1–2、0–00–2、または00–2–3に賭ける。

Solution解き方

P(Betting on two line that touch each other on the table) = $\frac{6}{38}$
P(テーブルで隣り合う2列に賭ける) = $\frac{6}{38}$
P(Betting on three numbers in a line) = $\frac{3}{38}$
P(1列に並ぶ三つの数に賭ける) = $\frac{3}{38}$
P(Bettting on one number) = $\frac{1}{38}$
P(一つの数に賭ける) = $\frac{1}{38}$
P(Betting on four number that touch each other to form a square) = $\frac{4}{38}$
P(正方形を作って隣り合う四つの数に賭ける) = $\frac{4}{38}$
P(Betting on two number that touch each other on the table ) = $\frac{2}{38}$
P(テーブルで隣り合う二つの数に賭ける) = $\frac{2}{38}$
P(Betting on 0-00-1-2-3) = $\frac{5}{38}$
P(0–00–1–2–3に賭ける) = $\frac{5}{38}$
P(Betting on 0-1-2; or 0-00-2; or 00-2-3) = $\frac{3}{38}$
P(0–1–2、0–00–2、または00–2–3に賭ける) = $\frac{3}{38}$

Exercise 76問題 76

Compute the probability of winning the following types of bets:

次の種類の賭けに勝つ確率を計算せよ。

Betting on a color
一つの色に賭ける。
Betting on one of the dozen groups
12個ずつのグループのうち一つに賭ける。
Betting on the range of numbers from 1 to 18
1から18までの範囲の数に賭ける。
Betting on the range of numbers 19–36
19から36までの範囲の数に賭ける。
Betting on one of the columns
縦の列のうち一つに賭ける。
Betting on an even or odd number (excluding zero)
偶数または奇数に賭ける（0を除く）。

Exercise 77問題 77

Suppose that you have eight cards. Five are green and three are yellow. The five green cards are numbered 1, 2, 3, 4, and 5. The three yellow cards are numbered 1, 2, and 3. The cards are well shuffled. You randomly draw one card.

8枚のカードがあり、5枚が緑、3枚が黄である。緑の5枚には1、2、3、4、5、黄の3枚には1、2、3の番号が付いている。カードをよく混ぜ、1枚を無作為に引く。

G = card drawn is green
G = 引いたカードが緑である。
E = card drawn is even-numbered
E = 引いたカードの番号が偶数である。
1. List the sample space.
  標本空間の要素を列挙せよ。
2. P(G) = _____
3. P(G|E) = _____
4. P(G AND E) = _____
5. P(G OR E) = _____
6. Are G and E mutually exclusive? Justify your answer numerically.
  GとEは排反か。数値で答えの根拠を示せ。

Solution解き方

{G1, G2, G3, G4, G5, Y1, Y2, Y3}
$\frac{5}{8}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{2}{8}$
$\frac{6}{8}$
No, because P(G AND E) does not equal 0.
いいえ。P(G AND E)は0に等しくないからである。

Exercise 78問題 78

Roll two fair dice separately. Each die has six faces.

公平なさいころを2個、別々に投げる。各さいころには6面ある。

List the sample space.
標本空間の要素を列挙せよ。
Let A be the event that either a three or four is rolled first, followed by an even number. Find P(A).
Aを、最初に3か4の目が出て、続いて偶数の目が出る事象とする。P(A)を求めよ。
Let B be the event that the sum of the two rolls is at most seven. Find P(B).
Bを、2回の出目の和が7以下となる事象とする。P(B)を求めよ。
In words, explain what “P(A|B)” represents. Find P(A|B).
P(A|B)が何を表すか、言葉で説明せよ。P(A|B)を求めよ。
Are A and B mutually exclusive events? Explain your answer in one to three complete sentences, including numerical justification.
AとBは排反な事象か。数値による根拠を含め、1〜3個の完全な文で説明せよ。
Are A and B independent events? Explain your answer in one to three complete sentences, including numerical justification.
AとBは独立な事象か。数値による根拠を含め、1〜3個の完全な文で説明せよ。

Exercise 79問題 79

A special deck of cards has ten cards. Four are green, three are blue, and three are red. When a card is picked, its color of it is recorded. An experiment consists of first picking a card and then tossing a coin.

