第7章実数の性質

Key Concepts重要な概念

Commutative Properties
交換法則
- Commutative Property of Addition:
  加法の交換法則：
  - If $a, b$ are real numbers, then $a + b = b + a$
    $a, b$ が実数なら、 $a + b = b + a$ である。
- Commutative Property of Multiplication:
  乗法の交換法則：
  - If $a, b$ are real numbers, then $a \cdot b = b \cdot a$
    $a, b$ が実数なら、 $a \cdot b = b \cdot a$ である。
Associative Properties
結合法則
- Associative Property of Addition:
  加法の結合法則：
  - If $a, b, c$ are real numbers then $(a + b) + c = a + (b + c)$
    $a, b, c$ が実数なら、 $(a + b) + c = a + (b + c)$ である。
- Associative Property of Multiplication:
  乗法の結合法則：
  - If $a, b, c$ are real numbers then $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
    $a, b, c$ が実数なら、 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ である。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 20–31練習問題 20–31

Use the Commutative and Associative Properties

交換法則と結合法則を使う

In the following exercises, use the commutative properties to rewrite the given expression.

次の問題では、交換法則を使って与えられた式を書き換えよ。

Exercise 20問題 20

8 + 9 =___

Exercise 21問題 21

7 + 6 =___

Solution解き方

7 + 6 = 6 + 7

Exercise 22問題 22

8 (−12) =___

Exercise 23問題 23

7 (−13) =___

Solution解き方

7(−13) = (−13)7

Exercise 24問題 24

(−19) (−14) =___

Exercise 25問題 25

(−12) (−18) =___

Solution解き方

(−12)(−18) = (−18)(−12)

Exercise 26問題 26

−11 + 8 =___

Exercise 27問題 27

−15 + 7 =___

Solution解き方

−15 + 7 = 7 + (−15)

Exercise 28問題 28

x + 4 =___

Exercise 29問題 29

y + 1 =___

Solution解き方

y + 1 = 1 + y

Exercise 30問題 30

−2 a =___

Exercise 31問題 31

−3 m =___

Solution解き方

−3m = m(−3)

Exercises 32–43練習問題 32–43

In the following exercises, use the associative properties to rewrite the given expression.

次の問題では、結合法則を使って与えられた式を書き換えよ。

Exercise 32問題 32

(11 + 9) + 14 =___

Exercise 33問題 33

(21 + 14) + 9 =___

Solution解き方

(21 + 14) + 9 = 21 + (14 + 9)

Exercise 34問題 34

(12 \cdot 5) \cdot 7 =___

Exercise 35問題 35

(14 \cdot 6) \cdot 9 =___

Solution解き方

(14 · 6) · 9 = 14(6 · 9)

Exercise 36問題 36

(−7 + 9) + 8 =___

Exercise 37問題 37

(−2 + 6) + 7 =___

Solution解き方

(−2 + 6) + 7 = −2 + (6 + 7)

Exercise 38問題 38

(16 \cdot \frac{4}{5}) \cdot 15 =___

Exercise 39問題 39

(13 \cdot \frac{2}{3}) \cdot 18 =___

Solution解き方

(13 \cdot \frac{2}{3}) \cdot 18 = 13 (\frac{2}{3} \cdot 18)

Exercise 40問題 40

3 (4 x) =___

Exercise 41問題 41

4 (7 x) =___

Solution解き方

4(7x) = (4 · 7)x

Exercise 42問題 42

(12 + x) + 28 =___

Exercise 43問題 43

(17 + y) + 33 =___

Solution解き方

(17 + y) + 33 = 17 + (y + 33)

Exercises 44–51練習問題 44–51

Evaluate Expressions using the Commutative and Associative Properties

交換法則と結合法則を使って式の値を求める

In the following exercises, evaluate each expression for the given value.

次の問題では、与えられた値に対する各式の値を求めよ。

Exercise 44問題 44

y = \frac{5}{8},

evaluate:

y = \frac{5}{8}

のとき、値を求めよ。

ⓐ $y + 0.49 + (- y)$
ⓑ $y + (- y) + 0.49$

Exercise 45問題 45

z = \frac{7}{8},

evaluate:

z = \frac{7}{8}

のとき、値を求めよ。

ⓐ $z + 0.97 + (- z)$
ⓑ $z + (- z) + 0.97$

Solution解き方

ⓐ 0.97
ⓑ 0.97

Exercise 46問題 46

c = - \frac{11}{4},

evaluate:

c = - \frac{11}{4}

のとき、値を求めよ。

ⓐ $c + 3.125 + (- c)$
ⓑ $c + (- c) + 3.125$

Exercise 47問題 47

d = - \frac{9}{4},

evaluate:

d = - \frac{9}{4}

のとき、値を求めよ。

ⓐ $d + 2.375 + (- d)$
ⓑ $d + (- d) + 2.375$

Solution解き方

ⓐ 2.375
ⓑ 2.375

Exercise 48問題 48

j = 11,

evaluate:

j = 11

のとき、値を求めよ。

ⓐ $\frac{5}{6} (\frac{6}{5} j)$
ⓑ $(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}) j$

