第3章確率

3.4 Contingency Tables3.4　分割表

A contingency table provides a way of portraying data that can facilitate calculating probabilities. The table helps in determining conditional probabilities quite easily. The table displays sample values in relation to two different variables that may be dependent or contingent on one another. Later on, we will use contingency tables again, but in another manner.

英語のヒント

分割表は、確率の計算を容易にするデータの示し方である。この表を使うと、条件付き確率もかなり簡単に求められる。互いに依存または関連する可能性のある二つの変数との関係で、標本の値を表示する。後で、別の方法で再び分割表を使う。

Example 3.20例題 3.20

Suppose a study of speeding violations and drivers who use cell phones produced the following fictional data:

英語のヒント

携帯電話を使う運転者とスピード違反に関する研究で、次の架空のデータが得られたとする。

Table 3.6表 3.6
	Speeding violation in the last year 過去1年間にスピード違反あり	No speeding violation in the last year 過去1年間にスピード違反なし	Total 合計
Uses cell phone while driving 運転中に携帯電話を使う	25	280	305
Does not use cell phone while driving 運転中に携帯電話を使わない	45	405	450
Total 合計	70	685	755

The total number of people in the sample is 755. The row totals are 305 and 450. The column totals are 70 and 685. Notice that 305 + 450 = 755 and 70 + 685 = 755.

標本の総人数は755人である。各行の合計は305と450、各列の合計は70と685である。305 + 450 = 755、70 + 685 = 755となることに注意せよ。

Calculate the following probabilities using the table.

表を使い、次の確率を計算せよ。

a. Find P(Driver is a cell phone user).
b. Find P(driver had no violation in the last year).
c. Find P(Driver had no violation in the last year AND was a cell phone user).
d. Find P(Driver is a cell phone user OR driver had no violation in the last year).
e. Find P(Driver is a cell phone user GIVEN driver had a violation in the last year).
f. Find P(Driver had no violation last year GIVEN driver was not a cell phone user)

a. P(運転者が携帯電話利用者)を求めよ。b. P(運転者が過去1年間に違反なし)を求めよ。c. P(運転者が過去1年間に違反なし AND 携帯電話利用者)を求めよ。d. P(運転者が携帯電話利用者 OR 過去1年間に違反なし)を求めよ。e. P(運転者が携帯電話利用者|過去1年間に違反あり)を求めよ。f. P(運転者が過去1年間に違反なし|携帯電話利用者でない)を求めよ。

Solution解き方

\frac{number of cell phone users}{total number in study} = \frac{305}{755}

\frac{number that had no violation}{total number in study} = \frac{685}{755}

\frac{280}{755}

(\frac{305}{755} + \frac{685}{755}) - \frac{280}{755} = \frac{710}{755}

\frac{25}{70}

(The sample space is reduced to the number of drivers who had a violation.)
f.

\frac{405}{450}

(The sample space is reduced to the number of drivers who were not cell phone users.)

\frac{携帯電話利用者の人数}{調査対象者の総人数} = \frac{305}{755}

\frac{違反しなかった人数}{調査対象者の総人数} = \frac{685}{755}

\frac{280}{755}

(\frac{305}{755} + \frac{685}{755}) - \frac{280}{755} = \frac{710}{755}

\frac{25}{70}

（標本空間は、違反した運転者の人数に縮小される。）f.

\frac{405}{450}

（標本空間は、携帯電話利用者でない運転者の人数に縮小される。）

Try itやってみよう

Table 3.7 shows the number of athletes who stretch before exercising and how many had injuries within the past year.

表3.7は、運動前にストレッチをする運動選手の人数と、過去1年間にけがをした人数を示している。

Table 3.7表 3.7
	Injury in last year 過去1年間にけがあり	No injury in last year 過去1年間にけがなし	Total 合計
Stretches ストレッチをする	55	295	350
Does not stretch ストレッチをしない	231	219	450
Total 合計	286	514	800

What is P(athlete stretches before exercising)?
P(運動選手が運動前にストレッチする)はいくらか。
What is P(athlete stretches before exercising|no injury in the last year)?
P(運動選手が運動前にストレッチする|過去1年間にけがなし)はいくらか。

Example 3.21例題 3.21

Table 3.8 shows a random sample of 100 hikers and the areas of hiking they prefer.

