第3章確率

Mutually Exclusive Events排反な事象

A and B are mutually exclusive events if they cannot occur at the same time. This means that A and B do not share any outcomes and P(A AND B) = 0.

英語のヒント

AとBが同時に起こりえないとき、それらは排反な事象である。これは、AとBに共通する結果がなく、P(A AND B) = 0であることを意味する。

For example, suppose the sample space S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Let A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, and C = {7, 9}. A AND B = {4, 5}. P(A AND B) =

\frac{2}{10}

and is not equal to zero. Therefore, A and B are not mutually exclusive. A and C do not have any numbers in common so P(A AND C) = 0. Therefore, A and C are mutually exclusive.

たとえば、標本空間をS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}とする。A = {1, 2, 3, 4, 5}、B = {4, 5, 6, 7, 8}、C = {7, 9}と置く。A AND B = {4, 5}であり、P(A AND B) =

\frac{2}{10}

は0ではない。したがって、AとBは排反ではない。AとCには共通する数がないので、P(A AND C) = 0となる。したがって、AとCは排反である。

If it is not known whether A and B are mutually exclusive, assume they are not until you can show otherwise. The following examples illustrate these definitions and terms.

AとBが排反かどうか分からない場合は、そうでないことを示せるまで、排反ではないと仮定する。次の例で、これらの定義と用語を説明する。

Example 3.6例題 3.6

Flip two fair coins. (This is an experiment.)

公平な硬貨を2枚投げる。（これは実験である。）

The sample space is {HH, HT, TH, TT} where T = tails and H = heads. The outcomes are HH, HT, TH, and TT. The outcomes HT and TH are different. The HT means that the first coin showed heads and the second coin showed tails. The TH means that the first coin showed tails and the second coin showed heads.

標本空間は{HH, HT, TH, TT}で、T = 裏、H = 表である。結果はHH、HT、TH、TTである。HTとTHは異なる結果である。HTは1枚目が表、2枚目が裏を示す。THは1枚目が裏、2枚目が表を示す。

Let A = the event of getting at most one tail. (At most one tail means zero or one tail.) Then A can be written as {HH, HT, TH}. The outcome HH shows zero tails. HT and TH each show one tail.
A = 裏が高々一つ出る事象、とする。（裏が高々一つとは、裏が0個または1個であることを意味する。）このときAは{HH, HT, TH}と書ける。HHでは裏は0個、HTとTHではそれぞれ裏は1個である。
Let B = the event of getting all tails. B can be written as {TT}. B is the complement of A, so B = A′. Also, P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1.
B = すべて裏が出る事象、とする。Bは{TT}と書ける。BはAの余事象なので、B = A′である。また、P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1となる。
The probabilities for A and for B are P(A) = $\frac{3}{4}$ and P(B) = $\frac{1}{4}$ .
AとBの確率は、それぞれP(A) = $\frac{3}{4}$ 、P(B) = $\frac{1}{4}$ である。
Let C = the event of getting all heads. C = {HH}. Since B = {TT}, P(B AND C) = 0. B and C are mutually exclusive. (B and C have no members in common because you cannot have all tails and all heads at the same time.)
C = すべて表が出る事象、とする。C = {HH}である。B = {TT}なので、P(B AND C) = 0となる。BとCは排反である。（すべて裏とすべて表が同時に起こることはないので、BとCに共通する要素はない。）
Let D = event of getting more than one tail. D = {TT}. P(D) = $\frac{1}{4}$
D = 裏が一つより多く出る事象、とする。D = {TT}であり、P(D) = $\frac{1}{4}$ である。
Let E = event of getting a head on the first roll. (This implies you can get either a head or tail on the second roll.) E = {HT, HH}. P(E) = $\frac{2}{4}$
英語のヒント
E = 1回目に表が出る事象、とする。（この場合、2回目は表でも裏でもよい。）E = {HT, HH}であり、P(E) = $\frac{2}{4}$ である。
Find the probability of getting at least one (one or two) tail in two flips. Let F = event of getting at least one tail in two flips. F = {HT, TH, TT}. P(F) = $\frac{3}{4}$
2回投げて、少なくとも一つ（1個または2個）裏が出る確率を求めよ。F = 2回投げて少なくとも一つ裏が出る事象、とする。F = {HT, TH, TT}であり、P(F) = $\frac{3}{4}$ である。

Example 3.7例題 3.7

Flip two fair coins. Find the probabilities of the events.

