第7章実数の性質

Key Concepts重要な概念

Identity Properties
単位元の性質
- Identity Property of Addition: For any real number a: $a + 0 = a 0 + a = a$ 0 is the additive identity
  加法の単位元の性質：任意の実数aについて、 $a + 0 = a 0 + a = a$ 。0は加法の単位元である。
- Identity Property of Multiplication: For any real number a: $a \cdot 1 = a 1 \cdot a = a$ 1 is the multiplicative identity
  乗法の単位元の性質：任意の実数aについて、 $a \cdot 1 = a 1 \cdot a = a$ 。1は乗法の単位元である。
Inverse Properties
逆元の性質
- Inverse Property of Addition: For any real number a: $a + (- a) = 0 - a$ is the additive inverse of a
  加法の逆元の性質：任意の実数aについて、 $a + (- a) = 0 - a$ はaの加法の逆元である。
- Inverse Property of Multiplication: For any real number a: $(a \neq 0) a \cdot \frac{1}{a} = 1 \frac{1}{a}$ is the multiplicative inverse of a
  乗法の逆元の性質：任意の実数aについて、 $(a \neq 0) a \cdot \frac{1}{a} = 1 \frac{1}{a}$ はaの乗法の逆元である。
Properties of Zero
0の性質
- Multiplication by Zero: For any real number a, $\begin{matrix} a \cdot 0 = 0 & 0 \cdot a = 0 & The product of any number and 0 is 0. \end{matrix}$
  0を掛ける：任意の実数aについて、 $\begin{matrix} a \cdot 0 = 0 & 0 \cdot a = 0 & どの数も0との積は0である。 \end{matrix}$
- Division of Zero: For any real number a, $\begin{matrix} \frac{0}{a} = 0 & Zero divided by any real number, except itself, is zero. \end{matrix}$
  0を割る：任意の実数aについて、 $\begin{matrix} \frac{0}{a} = 0 & 0を0以外の実数で割った商は0である。 \end{matrix}$
- Division by Zero: For any real number a, $\frac{a}{0}$ is undefined and $a \div 0$ is undefined. Division by zero is undefined.
  0で割る：任意の実数aについて、 $\frac{a}{0}$ と $a \div 0$ は定義されない。0による除法は定義されない。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 158–161練習問題 158–161

Recognize the Identity Properties of Addition and Multiplication

加法と乗法の単位元の性質を見分ける

In the following exercises, identify whether each example is using the identity property of addition or multiplication.

次の問題では、各例が加法と乗法のどちらの単位元の性質を使っているかを判定せよ。

Exercise 158問題 158

101 + 0 = 101

Exercise 159問題 159

\frac{3}{5} (1) = \frac{3}{5}

Solution解き方

identity property of multiplication

乗法の単位元の性質

Exercise 160問題 160

−9 \cdot 1 = −9

Exercise 161問題 161

0 + 64 = 64

Solution解き方

identity property of addition

加法の単位元の性質

Exercises 162–173練習問題 162–173

Use the Inverse Properties of Addition and Multiplication

加法と乗法の逆元の性質を使う

In the following exercises, find the multiplicative inverse.

次の問題では、乗法の逆元を求めよ。

Exercise 162問題 162

8

Exercise 163問題 163

14

Solution解き方

\frac{1}{14}

Exercise 164問題 164

−17

Exercise 165問題 165

−19

Solution解き方

- \frac{1}{19}

Exercise 166問題 166

\frac{7}{12}

Exercise 167問題 167

\frac{8}{13}

Solution解き方

\frac{13}{8}

Exercise 168問題 168

- \frac{3}{10}

Exercise 169問題 169

- \frac{5}{12}

Solution解き方

- \frac{12}{5}

Exercise 170問題 170

0.8

Exercise 171問題 171

0.4

Solution解き方

\frac{5}{2}

Exercise 172問題 172

−0.2

Exercise 173問題 173

−0.5

Solution解き方

−2

Exercises 174–185練習問題 174–185

Use the Properties of Zero

0の性質を使う

In the following exercises, simplify using the properties of zero.