表3.8は、ハイキングをする100人の無作為標本と、好みのハイキング場所を示している。

Hiking Area Preference好みのハイキング場所

Table 3.8表 3.8
Sex 性別	The Coastline 海岸沿い	Near Lakes and Streams 湖や小川の近く	On Mountain Peaks 山頂	Total 合計
Women 女性	18	16		45
Men 男性			14	55
Total 合計		41

a. Complete the table.

a. 表を完成させよ。

Solution解き方

Hiking Area Preference好みのハイキング場所

Table 3.9表 3.9
Sex 性別	The Coastline 海岸沿い	Near Lakes and Streams 湖や小川の近く	On Mountain Peaks 山頂	Total 合計
Women 女性	18	16	11	45
Men 男性	16	25	14	55
Total 合計	34	41	25	100

b. Are the events "being a woman" and "preferring the coastline" independent events?

b. 「女性である」と「海岸沿いを好む」は独立な事象か。

Let F = being a woman and let C = preferring the coastline.

F = 女性である、C = 海岸沿いを好む、とする。

Find P(F AND C).
P(F AND C)を求めよ。
Find P(F)P(C)
P(F)P(C)を求めよ。

Are these two numbers the same? If they are, then F and C are independent. If they are not, then F and C are not independent.

これら二つの数は等しいか。等しければFとCは独立である。等しくなければFとCは独立ではない。

Solution解き方

P(F AND C) = $\frac{18}{100}$ = 0.18
P(F)P(C) = $(\frac{45}{100}) (\frac{34}{100})$ = (0.45)(0.34) = 0.153

P(F AND C) ≠ P(F)P(C), so the events F and C are not independent.

P(F AND C) ≠ P(F)P(C)なので、事象FとCは独立ではない。

c. Find the probability that a person is a man given that the person prefers hiking near lakes and streams. Let M = being a man, and let L = prefers hiking near lakes and streams.

c. 湖や小川の近くでハイキングするのを好むという条件のもとで、その人が男性である確率を求めよ。M = 男性である、L = 湖や小川の近くでのハイキングを好む、とする。

What word tells you this is a conditional?
これが条件付きであると分かるのは、どの言葉によるか。
Fill in the blanks and calculate the probability: P(___|___) = ___.
空欄を埋め、確率を計算せよ：P(___|___) = ___。
Is the sample space for this problem all 100 hikers? If not, what is it?
この問題の標本空間はハイキングをする100人全員か。そうでなければ何か。

Solution解き方

The word 'given' tells you that this is a conditional.
givenという語から、条件付きであると分かる。
P(M|L) = $\frac{25}{41}$
No, the sample space for this problem is the 41 hikers who prefer lakes and streams.
いいえ。この問題の標本空間は、湖や小川の近くを好む41人である。

d. Find the probability that a person is a woman or prefers hiking on mountain peaks. Let F = being a woman, and let P = prefers mountain peaks.

d. その人が女性、または山頂でのハイキングを好む確率を求めよ。F = 女性である、P = 山頂を好む、とする。

Find P(F).
P(F)を求めよ。
Find P(P).
P(P)を求めよ。
Find P(F AND P).
P(F AND P)を求めよ。
Find P(F OR P).
P(F OR P)を求めよ。

Solution解き方

P(F) = $\frac{45}{100}$
P(P) = $\frac{25}{100}$
P(F AND P) = $\frac{11}{100}$
P(F OR P) = $\frac{45}{100}$ + $\frac{25}{100}$ - $\frac{11}{100}$ = $\frac{59}{100}$

Try Itやってみよう

Table 3.10 shows a random sample of 200 cyclists and the routes they prefer. Let O = older and H = hilly path.