公平な硬貨を2枚投げる。次の事象の確率を求めよ。

Let F = the event of getting at most one tail (zero or one tail).
F = 裏が高々一つ（0個または1個）出る事象、とする。
Let G = the event of getting two faces that are the same.
G = 二つの面が同じである事象、とする。
Let H = the event of getting a head on the first flip followed by a head or tail on the second flip.
H = 1回目に表が出て、続く2回目に表または裏が出る事象、とする。
Are F and G mutually exclusive?
FとGは排反か。
Let J = the event of getting all tails. Are J and H mutually exclusive?
J = すべて裏が出る事象、とする。JとHは排反か。

Solution解き方

Look at the sample space in Example 3.6.

例3.6の標本空間を見よ。

Zero (0) or one (1) tails occur when the outcomes HH, TH, HT show up. P(F) = $\frac{3}{4}$
裏が0個または1個となるのは、HH、TH、HTが出る場合である。P(F) = $\frac{3}{4}$ 。
Two faces are the same if HH or TT show up. P(G) = $\frac{2}{4}$
HHまたはTTが出れば、二つの面は同じになる。P(G) = $\frac{2}{4}$ 。
A head on the first flip followed by a head or tail on the second flip occurs when HH or HT show up. P(H) = $\frac{2}{4}$
1回目に表が出て、2回目に表または裏が出るのは、HHまたはHTの場合である。P(H) = $\frac{2}{4}$ 。
F and G share HH so P(F AND G) is not equal to zero (0). F and G are not mutually exclusive.
FとGにはHHが共通して含まれるので、P(F AND G)は0ではない。FとGは排反ではない。
Getting all tails occurs when tails shows up on both coins (TT). H’s outcomes are HH and HT.
両方の硬貨が裏（TT）のとき、すべて裏になる。Hに含まれる結果はHHとHTである。

J and H have nothing in common so P(J AND H) = 0. J and H are mutually exclusive.

JとHに共通するものはないので、P(J AND H) = 0となる。JとHは排反である。

Try Itやってみよう

A box has two balls, one white and one red. We select one ball, put it back in the box, and select a second ball (sampling with replacement). Find the probability of the following events:

箱に白い球と赤い球が1個ずつ、合計2個ある。球を1個取り出して箱に戻し、2個目を取り出す（復元抽出）。次の事象の確率を求めよ。

Let F = the event of getting the white ball twice.
F = 白い球を2回取り出す事象、とする。
Let G = the event of getting two balls of different colors.
G = 異なる色の球を二つ取り出す事象、とする。
Let H = the event of getting white on the first pick.
H = 1回目に白い球を取り出す事象、とする。
Are F and G mutually exclusive?
FとGは排反か。
Are G and H mutually exclusive?
GとHは排反か。

Example 3.8例題 3.8

Roll one fair, six-sided die. The sample space is {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Let event A = a face is odd. Then A = {1, 3, 5}. Let event B = a face is even. Then B = {2, 4, 6}.