特別なカードの山には10枚あり、緑が4枚、青が3枚、赤が3枚である。カードを引いたら、その色を記録する。実験は、まずカードを引き、その後で硬貨を投げることからなる。

List the sample space.
標本空間の要素を列挙せよ。
Let A be the event that a blue card is picked first, followed by landing a head on the coin toss. Find P(A).
Aを、最初に青いカードを引き、続く硬貨投げで表が出る事象とする。P(A)を求めよ。
Let B be the event that a red or green is picked, followed by landing a head on the coin toss. Are the events A and B mutually exclusive? Explain your answer in one to three complete sentences, including numerical justification.
Bを、赤または緑のカードを引き、続く硬貨投げで表が出る事象とする。AとBは排反な事象か。数値による根拠を含め、1〜3個の完全な文で説明せよ。
Let C be the event that a red or blue is picked, followed by landing a head on the coin toss. Are the events A and C mutually exclusive? Explain your answer in one to three complete sentences, including numerical justification.
Cを、赤または青のカードを引き、続く硬貨投げで表が出る事象とする。AとCは排反な事象か。数値による根拠を含め、1〜3個の完全な文で説明せよ。

Solution解き方

{(G,H) (G,T) (B,H) (B,T) (R,H) (R,T)}
P(A) = P(blue)P(head) = $(\frac{3}{10})$ $(\frac{1}{2})$ = $\frac{3}{20}$
P(A) = P(青)P(表) = $(\frac{3}{10})$ $(\frac{1}{2})$ = $\frac{3}{20}$
Yes, A and B are mutually exclusive because they cannot happen at the same time; you cannot pick a card that is both blue and also (red or green). P(A AND B) = 0
はい。AとBは同時に起こりえないので排反である。青であり、かつ赤または緑でもあるカードは引けない。P(A AND B) = 0である。
No, A and C are not mutually exclusive because they can occur at the same time. In fact, C includes all of the outcomes of A; if the card chosen is blue it is also (red or blue). P(A AND C) = P(A) = $\frac{3}{20}$
いいえ。AとCは同時に起こりうるので、排反ではない。実際、CはAのすべての結果を含む。選んだカードが青なら、それは赤または青でもある。P(A AND C) = P(A) = $\frac{3}{20}$ 。

Exercise 80問題 80

An experiment consists of first rolling a die and then tossing a coin.

実験は、最初にさいころを投げ、その後に硬貨を投げることからなる。

List the sample space.
標本空間の要素を列挙せよ。
Let A be the event that either a three or a four is rolled first, followed by landing a head on the coin toss. Find P(A).
Aを、最初に3か4の目が出て、続く硬貨投げで表が出る事象とする。P(A)を求めよ。
Let B be the event that the first and second tosses land on heads. Are the events A and B mutually exclusive? Explain your answer in one to three complete sentences, including numerical justification.
Bを、1回目と2回目の両方が表になる事象とする。AとBは排反な事象か。数値による根拠を含め、1〜3個の完全な文で説明せよ。

Exercise 81問題 81

An experiment consists of tossing a nickel, a dime, and a quarter. Of interest is the side the coin lands on.