英語のヒント

表3.10は、サイクリングをする200人の無作為標本と、好みの経路を示している。O = 年齢が高い、H = 起伏のある道、とする。

Table 3.10表 3.10
Age Group 年齢層	Lake Path 湖沿いの道	Hilly Path 起伏のある道	Wooded Path 林の中の道	Total 合計
Younger 若い層	45	38	27	110
Older 年齢が高い層	26	52	12	90
Total 合計	71	90	39	200

Out of the older group, what is the probability that the cyclist prefers a hilly path?
年齢が高い集団の中で、その人が起伏のある道を好む確率はいくらか。
Are the events “being older” and “preferring the hilly path” independent events?
「年齢が高い」と「起伏のある道を好む」は独立な事象か。

Example 3.22例題 3.22

Muddy Mouse lives in a cage with three doors. If Muddy goes out the first door, the probability that he gets caught by Alissa the cat is

\frac{1}{5}

and the probability he is not caught is

\frac{4}{5}

. If he goes out the second door, the probability he gets caught by Alissa is

\frac{1}{4}

and the probability he is not caught is

\frac{3}{4}

. The probability that Alissa catches Muddy coming out of the third door is

\frac{1}{2}

and the probability she does not catch Muddy is

\frac{1}{2}

. It is equally likely that Muddy will choose any of the three doors so the probability of choosing each door is

\frac{1}{3}

ネズミのマディは、扉が三つあるおりに住んでいる。第1の扉から出ると、ネコのアリッサに捕まる確率は

\frac{1}{5}

、捕まらない確率は

\frac{4}{5}

である。第2の扉から出ると、捕まる確率は

\frac{1}{4}

、捕まらない確率は

\frac{3}{4}

である。第3の扉から出るマディをアリッサが捕まえる確率は

\frac{1}{2}

、捕まえない確率は

\frac{1}{2}

である。マディが三つの扉のどれを選ぶかは同様に確からしいので、各扉を選ぶ確率は

\frac{1}{3}

である。

Door Choice選んだ扉

Table 3.11表 3.11
Caught or Not 捕まったかどうか	Door One 扉1	Door Two 扉2	Door Three 扉3	Total 合計
Caught 捕まった	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$
Not Caught 捕まらなかった	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$
Total 合計				1

The first entry $\frac{1}{15} = (\frac{1}{5}) (\frac{1}{3})$ is P(Door One AND Caught)
最初の値 $\frac{1}{15} = (\frac{1}{5}) (\frac{1}{3})$ は、P(扉1 AND 捕まる)である。
The entry $\frac{4}{15} = (\frac{4}{5}) (\frac{1}{3})$ is P(Door One AND Not Caught)
値 $\frac{4}{15} = (\frac{4}{5}) (\frac{1}{3})$ は、P(扉1 AND 捕まらない)である。

Verify the remaining entries.

残りの値を確認せよ。

a. Complete the probability contingency table. Calculate the entries for the totals. Verify that the lower-right corner entry is 1.

a. 確率の分割表を完成させよ。合計の欄の値を計算せよ。右下隅の値が1となることを確認せよ。

b. What is the probability that Alissa does not catch Muddy?

b. アリッサがマディを捕まえない確率はいくらか。

c. What is the probability that Muddy chooses Door One OR Door Two given that Muddy is caught by Alissa?

c. マディがアリッサに捕まったという条件のもとで、扉1または扉2を選んだ確率はいくらか。

Solution解き方

Door Choice選んだ扉

Table 3.12表 3.12
Caught or Not 捕まったかどうか	Door One 扉1	Door Two 扉2	Door Three 扉3	Total 合計
Caught 捕まった	$\frac{1}{15}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{19}{60}$
Not Caught 捕まらなかった	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{41}{60}$
Total 合計	$\frac{5}{15}$	$\frac{4}{12}$	$\frac{2}{6}$	1

\frac{41}{60}

\frac{9}{19}

Try Itやってみよう

Anna has to buy a new car. She has two choices, car A and car B. Anna can afford only one car. The probability that Anna will buy car A is

P (A) = 0.25

, and the probability that Anna will buy car B is

P (B) = 0.65

. Find:

アナは新しい車を買わなければならない。選択肢は車Aと車Bの二つである。アナが買えるのは1台だけである。車Aを買う確率は

P (A) = 0.25

、車Bを買う確率は

P (B) = 0.65

である。次を求めよ。

$P (A A N D B)$
$P (A O R B)$

Solution解答

$P (A A N D B) = 0$ because it is given that Anna can afford only one car.
$P (A A N D B) = 0$ 。アナが購入できるのは車1台だけだと与えられているためである。
Since $P (A A N D B) = 0$ , then $P (A O R B) = P (A) + P (B) = 0.25 + 0.65 = 0.9$ . Note that the probability that Anna does not a car must be 0.1.
$P (A A N D B) = 0$ なので、 $P (A O R B) = P (A) + P (B) = 0.25 + 0.65 = 0.9$ となる。アナが車を買わない確率は0.1でなければならないことに注意せよ。

Example 3.23例題 3.23

Table 3.13 contains the number of crimes per 100,000 inhabitants in the United States over the span of several years.

表3.13には、米国の住民10万人当たりの犯罪件数を、数年にわたって示している。

United States Crime Index Rates Per 100,000 Inhabitants米国の住民10万人当たりの犯罪指数

Table 3.13表 3.13
Year 年	Robbery 強盗	Burglary 英語のヒント侵入窃盗	Vandalism 英語のヒント器物損壊	Vehicle 車両
1	145.7	732.1	29.7	314.7
2	133.1	717.7	29.1	259.2
3	119.3	701	27.7	239.1
4	113.7	702.2	26.8	229.6
Total 合計

TOTAL each column and each row. Total data = 4,520.7

各列と各行を合計せよ。全データの合計 = 4,520.7。

Find P(Year 2 AND Robbery).
P(2年目 AND 強盗)を求めよ。
Find P(Year 3 AND Burglary).
P(3年目 AND 侵入窃盗)を求めよ。
Find P(Year 3 OR Burglary).
P(3年目 OR 侵入窃盗)を求めよ。
Find P(Year 4 | Vandalism).
P(4年目|器物損壊)を求めよ。
Find P(Vehicle | Year 1).
P(車両|1年目)を求めよ。

Solution解き方

a. 0.0294, b. 0.1551, c. 0.7165, d. 0.2365, e. 0.2575

Try Itやってみよう

Table 3.14 relates the weights and heights of a group of individuals participating in an observational study.

表3.14は、観察研究に参加した人々の体重と身長の関係を示している。

Table 3.14表 3.14
Weight/Height 体重／身長	Tall 高い	Medium 中程度	Short 低い
Overweight 過体重	18	28	14
Typical Weight Range 標準的な体重の範囲	20	51	28
Underweight 低体重	12	25	9
Totals 合計

Find the total for each row and column
各行と各列の合計を求めよ。
Find the probability that a randomly chosen individual from this group is Tall.
この集団から無作為に選んだ人の身長が高い確率を求めよ。
Find the probability that a randomly chosen individual from this group is Overweight and Tall.
この集団から無作為に選んだ人が過体重であり、かつ身長が高い確率を求めよ。
Find the probability that a randomly chosen individual from this group is Tall given that the individual is Overweight.
この集団から無作為に選んだ人が過体重であるという条件のもとで、身長が高い確率を求めよ。
Find the probability that a randomly chosen individual from this group is Overweight given that the individual is Tall.
この集団から無作為に選んだ人の身長が高いという条件のもとで、過体重である確率を求めよ。
Find the probability a randomly chosen individual from this group is Tall and Underweight.
この集団から無作為に選んだ人の身長が高く、かつ低体重である確率を求めよ。
Are the events Overweight and Tall independent?
過体重と身長が高いという事象は独立か。

第3章確率

3.4 Contingency Tables3.4 分割表

Hiking Area Preference好みのハイキング場所

Hiking Area Preference好みのハイキング場所

Door Choice選んだ扉

Door Choice選んだ扉

United States Crime Index Rates Per 100,000 Inhabitants米国の住民10万人当たりの犯罪指数

3.4 Contingency Tables3.4　分割表