公平な6面のさいころを1個投げる。標本空間は{1, 2, 3, 4, 5, 6}である。事象A = 出目が奇数である、とすると、A = {1, 3, 5}となる。事象B = 出目が偶数である、とすると、B = {2, 4, 6}となる。

Find the complement of A, A′. The complement of A, A′, is B because A and B together make up the sample space. P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1. Also, P(A) = $\frac{3}{6}$ and P(B) = $\frac{3}{6}$ .
Aの余事象A′を求めよ。AとBを合わせると標本空間になるので、Aの余事象A′はBである。P(A) + P(B) = P(A) + P(A′) = 1となる。また、P(A) = $\frac{3}{6}$ 、P(B) = $\frac{3}{6}$ である。
Let event C = odd faces larger than two. Then C = {3, 5}. Let event D = all even faces smaller than five. Then D = {2, 4}. P(C AND D) = 0 because you cannot have an odd and even face at the same time. Therefore, C and D are mutually exclusive events.
事象C = 2より大きい奇数の目、とすると、C = {3, 5}となる。事象D = 5未満の偶数の目すべて、とすると、D = {2, 4}となる。奇数と偶数の目が同時に出ることはないので、P(C AND D) = 0である。したがって、CとDは排反な事象である。
Let event E = all faces less than five. E = {1, 2, 3, 4}.
事象E = 5未満の目すべて、とする。E = {1, 2, 3, 4}である。

Are C and E mutually exclusive events? (Answer yes or no.) Why or why not?

CとEは排反な事象か。（はい、またはいいえで答えよ。）その理由は何か。

Solution解き方

No. C = {3, 5} and E = {1, 2, 3, 4}. P(C AND E) =

\frac{1}{6}

. To be mutually exclusive, P(C AND E) must be zero.

いいえ。C = {3, 5}、E = {1, 2, 3, 4}であり、P(C AND E) =

\frac{1}{6}

となる。排反であるためには、P(C AND E)が0でなければならない。

Find P(C|A). This is a conditional probability. Recall that the event C is {3, 5} and event A is {1, 3, 5}. To find P(C|A), find the probability of C using the sample space A. You have reduced the sample space from the original sample space {1, 2, 3, 4, 5, 6} to {1, 3, 5}. So, P(C|A) = $\frac{2}{3}$ .
P(C|A)を求めよ。これは条件付き確率である。事象Cは{3, 5}、事象Aは{1, 3, 5}であることを思い出そう。P(C|A)を求めるには、Aを標本空間としてCの確率を求める。もとの標本空間{1, 2, 3, 4, 5, 6}を{1, 3, 5}に縮小したことになる。したがって、P(C|A) = $\frac{2}{3}$ である。

Try Itやってみよう

Let event A = learning Spanish. Let event B = learning German. Then A AND B = learning Spanish and German. Suppose P(A) = 0.4 and P(B) = 0.2. P(A AND B) = 0.08. Are events A and B independent? Hint: You must show ONE of the following:

事象A = スペイン語を学ぶ、事象B = ドイツ語を学ぶ、とする。このときA AND B = スペイン語とドイツ語を学ぶ、である。P(A) = 0.4、P(B) = 0.2、P(A AND B) = 0.08とする。事象AとBは独立か。ヒント：次のうち一つを示せばよい。

P(A|B) = P(A)
P(B|A) = P(B)
P(A AND B) = P(A)P(B)

Solution解答

P(A|B) =

\frac{P (A AND B)}{P (B)} = \frac{0. 08}{0.2} = 0 .4 = P (A)

The events are independent because P(A|B) = P(A).

P(A|B) = P(A)なので、これらの事象は独立である。

Example 3.9例題 3.9

Let event G = taking a math class. Let event H = taking a science class. Then, G AND H = taking a math class and a science class. Suppose P(G) = 0.6, P(H) = 0.5, and P(G AND H) = 0.3. Are G and H independent?

