第7章実数の性質

Multiplication by Zero0を掛ける

What happens when you multiply a number by

0 ?

Multiplying by

0

makes the product equal zero. The product of any real number and

0

0 .

ある数に

0

を掛けるとどうなるだろうか。

0

を掛けると積は0になる。任意の実数と

0

の積は

0

である。

Example 7.36例題 7.36

Simplify: ⓐ

−8 \cdot 0

ⓑ

\frac{5}{12} \cdot 0

ⓒ

0 (2.94)

簡単にせよ。ⓐ

−8 \cdot 0

　ⓑ

\frac{5}{12} \cdot 0

　ⓒ

0 (2.94)

Solution解答

ⓐ
	$−8 \cdot 0$
The product of any real number and 0 is 0. 任意の実数と0の積は0である。	$0$

ⓑ
	$\frac{5}{12} \cdot 0$
The product of any real number and 0 is 0. 任意の実数と0の積は0である。	$0$

ⓒ
	$0 (2.94)$
The product of any real number and 0 is 0. 任意の実数と0の積は0である。	$0$

Try It (2)確認問題（2題）

Dividing with Zero0が関係する割り算

What about dividing with

0 ?

Think about a real example: if there are no cookies in the cookie jar and three people want to share them, how many cookies would each person get? There are

0

cookies to share, so each person gets

0

cookies.

0

が関係する割り算はどうだろうか。実際の例を考えよう。クッキーの容器が空で、それを3人で分けたいとき、1人何枚もらえるだろうか。分けるクッキーが

0

枚なので、1人当たり

0

枚である。

0 \div 3 = 0

Remember that we can always check division with the related multiplication fact. So, we know that

割り算は、対応する掛け算でいつでも確かめられることを思い出そう。したがって、次がわかる。

0 \div 3 = 0 because 0 \cdot 3 = 0 .

0 \div 3 = 0 なぜなら 0 \cdot 3 = 0

Zero divided by any real number except zero is zero.

0を0以外の任意の実数で割った商は0である。

Example 7.37例題 7.37

Simplify: ⓐ

0 \div 5

ⓑ

\frac{0}{−2}

ⓒ

0 \div \frac{7}{8}

簡単にせよ。ⓐ

0 \div 5

　ⓑ

\frac{0}{−2}

　ⓒ

0 \div \frac{7}{8}

Solution解答

ⓐ
	$0 \div 5$
Zero divided by any real number, except 0, is zero. 0を0以外の任意の実数で割った商は0である。	$0$

ⓑ
	$\frac{0}{−2}$
Zero divided by any real number, except 0, is zero. 0を0以外の任意の実数で割った商は0である。	$0$

ⓒ
	$0 \div \frac{7}{8}$
Zero divided by any real number, except 0, is zero. 0を0以外の任意の実数で割った商は0である。	$0$

Try It (2)確認問題（2題）

Now let’s think about dividing a number by zero. What is the result of dividing

4

0 ?

Think about the related multiplication fact. Is there a number that multiplied by

0

gives

4 ?

今度は、ある数を0で割ることを考えよう。

4

を

0

で割るとどうなるか。対応する掛け算を考えよう。

0

を掛けると

4

になる数はあるだろうか。

4 \div 0 =___means___\cdot 0 = 4

4 \div 0 =___は次を意味する：___\cdot 0 = 4

Since any real number multiplied by

0

equals

0,

there is no real number that can be multiplied by

0

to obtain

4 .

We can conclude that there is no answer to

4 \div 0,

and so we say that division by zero is undefined.

英語のヒント

どの実数に

0

を掛けても

0

になるので、

0

を掛けて

4

になる実数は存在しない。したがって

4 \div 0

には答えがなく、0による除法は定義されないという。

Division by zero is undefined.

0による除法は定義されない。

Example 7.38例題 7.38

Simplify: ⓐ

7.5 \div 0

ⓑ

\frac{−32}{0}

ⓒ

\frac{4}{9} \div 0

簡単にせよ。ⓐ

7.5 \div 0

　ⓑ

\frac{−32}{0}

　ⓒ

\frac{4}{9} \div 0

Solution解答

ⓐ
	$7.5 \div 0$
Division by zero is undefined. 0による除法は定義されない。	undefined 定義されない

ⓑ
	$\frac{−32}{0}$
Division by zero is undefined. 0による除法は定義されない。	undefined 定義されない

ⓒ
	$\frac{4}{9} \div 0$
Division by zero is undefined. 0による除法は定義されない。	undefined 定義されない

Try It (2)確認問題（2題）

We summarize the properties of zero.

