第7章実数の性質

Key Concepts重要な概念

Real numbers
実数

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–4練習問題 1–4

Rational Numbers

有理数

In the following exercises, write as the ratio of two integers.

次の問題では、2つの整数の比で表せ。

Exercise 1問題 1

ⓐ $5$
ⓑ $3.19$

Solution解き方

ⓐ $\frac{5}{1}$
ⓑ $\frac{319}{100}$

Exercise 2問題 2

ⓐ $8$
ⓑ $−1.61$

Exercise 3問題 3

ⓐ $−12$
ⓑ $9.279$

Solution解き方

ⓐ $\frac{−12}{1}$
ⓑ $\frac{9279}{1000}$

Exercise 4問題 4

ⓐ $−16$
ⓑ $4.399$

Exercises 5–8練習問題 5–8

In the following exercises, determine which of the given numbers are rational and which are irrational.

次の問題では、与えられた数のうち、どれが有理数でどれが無理数かを判定せよ。

Exercise 5問題 5

0.75

0.22 \overset{–}{3}

1.39174…

Solution解き方

Rational:

0.75, 0.22 \overset{–}{3}

. Irrational:

1.39174…

有理数：

0.75, 0.22 \overset{–}{3}

。無理数：

1.39174…

Exercise 6問題 6

0.36

0.94729…

2.52 \overset{–}{8}

Exercise 7問題 7

0 . \overset{—}{45}

1.919293…

3.59

Solution解き方

Rational:

0 . \overset{—}{45}

3.59

. Irrational:

1.919293…

有理数：

0 . \overset{—}{45}

、

3.59

。無理数：

1.919293…

Exercise 8問題 8

0.1 \overset{–}{3}, 0.42982…

1.875

Exercises 9–12練習問題 9–12

In the following exercises, identify whether each number is rational or irrational.

次の問題では、それぞれの数が有理数か無理数かを判定せよ。

Exercise 9問題 9

ⓐ $\sqrt{25}$
ⓑ $\sqrt{30}$

Solution解き方

ⓐ rational
ⓐ 有理数
ⓑ irrational
ⓑ 無理数

Exercise 10問題 10

ⓐ $\sqrt{44}$
ⓑ $\sqrt{49}$

Exercise 11問題 11

ⓐ $\sqrt{164}$
ⓑ $\sqrt{169}$

Solution解き方

ⓐ irrational
ⓐ 無理数
ⓑ rational
ⓑ 有理数

Exercise 12問題 12

ⓐ $\sqrt{225}$
ⓑ $\sqrt{216}$

Exercises 13–15練習問題 13–15

Classifying Real Numbers

実数の分類

In the following exercises, determine whether each number is whole, integer, rational, irrational, and real.

次の問題では、それぞれの数が非負整数、整数、有理数、無理数、実数であるかを判定せよ。

Exercise 13問題 13

−8

0, 1.95286....

\frac{12}{5}

\sqrt{36}

9

−8

0, 1.95286

\frac{12}{5}

\sqrt{36}

9

Solution解き方

7行6列の表。見出しは「数」「非負整数」「整数」「有理数」「無理数」「実数」である。各行の数について、当てはまる種類の列に×印がある。−8は整数・有理数・実数、0は非負整数・整数・有理数・実数、1.95286…は無理数・実数、12/5は有理数・実数に印がある。√36と9は非負整数・整数・有理数・実数に印がある。

Exercise 14問題 14

−9

−3 \frac{4}{9}

- \sqrt{9}

0.4 \overset{—}{09}

\frac{11}{6}

7

Exercise 15問題 15

- \sqrt{100}

−7

- \frac{8}{3}

−1

0.77

3 \frac{1}{4}

Solution解き方

7行6列の表。見出しは「数」「非負整数」「整数」「有理数」「無理数」「実数」である。各行の数について、当てはまる種類の列に×印がある。−100、−7、−1は整数・有理数・実数、−8/3、0.77、3と1/4は有理数・実数に印がある。

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 16–17練習問題 16–17

Exercise 16問題 16

Field trip All the

5 th

graders at Lincoln Elementary School will go on a field trip to the science museum. Counting all the children, teachers, and chaperones, there will be

147

people. Each bus holds

44

people.

英語のヒント

校外学習　リンカーン小学校の

5

年生全員が、科学博物館へ校外学習に行く。子ども、教員、付き添いの大人を合わせると

147

人になる。バス1台には

44

人乗れる。

ⓐ How many buses will be needed?

ⓐ バスは何台必要か。

ⓑ Why must the answer be a whole number?

ⓑ なぜ答えは非負整数でなければならないのか。

Exercise 17問題 17

Child care Serena wants to open a licensed child care center. Her state requires that there be no more than

12

children for each teacher. She would like her child care center to serve

40

children.

英語のヒント

保育　セリーナは認可保育施設を開きたいと考えている。その州では、保育者1人当たりの子どもの人数を

12

人以下とすることが義務付けられている。彼女は

40

人の子どもを受け入れたいと考えている。

ⓐ How many teachers will be needed?
ⓐ 保育者は何人必要か。
ⓑ Why must the answer be a whole number?
ⓑ なぜ答えは非負整数でなければならないのか。

Solution解き方

ⓐ 4
ⓑ Teachers cannot be divided
ⓑ 保育者を分割することはできない。

Writing Exercises記述問題

Exercises 18–19練習問題 18–19

Exercise 18問題 18

In your own words, explain the difference between a rational number and an irrational number.

有理数と無理数の違いを、自分の言葉で説明せよ。

Exercise 19問題 19

Explain how the sets of numbers (counting, whole, integer, rational, irrationals, reals) are related to each other.

数の集合（数える数、非負整数、整数、有理数、無理数、実数）が互いにどのような関係にあるかを説明せよ。

Solution解き方

Answers will vary.

解答は一通りではない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

ⓑ If most of your checks were:

ⓑ チェックを付けた項目の大部分が次のどれかを確認しよう。

…confidently. Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.

……自信をもってできる。おめでとう。この節の目標を達成している。引き続き活用できるよう、使った学習方法を振り返ろう。これらをできるという自信をつけるために何をしたか。具体的に考えよう。

…with some help. This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math, every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

……少し助けがあればできる。習得していない内容は成功への道の障害になるため、早急に対処する必要がある。数学では、どの内容もそれまでの学習の上に積み重なる。先へ進む前に、基礎がしっかりしていることを確かめるのが大切だ。誰に助けを求められるだろうか。クラスメートや担当教員はよい相談相手になる。学内に数学の個別指導を受けられる場所はあるか。学習方法を改善できるだろうか。

…no—I don’t get it! This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

……できない。わからない！　これは見過ごしてはいけない警告である。すぐに助けを求めないと、たちまちついていけなくなる。できるだけ早く担当教員に会い、状況を相談しよう。一緒に、必要な支援を受けるための計画を立てられる。

Irrational number

無理数

An irrational number is a number that cannot be written as the ratio of two integers. Its decimal form does not stop and does not repeat.

無理数とは、2つの整数の比で表せない数である。小数表示は終わらず、循環もしない。

Rational number

有理数

A rational number is a number that can be written in the form

\frac{p}{q}

, where p and q are integers and

q \neq 0

. Its decimal form stops or repeats.

有理数とは、pとqが整数で

q \neq 0

であるとき、

\frac{p}{q}

の形で表せる数である。小数表示は有限小数または循環小数になる。

Real number

実数

a real number is a number that is either rational or irrational.

実数とは、有理数または無理数である数のことである。