事象G = 数学の授業を履修する、事象H = 科学の授業を履修する、とする。このとき、G AND H = 数学と科学の両方の授業を履修する、である。P(G) = 0.6、P(H) = 0.5、P(G AND H) = 0.3とする。GとHは独立か。

If G and H are independent, then you must show ONE of the following:

GとHが独立であるなら、次のうち一つを示す必要がある。

P(G|H) = P(G)
P(H|G) = P(H)
P(G AND H) = P(G)P(H)

a. Show that P(G|H) = P(G).

a. P(G|H) = P(G)であることを示せ。

Solution解き方

P(G|H) =

\frac{P (G AND H)}{P (H)}

\frac{0 .3}{0 .5}

= 0.6 = P(G)

b. Show P(G AND H) = P(G)P(H).

b. P(G AND H) = P(G)P(H)であることを示せ。

Solution解き方

P(G)P(H) = (0.6)(0.5) = 0.3 = P(G AND H)

Since G and H are independent, knowing that a person is taking a science class does not change the chance that they are taking a math class. If the two events had not been independent (that is, they are dependent) then knowing that a person is taking a science class would change the chance they are taking math. For practice, show that P(H|G) = P(H) to show that G and H are independent events.

英語のヒント

GとHは独立なので、ある人が科学の授業を履修していると分かっても、その人が数学の授業を履修している確率は変わらない。二つの事象が独立でなければ（つまり従属なら）、科学を履修していると分かることで、数学を履修している確率は変わるだろう。練習としてP(H|G) = P(H)を示し、GとHが独立な事象であることを確かめよ。

Example 3.10例題 3.10

Let event C = taking an English class. Let event D = taking a speech class.

事象C = 英語の授業を履修する、事象D = スピーチの授業を履修する、とする。

Suppose P(C) = 0.75, P(D) = 0.3, P(C|D) = 0.75 and P(C AND D) = 0.225.

P(C) = 0.75、P(D) = 0.3、P(C|D) = 0.75、P(C AND D) = 0.225とする。

Justify your answers to the following questions numerically.

英語のヒント

次の問いへの答えについて、数値で根拠を示せ。

Are C and D independent?
CとDは独立か。
Are C and D mutually exclusive?
CとDは排反か。
What is P(D|C)?
P(D|C)はいくらか。

Solution解き方

Yes, because P(C|D) = P(C).
はい。P(C|D) = P(C)だからである。
No, because P(C AND D) is not equal to zero.
いいえ。P(C AND D)が0ではないからである。
P(D|C) = $\frac{P (C AND D)}{P (C)}$ = $\frac{0 .225}{0.75}$ = 0.3

Example 3.11例題 3.11

In a box there are three red cards and five blue cards. The red cards are marked with the numbers 1, 2, and 3, and the blue cards are marked with the numbers 1, 2, 3, 4, and 5. The cards are well-shuffled. You reach into the box (you cannot see into it) and draw one card.

箱に赤いカード3枚と青いカード5枚が入っている。赤いカードには1、2、3、青いカードには1、2、3、4、5の番号が付いている。カードはよく混ぜてある。中を見ずに箱に手を入れ、カードを1枚引く。

Let R = red card is drawn, B = blue card is drawn, E = even-numbered card is drawn.

R = 赤いカードを引く、B = 青いカードを引く、E = 偶数の番号のカードを引く、とする。

The sample space S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S has eight outcomes.