次の問題では、0の性質を使って簡単にせよ。

Exercise 174問題 174

48 \cdot 0

Exercise 175問題 175

\frac{0}{6}

Solution解き方

Exercise 176問題 176

\frac{3}{0}

Exercise 177問題 177

22 \cdot 0

Solution解き方

Exercise 178問題 178

0 \div \frac{11}{12}

Exercise 179問題 179

\frac{6}{0}

Solution解き方

undefined

定義されない

Exercise 180問題 180

\frac{0}{3}

Exercise 181問題 181

0 \div \frac{7}{15}

Solution解き方

Exercise 182問題 182

0 \cdot \frac{8}{15}

Exercise 183問題 183

(−3.14) (0)

Solution解き方

Exercise 184問題 184

5.72 \div 0

Exercise 185問題 185

\frac{\frac{1}{10}}{0}

Solution解き方

undefined

定義されない

Exercises 186–209練習問題 186–209

Simplify Expressions using the Properties of Identities, Inverses, and Zero

単位元・逆元・0の性質を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify using the properties of identities, inverses, and zero.

次の問題では、単位元・逆元・0の性質を使って簡単にせよ。

Exercise 186問題 186

19 a + 44 - 19 a

Exercise 187問題 187

27 c + 16 - 27 c

Solution解き方

Exercise 188問題 188

38 + 11 r - 38

Exercise 189問題 189

92 + 31 s - 92

Solution解き方

31s

Exercise 190問題 190

10 (0.1 d)

Exercise 191問題 191

100 (0.01 p)

Solution解き方

Exercise 192問題 192

5 (0.6 q)

Exercise 193問題 193

40 (0.05 n)

Solution解き方

Exercise 194問題 194

\frac{0}{r + 20}

, where

r \neq −20

\frac{0}{r + 20}

。ただし、

r \neq −20

。

Exercise 195問題 195

\frac{0}{s + 13}

, where

s \neq −13

\frac{0}{s + 13}

。ただし、

s \neq −13

。

Solution解き方

Exercise 196問題 196

\frac{0}{u - 4.99}

, where

u \neq 4.99

\frac{0}{u - 4.99}

。ただし、

u \neq 4.99

。

Exercise 197問題 197

\frac{0}{v - 65.1}

, where

v \neq 65.1

\frac{0}{v - 65.1}

。ただし、

v \neq 65.1

。

Solution解き方

Exercise 198問題 198

0 \div (x - \frac{1}{2})

, where

x \neq \frac{1}{2}

0 \div (x - \frac{1}{2})

。ただし、

x \neq \frac{1}{2}

。

Exercise 199問題 199

0 \div (y - \frac{1}{6})

, where

y \neq \frac{1}{6}

0 \div (y - \frac{1}{6})

。ただし、

y \neq \frac{1}{6}

。

Solution解き方

Exercise 200問題 200

\frac{32 - 5 a}{0}

, where

32 - 5 a \neq 0

\frac{32 - 5 a}{0}

。ただし、

32 - 5 a \neq 0

。

Exercise 201問題 201

\frac{28 - 9 b}{0}

, where

28 - 9 b \neq 0

\frac{28 - 9 b}{0}

。ただし、

28 - 9 b \neq 0

。

Solution解き方

undefined

定義されない

Exercise 202問題 202

\frac{2.1 + 0.4 c}{0}

, where

2.1 + 0.4 c \neq 0

\frac{2.1 + 0.4 c}{0}

。ただし、

2.1 + 0.4 c \neq 0

。

Exercise 203問題 203

\frac{1.75 + 9 f}{0}

, where

1.75 + 9 f \neq 0

\frac{1.75 + 9 f}{0}

。ただし、

1.75 + 9 f \neq 0

。

Solution解き方

undefined

定義されない

Exercise 204問題 204

(\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m) \div 0

, where

\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m \neq 0

(\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m) \div 0

。ただし、

\frac{3}{4} + \frac{9}{10} m \neq 0

。

Exercise 205問題 205

(\frac{5}{16} n - \frac{3}{7}) \div 0

, where

\frac{5}{16} n - \frac{3}{7} \neq 0

(\frac{5}{16} n - \frac{3}{7}) \div 0

。ただし、

\frac{5}{16} n - \frac{3}{7} \neq 0

。

Solution解き方

undefined

定義されない

Exercise 206問題 206

\frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9} (18 p - 21)

Exercise 207問題 207

\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} (20 q - 35)

Solution解き方

20q − 35

Exercise 208問題 208

15 \cdot \frac{3}{5} (4 d + 10)

Exercise 209問題 209

18 \cdot \frac{5}{6} (15 h + 24)

Solution解き方

225h + 360

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 210–211練習問題 210–211

Exercise 210問題 210

Insurance copayment Carrie had to have

5

fillings done. Each filling cost

$80 .