英語のヒント

5セント、10セント、25セントの硬貨を投げる実験を行う。関心があるのは、出る面である。

List the sample space.
標本空間の要素を列挙せよ。
Let A be the event that there are at least two tails. Find P(A).
Aを、少なくとも二つ裏が出る事象とする。P(A)を求めよ。
Let B be the event that the first and second tosses land on heads. Are the events A and B mutually exclusive? Explain your answer in one to three complete sentences, including justification.
Bを、1回目と2回目の両方が表になる事象とする。AとBは排反な事象か。根拠を含め、1〜3個の完全な文で説明せよ。

Solution解き方

S = {(HHH), (HHT), (HTH), (HTT), (THH), (THT), (TTH), (TTT)}
$\frac{4}{8}$
Yes, because if A has occurred, it is impossible to obtain two tails. In other words, P(A AND B) = 0.
はい。Aが起こったなら、裏を二つ得ることは不可能だからである。言い換えると、P(A AND B) = 0である。

Exercise 82問題 82

Consider the following scenario:
Let P(C) = 0.4.
Let P(D) = 0.5.
Let P(C|D) = 0.6.

次の状況を考えよ。P(C) = 0.4、P(D) = 0.5、P(C|D) = 0.6とする。

Find P(C AND D).
P(C AND D)を求めよ。
Are C and D mutually exclusive? Why or why not?
CとDは排反か。その理由は何か。
Are C and D independent events? Why or why not?
CとDは独立な事象か。その理由は何か。
Find P(C OR D).
P(C OR D)を求めよ。
Find P(D|C).
P(D|C)を求めよ。

Exercise 83問題 83

Y and Z are independent events.

YとZは独立な事象である。

Rewrite the basic Addition Rule P(Y OR Z) = P(Y) + P(Z) - P(Y AND Z) using the information that Y and Z are independent events.
YとZが独立な事象であるという情報を使い、基本的な加法定理P(Y OR Z) = P(Y) + P(Z) − P(Y AND Z)を書き換えよ。
Use the rewritten rule to find P(Z) if P(Y OR Z) = 0.71 and P(Y) = 0.42.
書き換えた法則を使い、P(Y OR Z) = 0.71、P(Y) = 0.42のときのP(Z)を求めよ。

Solution解き方

If Y and Z are independent, then P(Y AND Z) = P(Y)P(Z), so P(Y OR Z) = P(Y) + P(Z) - P(Y)P(Z).
YとZが独立なら、P(Y AND Z) = P(Y)P(Z)なので、P(Y OR Z) = P(Y) + P(Z) − P(Y)P(Z)となる。
0.5

Exercise 84問題 84

G and H are mutually exclusive events. P(G) = 0.5 P(H) = 0.3

GとHは排反な事象である。P(G) = 0.5、P(H) = 0.3。

Explain why the following statement MUST be false: P(H|G) = 0.4.
次の記述が必ず誤りになる理由を説明せよ：P(H|G) = 0.4。
Find P(H OR G).
P(H OR G)を求めよ。
Are G and H independent or dependent events? Explain in a complete sentence.
GとHは独立な事象か、それとも従属な事象か。完全な文で説明せよ。

Exercise 85問題 85

According to the 2019 U.S. Census, approximately 331,449,281 people live in the United States. Of these people, 67,800,000 speak a language other than English at home. Of those who speak another language at home, 61.6% speak Spanish.

2019年の米国国勢調査によると、米国には約331,449,281人が住んでいる。そのうち67,800,000人は、家庭で英語以外の言語を話す。家庭で別の言語を話す人のうち、61.6%はスペイン語を話す。

Let: E = speaks English at home; E′ = speaks another language at home; S = speaks Spanish;

E = 家庭で英語を話す、E′ = 家庭で別の言語を話す、S = スペイン語を話す、とする。

Finish each probability statement by matching the correct answer.

正しい答えを対応させ、各確率の式を完成させよ。

Table 3.4表 3.4
Probability Statements 確率の式	Answers 解答
a. $P (E') =$	i. 0.7954
b. $P (E) =$	ii. 0.616
c. $P (S \cap E') =$	iii. 0.2046
d. $P (S \| E') =$	iv. 0.1260

Solution解き方

Exercise 86問題 86

1994, the U.S. government held a lottery to issue 55,000 Green Cards (permits for non-citizens to work legally in the U.S.). Renate Deutsch, from Germany, was one of approximately 6.5 million people who entered this lottery. Let G = won green card.