標本空間S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5である。Sには八つの結果がある。

P(R) = $\frac{3}{8}$ . P(B) = $\frac{5}{8}$ . P(R AND B) = 0. (You cannot draw one card that is both red and blue.)
P(R) = $\frac{3}{8}$ 、P(B) = $\frac{5}{8}$ 、P(R AND B) = 0である。（赤と青の両方であるカードを1枚引くことはできない。）
P(E) = $\frac{3}{8}$ . (There are three even-numbered cards, R2, B2, and B4.)
P(E) = $\frac{3}{8}$ 。（偶数の番号のカードはR2、B2、B4の3枚ある。）
P(E|B) = $\frac{2}{5}$ . (There are five blue cards: B1, B2, B3, B4, and B5. Out of the blue cards, there are two even cards; B2 and B4.)
P(E|B) = $\frac{2}{5}$ 。（青いカードはB1、B2、B3、B4、B5の5枚で、そのうち偶数のカードはB2とB4の2枚である。）
P(B|E) = $\frac{2}{3}$ . (There are three even-numbered cards: R2, B2, and B4. Out of the even-numbered cards, to are blue; B2 and B4.)
P(B|E) = $\frac{2}{3}$ 。（偶数の番号のカードはR2、B2、B4の3枚で、そのうち青いカードはB2とB4の2枚である。）
The events R and B are mutually exclusive because P(R AND B) = 0.
P(R AND B) = 0なので、事象RとBは排反である。
Let G = card with a number greater than 3. G = {B4, B5}. P(G) = $\frac{2}{8}$ . Let H = blue card numbered between one and four, inclusive. H = {B1, B2, B3, B4}. P(G|H) = $\frac{1}{4}$ . (The only card in H that has a number greater than three is B4.) Since $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$ , P(G) = P(G|H), which means that G and H are independent.
G = 番号が3より大きいカード、とする。G = {B4, B5}であり、P(G) = $\frac{2}{8}$ である。H = 番号が1以上4以下の青いカード、とする。H = {B1, B2, B3, B4}であり、P(G|H) = $\frac{1}{4}$ である。（Hのうち番号が3より大きいカードはB4だけである。） $\frac{2}{8}$ = $\frac{1}{4}$ なので、P(G) = P(G|H)となる。これはGとHが独立であることを意味する。

Try Itやってみよう

In a basketball arena,

あるバスケットボール競技場では、

70% of the fans are rooting for the home team.
英語のヒント
観客の70%がホームチームを応援している。
25% of the fans are wearing blue.
観客の25%が青い服を着ている。
20% of the fans are wearing blue and are rooting for the away team.
観客の20%が青い服を着ており、かつアウェーチームを応援している。
Of the fans rooting for the away team, 67% are wearing blue.
アウェーチームを応援している観客のうち、67%が青い服を着ている。

Let A be the event that a fan is rooting for the away team.
Let B be the event that a fan is wearing blue.
Are the events of rooting for the away team and wearing blue independent? Are they mutually exclusive?

Aを観客がアウェーチームを応援している事象、Bを観客が青い服を着ている事象とする。アウェーチームを応援する事象と青い服を着る事象は独立か。排反か。

Example 3.12例題 3.12

In a particular college class, 60% of the students are women. Fifty percent of all students in the class have long hair. Forty-five percent of the students are women and have long hair. Of the women students, 75% have long hair. Let W be the event that a student is a women. Let L be the event that a student has long hair. One student is picked randomly. Are the events of being a woman and having long hair independent?

ある大学のクラスでは、学生の60%が女性である。クラス全体の50%は髪が長い。学生の45%は女性で、かつ髪が長い。女性の学生のうち75%は髪が長い。Wを学生が女性である事象、Lを学生の髪が長い事象とする。学生を1人無作為に選ぶ。女性である事象と髪が長い事象は独立か。

The following probabilities are given in this example:
この例では、次の確率が与えられている。
P(W) = 0.60; P(L) = 0.50
P(W AND L) = 0.45
P(L|W) = 0.75

Solution解き方

>Check whether P(W AND L) = P(W)P(L). We are given that P(W AND L) = 0.45, but P(W)P(L) = (0.60)(0.50) = 0.30. The events of being a woman and having long hair are not independent because P(W AND L) does not equal P(W)P(L).

P(W AND L) = P(W)P(L)かどうか確認する。P(W AND L) = 0.45と与えられているが、P(W)P(L) = (0.60)(0.50) = 0.30である。P(W AND L)はP(W)P(L)に等しくないので、女性である事象と髪が長い事象は独立ではない。

Check whether P(L|W) equals P(L). We are given that P(L|W) = 0.75, but P(L) = 0.50; they are not equal. The events of being a woman and having long hair are not independent.