0の性質をまとめる。

Simplify Expressions using the Properties of Identities, Inverses, and Zero単位元・逆元・0の性質を使って式を簡単にする

We will now practice using the properties of identities, inverses, and zero to simplify expressions.

ここからは、単位元・逆元・0の性質を使って式を簡単にする練習をする。

Example 7.39例題 7.39

Simplify:

3 x + 15 - 3 x .

次の式を簡単にする：

3 x + 15 - 3 x

Solution解答

	$3 x + 15 - 3 x$
Notice the additive inverses, $3 x$ and $−3 x$ . $3 x$ と $−3 x$ が互いに加法の逆元であることに注目する。	$0 + 15$
Add. 足す。	$15$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.40例題 7.40

Simplify:

4 (0.25 q) .

次の式を簡単にする：

4 (0.25 q)

Solution解答

	$4 (0.25 q)$
Regroup, using the associative property. 結合法則を使ってまとめ方を変える。	$[4 (0.25)] q$
Multiply. 掛ける。	$1.00 q$
Simplify; 1 is the multiplicative identity. 簡単にする。1は乗法の単位元である。	$q$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.41例題 7.41

Simplify:

\frac{0}{n + 5}

, where

n \neq −5

n \neq −5

のとき、

\frac{0}{n + 5}

を簡単にせよ。

Solution解答

	$\frac{0}{n + 5}$
Zero divided by any real number except itself is zero. 0を0以外の任意の実数で割った商は0である。	$0$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.42例題 7.42

Simplify:

\frac{10 - 3 p}{0} .

次の式を簡単にする：

\frac{10 - 3 p}{0}

Solution解答

	$\frac{10 - 3 p}{0}$
Division by zero is undefined. 0による除法は定義されない。	undefined 定義されない

Try It (2)確認問題（2題）

Example 7.43例題 7.43

Simplify:

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12) .

次の式を簡単にする：

\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12)

Solution解答

We cannot combine the terms in parentheses, so we multiply the two fractions first.

英語のヒント

括弧の中の項をまとめられないので、先に2つの分数を掛ける。

	$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} (6 x + 12)$
Multiply; the product of reciprocals is 1. 掛ける。互いに逆数である数の積は1である。	$1 (6 x + 12)$
Simplify by recognizing the multiplicative identity. 乗法の単位元に着目して簡単にする。	$6 x + 12$

Try It (2)確認問題（2題）

All the properties of real numbers we have used in this chapter are summarized in Table 7.1.

この章で使った実数の性質をすべて表7.1にまとめる。

Properties of Real Numbers実数の性質

Table 7.1表 7.1
Property 性質	Of Addition 加法について	Of Multiplication 乗法について
Commutative Property 交換法則
If a and b are real numbers then… aとbが実数なら、…	$a + b = b + a$	$a \cdot b = b \cdot a$
Associative Property 結合法則
If a, b, and c are real numbers then… a、b、cが実数なら、…	$(a + b) + c = a + (b + c)$	$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Identity Property 単位元の性質	$0$ is the additive identity $0$ は加法の単位元である。	$1$ is the multiplicative identity $1$ は乗法の単位元である。
For any real number a, 任意の実数aについて、	$\begin{array}{l} a + 0 = a \\ 0 + a = a \end{array}$	$\begin{array}{l} a \cdot 1 = a \\ 1 \cdot a = a \end{array}$
Inverse Property 逆元の性質	$- a$ is the additive inverse of $a$ $- a$ は $a$ の加法の逆元である。	$a, a \neq 0$ $1 / a$ is the multiplicative inverse of $a$ $a, a \neq 0$ について、 $1 / a$ は $a$ の乗法の逆元である。
For any real number a, 任意の実数aについて、	$a + (− a) = 0$	$a \cdot \frac{1}{a} = 1$
Distributive Property If $a, b, c$ are real numbers, then $a (b + c) = a b + a c$ 分配法則。 $a, b, c$ が実数なら、 $a (b + c) = a b + a c$ である。
Properties of Zero 0の性質
For any real number a, 任意の実数aについて、	$\begin{array}{l} a \cdot 0 = 0 \\ 0 \cdot a = 0 \end{array}$
For any real number $a, a \neq 0$ 任意の実数 $a, a \neq 0$ について、	$\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$ is undefined $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$ は定義されない。

Additional Resources追加教材