英語のヒント

1994年、米国政府は55,000枚のグリーンカード（非市民が米国で合法的に働く許可）を発行するために抽選を行った。ドイツ出身のレナーテ・ドイチュは、応募した約650万人のうちの1人だった。G = グリーンカードに当選した、とする。

What was Renate’s chance of winning a Green Card? Write your answer as a probability statement.
レナーテがグリーンカードに当選する見込みはいくらだったか。確率の式で答えよ。
In the summer of 1994, Renate received a letter stating she was one of 110,000 finalists chosen. Once the finalists were chosen, assuming that each finalist had an equal chance to win, what was Renate’s chance of winning a Green Card? Write your answer as a conditional probability statement. Let F = was a finalist.
英語のヒント
1994年の夏、レナーテは最終候補11万人のうちの1人に選ばれたという手紙を受け取った。最終候補が決まった後、各候補者の当選の可能性が等しいと仮定すると、レナーテがグリーンカードに当選する見込みはいくらだったか。条件付き確率の式で答えよ。F = 最終候補者だった、とする。
Are G and F independent or dependent events? Justify your answer numerically and also explain why.
GとFは独立な事象か、従属な事象か。数値で根拠を示し、理由も説明せよ。
Are G and F mutually exclusive events? Justify your answer numerically and explain why.
GとFは排反な事象か。数値で根拠を示し、理由も説明せよ。

Exercise 87問題 87

Three professors at George Washington University did an experiment to determine if economists are more selfish than other people. They dropped 64 stamped, addressed envelopes with $10 cash in different classrooms on the George Washington campus. 44% were returned overall. From the economics classes 56% of the envelopes were returned. From the business, psychology, and history classes 31% were returned.

英語のヒント

ジョージ・ワシントン大学の教授3人が、経済学者はほかの人より利己的かどうかを調べる実験を行った。現金10ドルを入れ、宛名を書いて切手を貼った封筒64通を、キャンパス内のさまざまな教室に落とした。全体では44%が返送された。経済学の教室では56%、経営学・心理学・歴史学の教室では31%の封筒が返送された。

Let: R = money returned; E = economics classes; O = other classes

R = お金が返された、E = 経済学の教室、O = その他の教室、とする。

Write a probability statement for the overall percent of money returned.
お金が返された全体の割合を、確率の式で書け。
Write a probability statement for the percent of money returned out of the economics classes.
経済学の教室からお金が返された割合を、確率の式で書け。
Write a probability statement for the percent of money returned out of the other classes.
その他の教室からお金が返された割合を、確率の式で書け。
Is money being returned independent of the class? Justify your answer numerically and explain it.
お金が返されることは、教室の種類とは独立か。数値で根拠を示し、説明せよ。
Based upon this study, do you think that economists are more selfish than other people? Explain why or why not. Include numbers to justify your answer.
この研究に基づき、経済学者はほかの人より利己的だと思うか。その理由を説明せよ。答えの根拠となる数値を含めること。

Solution解き方

P(R) = 0.44
P(R|E) = 0.56
P(R|O) = 0.31
No, whether the money is returned is not independent of which class the money was placed in. There are several ways to justify this mathematically, but one is that the money placed in economics classes is not returned at the same overall rate; P(R|E) ≠ P(R).
英語のヒント
いいえ。お金が返されるかどうかは、お金を置いた教室の種類と独立ではない。数学的な根拠の示し方はいくつかあるが、一つは、経済学の教室に置いたお金が全体と同じ割合では返されなかったことである。P(R|E) ≠ P(R)。
No, this study definitely does not support that notion; in fact, it suggests the opposite. The money placed in the economics classrooms was returned at a higher rate than the money place in all classes collectively; P(R|E) > P(R).
英語のヒント
いいえ。この研究はその考えを明らかに支持せず、むしろ逆を示唆する。経済学の教室に置いたお金は、すべての教室を合わせた場合より高い割合で返された。P(R|E) > P(R)。