P(L|W)がP(L)に等しいか確認する。P(L|W) = 0.75と与えられているが、P(L) = 0.50であり、等しくない。女性である事象と髪が長い事象は独立ではない。

Example 3.13例題 3.13

Toss one fair coin (the coin has two sides, H and T). The outcomes are ________. Count the outcomes. There are ____ outcomes.
公平な硬貨を1枚投げる（面はHとTの二つ）。結果は________である。結果を数えよ。結果は____個ある。
Toss one fair, six-sided die (the die has 1, 2, 3, 4, 5 or 6 dots on a side). The outcomes are ________________. Count the outcomes. There are ___ outcomes.
公平な6面のさいころを1個投げる（各面の目は1、2、3、4、5、6）。結果は________________である。結果を数えよ。結果は___個ある。
Multiply the two numbers of outcomes. The answer is _______.
二つの結果の個数を掛け合わせよ。答えは_______である。
If you flip one fair coin and follow it with the toss of one fair, six-sided die, the answer in part c. is the number of outcomes (size of the sample space). What are the outcomes? (Hint: Two of the outcomes are H1 and T6.)
公平な硬貨を1枚投げ、続いて公平な6面のさいころを1個投げる場合、cの答えが結果の個数（標本空間の大きさ）になる。結果はどのようなものか。（ヒント：結果のうち二つはH1とT6である。）
Event A = heads (H) on the coin followed by an even number (2, 4, 6) on the die.
A = {_________________}. Find P(A).
事象A = 硬貨が表（H）で、続くさいころが偶数（2、4、6）となる。A = {_________________}。P(A)を求めよ。
Event B = heads on the coin followed by a three on the die. B = {________}. Find P(B).
事象B = 硬貨が表で、続くさいころが3となる。B = {________}。P(B)を求めよ。
Are A and B mutually exclusive? (Hint: What is P(A AND B)? If P(A AND B) = 0, then A and B are mutually exclusive.)
AとBは排反か。（ヒント：P(A AND B)はいくらか。P(A AND B) = 0なら、AとBは排反である。）
Are A and B independent? (Hint: Is P(A AND B) = P(A)P(B)? If P(A AND B) = P(A)P(B), then A and B are independent. If not, then they are dependent).
AとBは独立か。（ヒント：P(A AND B) = P(A)P(B)か。これが成り立てばAとBは独立である。成り立たなければ従属である。）

Solution解き方

H and T; 2
HとT、2個。
1, 2, 3, 4, 5, 6; 6
2(6) = 12
T1, T2, T3, T4, T5, T6, H1, H2, H3, H4, H5, H6
A = {H2, H4, H6}; P(A) = $\frac{3}{12}$
B = {H3}; P(B) = $\frac{1}{12}$
Yes, because P(A AND B) = 0
はい。P(A AND B) = 0だからである。
P(A AND B) = 0.P(A)P(B) = $(\frac{3}{12})$ $(\frac{1}{12})$ . P(A AND B) does not equal P(A)P(B), so A and B are dependent.
P(A AND B) = 0、P(A)P(B) = $(\frac{3}{12})$ $(\frac{1}{12})$ である。P(A AND B)はP(A)P(B)に等しくないので、AとBは従属である。

Try Itやってみよう

A box has two balls, one white and one red. We select one ball, put it back in the box, and select a second ball (sampling with replacement). Let T be the event of getting the white ball twice, F the event of picking the white ball first, S the event of picking the white ball in the second drawing.

箱に白い球と赤い球が1個ずつ、合計2個ある。球を1個取り出して箱に戻し、2個目を取り出す（復元抽出）。Tを白い球を2回取り出す事象、Fを1回目に白い球を取り出す事象、Sを2回目に白い球を取り出す事象とする。

Compute P(T).
P(T)を計算せよ。
Compute P(T|F).
P(T|F)を計算せよ。
Are T and F independent?.
TとFは独立か。
Are F and S mutually exclusive?
FとSは排反か。
Are F and S independent?
FとSは独立か。