Her dental insurance required her to pay

20 %

of the cost. Calculate Carrie’s cost

英語のヒント

保険の自己負担　キャリーは

5

か所に歯の詰め物をする必要があった。1か所の費用は

$80

である。歯科保険では、費用の

20 %

を本人が支払う。次の方法でキャリーの負担額を計算せよ。

ⓐ by finding her copay for each filling, then finding her total cost for $5$ fillings, and
ⓐ 1か所の詰め物の自己負担額を求めてから、 $5$ か所分の合計を求める。
ⓑ by multiplying $5 (0.20) (80) .$
ⓑ $5 (0.20) (80)$ を計算する。

Exercise 211問題 211

Cooking time Helen bought a

24-pound

turkey for her family’s Thanksgiving dinner and wants to know what time to put the turkey in the oven. She wants to allow

20

minutes per pound cooking time.

英語のヒント

調理時間　ヘレンは家族の感謝祭の夕食用に

24ポンド

の七面鳥を買い、何時にオーブンに入れればよいかを知りたい。1ポンド当たり

20

分の調理時間を見込んでいる。

ⓐ Calculate the length of time needed to roast the turkey by multiplying $24 \cdot 20$ to find the number of minutes and then multiplying the product by $\frac{1}{60}$ to convert minutes into hours.
ⓐ $24 \cdot 20$ を計算して必要な分数を求め、次にその積に $\frac{1}{60}$ を掛けて時間に換算し、七面鳥を焼くのに必要な時間を計算せよ。
ⓑ Multiply $24 (20 \cdot \frac{1}{60}) .$
ⓑ $24 (20 \cdot \frac{1}{60})$ を計算せよ。
ⓒ Which of the Properties of Real Numbers allows you to multiply $24 (20 \cdot \frac{1}{60})$ instead of $(24 \cdot 20) \frac{1}{60} ?$
ⓒ $(24 \cdot 20) \frac{1}{60}$ の代わりに $24 (20 \cdot \frac{1}{60})$ を計算してよいのは、実数のどの性質によるものか。

Solution解き方

ⓐ 8 hours
ⓐ 8時間
ⓑ 8

Writing Exercises記述問題

Exercises 212–213練習問題 212–213

Exercise 212問題 212

In your own words, describe the difference between the additive inverse and the multiplicative inverse of a number.

ある数の加法の逆元と乗法の逆元の違いを、自分の言葉で説明せよ。

Exercise 213問題 213

How can the use of the properties of real numbers make it easier to simplify expressions?

実数の性質を使うと、どのように式を簡単にしやすくなるか。

Solution解き方

Answers will vary.

解答は一通りではない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

ⓑ On a scale of 1–10, how would you rate your mastery of this section in light of your responses on the checklist? How can you improve this?

ⓑ チェックリストの回答を踏まえ、この節の習得度を1〜10で評価するといくつになるか。どうすれば改善できるか。

Additive Identity

加法の単位元

The additive identity is 0. When zero is added to any number, it does not change the value.

加法の単位元は0である。どの数に0を加えても、その値は変わらない。

Additive Inverse

加法の逆元

The opposite of a number is its additive inverse. The additive inverse of a is

- a

ある数と符号が反対の数が、その加法の逆元である。aの加法の逆元は

- a

である。

Multiplicative Identity

乗法の単位元

The multiplicative identity is 1. When one multiplies any number, it does not change the value.

乗法の単位元は1である。どの数に1を掛けても、その値は変わらない。

Multiplicative Inverse

乗法の逆元

The reciprocal of a number is its multiplicative inverse. The multiplicative inverse of a is

\frac{1}{a}

ある数の逆数が、その乗法の逆元である。aの乗法の逆元は

\frac{1}{a}

である。