Exercise 88問題 88

The following table of data obtained from www.baseball-almanac.com shows hit information for four players. Suppose that one hit from the table is randomly selected.

www.baseball-almanac.comから得た次のデータ表は、4人の選手の安打に関する情報を示している。表の安打のうち一つを無作為に選ぶとする。

Table 3.5表 3.5
Name 氏名	Single 単打	Double 二塁打	Triple 三塁打	Home Run 本塁打	Total Hits 総安打数
Babe Ruth ベーブ・ルース	1,517	506	136	714	2,873
Jackie Robinson ジャッキー・ロビンソン	1,054	273	54	137	1,518
Ty Cobb タイ・カッブ	3,053	724	295	117	4,189
Hank Aaron ハンク・アーロン	2,294	624	98	755	3,771
Total 合計	7,918	2,127	583	1,723	12,351

Are "the hit being made by Hank Aaron" and "the hit being a double" independent events?

「ハンク・アーロンの安打である」と「二塁打である」は独立な事象か。

Yes, because P(hit by Hank Aaron|hit is a double) = P(hit by Hank Aaron)
はい。P(ハンク・アーロンの安打|二塁打) = P(ハンク・アーロンの安打)だからである。
No, because P(hit by Hank Aaron|hit is a double) ≠ P(hit is a double)
いいえ。P(ハンク・アーロンの安打|二塁打) ≠ P(二塁打)だからである。
No, because P(hit is by Hank Aaron|hit is a double) ≠ P(hit by Hank Aaron)
いいえ。P(ハンク・アーロンの安打|二塁打) ≠ P(ハンク・アーロンの安打)だからである。
Yes, because P(hit is by Hank Aaron|hit is a double) = P(hit is a double)
はい。P(ハンク・アーロンの安打|二塁打) = P(二塁打)だからである。

Solution解き方

P(type O OR Rh-) = P(type O) + P(Rh-) – P(type O AND Rh-)
0.38 = 0.45 + 0.07 – P(type O AND Rh-);
Solve to find P(type O AND Rh-) = 0.14.
14% of people have type O, Rh- blood.
P(O型 OR Rh−) = P(O型) + P(Rh−) − P(O型 AND Rh−)。0.38 = 0.45 + 0.07 − P(O型 AND Rh−)を解くと、P(O型 AND Rh−) = 0.14となる。14%の人はO型かつRh陰性の血液型である。
P(NOT(type O AND Rh-)) = 1 – P(type O AND Rh-) = 1 – 0.14 = 0.86
86% of people do not have type O, Rh- blood.
P(NOT(O型 AND Rh−)) = 1 − P(O型 AND Rh−) = 1 − 0.14 = 0.86。86%の人は、O型かつRh陰性の血液型ではない。

Exercise 89問題 89

According to the American Red Cross, a person with type O blood and a negative Rh factor (Rh-) can donate blood to any person with any blood type. Their data show that 45% of people have type O blood and 7% of people have Rh- factor; 38% of people have type O or Rh- factor.

英語のヒント

米国赤十字によると、O型でRh因子が陰性（Rh−）の人は、どの血液型の人にも献血できる。同団体のデータでは、45%の人がO型、7%の人がRh陰性であり、38%の人がO型またはRh陰性である。

Find the probability that a person has both type O blood and the Rh- factor.
ある人がO型であり、かつRh陰性である確率を求めよ。
Find the probability that a person does NOT have both type O blood and the Rh- factor.
ある人が、O型でありかつRh陰性である、という条件を満たさない確率を求めよ。

Solution解き方

P(type O OR Rh-) = P(type O) + P(Rh-) - P(type O AND Rh-)
P(O型 OR Rh−) = P(O型) + P(Rh−) − P(O型 AND Rh−)

0.52 = 0.43 + 0.15 - P(type O AND Rh-); solve to find P(type O AND Rh-) = 0.06
0.52 = 0.43 + 0.15 − P(O型 AND Rh−)を解くと、P(O型 AND Rh−) = 0.06となる。

