プリンキピア

第7章実数の性質

7.4 Properties of Identity, Inverses, and Zero7.4　単位元・逆元・0の性質

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Recognize the identity properties of addition and multiplication
    加法と乗法の単位元の性質を見分ける
  • Use the inverse properties of addition and multiplication
    加法と乗法の逆元の性質を使う
  • Use the properties of zero
    0の性質を使う
  • Simplify expressions using the properties of identities, inverses, and zero
    単位元・逆元・0の性質を使って式を簡単にする
Before You Begin (3)準備問題（3題）

Recognize the Identity Properties of Addition and Multiplication加法と乗法の単位元の性質を見分ける

What happens when we add zero to any number? Adding zero doesn’t change the value. For this reason, we call 0 the additive identity.
英語のヒント
ある数に0を足すとどうなるだろうか。0を足しても値は変わらない。このため、0を加法の単位元と呼ぶ。
For example,
例えば、
13+0−14+00+(−3x) 13−14−3x
What happens when you multiply any number by one? Multiplying by one doesn’t change the value. So we call 1 the multiplicative identity.
英語のヒント
ある数に1を掛けるとどうなるだろうか。1を掛けても値は変わらない。そこで、1を乗法の単位元と呼ぶ。
For example,
例えば、
43·1−27·11·6y543−276y5
Example 7.33例題 7.33
Identify whether each equation demonstrates the identity property of addition or multiplication.
各等式が加法と乗法のどちらの単位元の性質を示しているかを判定せよ。
  1. ⓐ 7+0=7
  2. ⓑ −16(1)=−16

Solution解答

ⓐ
7+0=7
We are adding 0.
0を加えている。
We are using the identity property of addition.
加法の単位元の性質を使っている。
ⓑ
−16(1)=−16
We are multiplying by 1.
1を掛けている。
We are using the identity property of multiplication.
乗法の単位元の性質を使っている。
Try It (2)確認問題（2題）

Use the Inverse Properties of Addition and Multiplication加法と乗法の逆元の性質を使う

What number added to 5 gives the additive identity, 0?
5にどの数を加えると、加法の単位元0になるか。
5+_____=0
.
What number added to −6 gives the additive identity, 0?
−6にどの数を加えると、加法の単位元0になるか。
−6+_____=0
.
Notice that in each case, the missing number was the opposite of the number.
どちらの場合も、空欄に入るのはその数と符号が反対の数だったことに注目しよう。
We call −a the additive inverse of a. The opposite of a number is its additive inverse. A number and its opposite add to 0, which is the additive identity.
英語のヒント
−aをaの加法の逆元と呼ぶ。ある数と符号が反対の数が、その加法の逆元である。ある数とその符号が反対の数を足すと、加法の単位元である0になる。
What number multiplied by 23 gives the multiplicative identity, 1? In other words, two-thirds times what results in 1?
23にどの数を掛けると、乗法の単位元1になるか。言い換えれば、2/3に何を掛けると1になるか。
23·___=1
.
What number multiplied by 2 gives the multiplicative identity, 1? In other words two times what results in 1?
2にどの数を掛けると、乗法の単位元1になるか。言い換えれば、2に何を掛けると1になるか。
2·___=1
.
Notice that in each case, the missing number was the reciprocal of the number.
英語のヒント
どちらの場合も、空欄に入るのはその数の逆数だったことに注目しよう。
We call 1a the multiplicative inverse of a(a≠0). The reciprocal of a number is its multiplicative inverse. A number and its reciprocal multiply to 1, which is the multiplicative identity.
英語のヒント
1aをa(a≠0)の乗法の逆元と呼ぶ。ある数の逆数が、その乗法の逆元である。ある数とその逆数を掛けると、乗法の単位元である1になる。
We’ll formally state the Inverse Properties here:
逆元の性質をここで正式に述べる。
Example 7.34例題 7.34
Find the additive inverse of each expression: ⓐ 13 ⓑ −58 ⓒ 0.6.
各式の加法の逆元を求めよ。ⓐ 13　ⓑ −58　ⓒ 0.6

Solution解答

To find the additive inverse, we find the opposite.
英語のヒント
加法の逆元を求めるには、符号を反対にする。
  1. ⓐ The additive inverse of 13 is its opposite, −13.
    ⓐ 13の加法の逆元は、符号が反対の数−13である。
  2. ⓑ The additive inverse of −58 is its opposite, 58.
    ⓑ −58の加法の逆元は、符号が反対の数58である。
  3. ⓒ The additive inverse of 0.6 is its opposite, −0.6.
    ⓒ 0.6の加法の逆元は、符号が反対の数−0.6である。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 7.35例題 7.35
Find the multiplicative inverse: ⓐ 9 ⓑ −19 ⓒ 0.9.
乗法の逆元を求めよ。ⓐ 9　ⓑ −19　ⓒ 0.9

Solution解答

To find the multiplicative inverse, we find the reciprocal.
乗法の逆元を求めるには、逆数を求める。
  1. ⓐ The multiplicative inverse of 9 is its reciprocal, 19.
    ⓐ 9の乗法の逆元は、その逆数19である。
  2. ⓑ The multiplicative inverse of −19 is its reciprocal, −9.
    ⓑ −19の乗法の逆元は、その逆数−9である。
  3. ⓒ To find the multiplicative inverse of 0.9, we first convert 0.9 to a fraction, 910. Then we find the reciprocal, 109.
    ⓒ 0.9の乗法の逆元を求めるには、まず0.9を分数910に直す。次に、その逆数109を求める。
Try It (2)確認問題（2題）

Use the Properties of Zero0の性質を使う

We have already learned that zero is the additive identity, since it can be added to any number without changing the number’s identity. But zero also has some special properties when it comes to multiplication and division.
0はどの数に加えてもその値を変えないため、加法の単位元であると学んだ。しかし、乗法と除法に関しても、0には特別な性質がある。