6% of people have type O, Rh- blood
6%の人はO型かつRh陰性の血液型である。
P(NOT(type O AND Rh-)) = 1 - P(type O AND Rh-) = 1 - 0.06 = 0.94
P(NOT(O型 AND Rh−)) = 1 − P(O型 AND Rh−) = 1 − 0.06 = 0.94。

94% of people do not have type O, Rh- blood
94%の人は、O型かつRh陰性の血液型ではない。

Exercise 90問題 90

At a college, 72% of courses have final exams and 46% of courses require research papers. Suppose that 32% of courses have a research paper and a final exam. Let F be the event that a course has a final exam. Let R be the event that a course requires a research paper.

ある大学では、授業の72%に期末試験があり、46%で研究レポートが必要である。32%の授業には研究レポートと期末試験の両方があるとする。Fを期末試験がある事象、Rを研究レポートが必要な事象とする。

Find the probability that a course has a final exam or a research project.
授業に期末試験または研究課題がある確率を求めよ。
Find the probability that a course has NEITHER of these two requirements.
授業にこれら二つの要件のどちらもない確率を求めよ。

Exercise 91問題 91

In a box of assorted cookies, 36% contain chocolate and 12% contain nuts. In the box, 8% contain both chocolate and nuts. Sean is allergic to both chocolate and nuts.

英語のヒント

クッキーの詰め合わせの箱で、36%にはチョコレート、12%にはナッツが入っている。8%には両方が入っている。ショーンはチョコレートにもナッツにもアレルギーがある。

Find the probability that a cookie contains chocolate or nuts (he can't eat it).
クッキーにチョコレートまたはナッツが入っている（ショーンが食べられない）確率を求めよ。
Find the probability that a cookie does not contain chocolate or nuts (he can eat it).
クッキーにチョコレートもナッツも入っていない（ショーンが食べられる）確率を求めよ。

Solution解き方

Let C = be the event that the cookie contains chocolate. Let N = the event that the cookie contains nuts.
Cをクッキーにチョコレートが入っている事象、Nをナッツが入っている事象とする。
P(C OR N) = P(C) + P(N) - P(C AND N) = 0.36 + 0.12 - 0.08 = 0.40
P(NEITHER chocolate NOR nuts) = 1 - P(C OR N) = 1 - 0.40 = 0.60
P(チョコレートもナッツも入っていない) = 1 − P(C OR N) = 1 − 0.40 = 0.60。

Exercise 92問題 92

A college finds that 10% of students have taken a distance learning class and that 40% of students are part time students. Of the part time students, 20% have taken a distance learning class. Let D = event that a student takes a distance learning class and E = event that a student is a part time student

ある大学では、学生の10%が遠隔授業を受けたことがあり、40%がパートタイム学生だと分かった。パートタイム学生のうち20%は遠隔授業を受けたことがある。D = 学生が遠隔授業を受ける事象、E = 学生がパートタイム学生である事象、とする。

Find P(D AND E).
P(D AND E)を求めよ。
Find P(E|D).
P(E|D)を求めよ。
Find P(D OR E).
P(D OR E)を求めよ。
Using an appropriate test, show whether D and E are independent.
適切な判定方法を使い、DとEが独立かどうか示せ。
Using an appropriate test, show whether D and E are mutually exclusive.
適切な判定方法を使い、DとEが排反かどうか示せ。

Independent Events

独立な事象

The occurrence of one event has no effect on the probability of the occurrence of another event. Events A and B are independent if one of the following is true:

ある事象の発生が、別の事象の発生確率に影響を及ぼさないこと。事象AとBは、次のうち一つが成り立てば独立である。

P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A AND B) = P(A)P(B)

Mutually Exclusive

排反

Two events are mutually exclusive if the probability that they both happen at the same time is zero. If events A and B are mutually exclusive, then P(A AND B) = 0.

二つの事象が同時に起こる確率が0なら、それらは排反である。事象AとBが排反なら、P(A AND B) = 0となる。