Exercise 49問題 49

k = 21,

evaluate:

k = 21

のとき、値を求めよ。

ⓐ $\frac{4}{13} (\frac{13}{4} k)$
ⓑ $(\frac{4}{13} \cdot \frac{13}{4}) k$

Solution解き方

ⓐ 21
ⓑ 21

Exercise 50問題 50

m = −25,

evaluate:

m = −25

のとき、値を求めよ。

ⓐ $- \frac{3}{7} (\frac{7}{3} m)$
ⓑ $(- \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}) m$

Exercise 51問題 51

n = −8,

evaluate:

n = −8

のとき、値を求めよ。

ⓐ $- \frac{5}{21} (\frac{21}{5} n)$
ⓑ $(- \frac{5}{21} \cdot \frac{21}{5}) n$

Solution解き方

ⓐ 8
ⓑ 8

Exercises 52–85練習問題 52–85

Simplify Expressions Using the Commutative and Associative Properties

交換法則と結合法則を使って式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 52問題 52

−45 a + 15 + 45 a

Exercise 53問題 53

9 y + 23 + (−9 y)

Solution解き方

Exercise 54問題 54

\frac{1}{2} + \frac{7}{8} + (- \frac{1}{2})

Exercise 55問題 55

\frac{2}{5} + \frac{5}{12} + (- \frac{2}{5})

Solution解き方

\frac{5}{12}

Exercise 56問題 56

\frac{3}{20} \cdot \frac{49}{11} \cdot \frac{20}{3}

Exercise 57問題 57

\frac{13}{18} \cdot \frac{25}{7} \cdot \frac{18}{13}

Solution解き方

\frac{25}{7}

Exercise 58問題 58

\frac{7}{12} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{24}{7}

Exercise 59問題 59

\frac{3}{10} \cdot \frac{13}{23} \cdot \frac{50}{3}

Solution解き方

\frac{65}{23}

Exercise 60問題 60

−24 \cdot 7 \cdot \frac{3}{8}

Exercise 61問題 61

−36 \cdot 11 \cdot \frac{4}{9}

Solution解き方

−176

Exercise 62問題 62

(\frac{5}{6} + \frac{8}{15}) + \frac{7}{15}

Exercise 63問題 63

(\frac{1}{12} + \frac{4}{9}) + \frac{5}{9}

Solution解き方

\frac{13}{12}

Exercise 64問題 64

\frac{5}{13} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}

Exercise 65問題 65

\frac{8}{15} + \frac{5}{7} + \frac{2}{7}

Solution解き方

\frac{23}{15}

Exercise 66問題 66

(4.33 p + 1.09 p) + 3.91 p

Exercise 67問題 67

(5.89 d + 2.75 d) + 1.25 d

Solution解き方

9.89d

Exercise 68問題 68

17 (0.25) (4)

Exercise 69問題 69

36 (0.2) (5)

Solution解き方

Exercise 70問題 70

[2.48 (12)] (0.5)

Exercise 71問題 71

[9.731 (4)] (0.75)

Solution解き方

29.193

Exercise 72問題 72

7 (4 a)

Exercise 73問題 73

9 (8 w)

Solution解き方

72w

Exercise 74問題 74

−15 (5 m)

Exercise 75問題 75

−23 (2 n)

Solution解き方

−46n

Exercise 76問題 76

12 (\frac{5}{6} p)

Exercise 77問題 77

20 (\frac{3}{5} q)

Solution解き方

12q

Exercise 78問題 78

14 x + 19 y + 25 x + 3 y

Exercise 79問題 79

15 u + 11 v + 27 u + 19 v

Solution解き方

42u + 30v

Exercise 80問題 80

43 m + (−12 n) + ​ (−16 m) + (−9 n)

Exercise 81問題 81

−22 p + 17 q + (−35 p) + (−27 q)

Solution解き方

−57p + (−10q)

Exercise 82問題 82

\frac{3}{8} g + \frac{1}{12} h + \frac{7}{8} g + \frac{5}{12} h

Exercise 83問題 83

\frac{5}{6} a + \frac{3}{10} b + \frac{1}{6} a + \frac{9}{10} b

Solution解き方

a + \frac{6}{5} b

Exercise 84問題 84

6.8 p + 9.14 q + (−4.37 p) + (−0.88 q)

Exercise 85問題 85

9.6 m + 7.22 n + (−2.19 m) + (−0.65 n)

Solution解き方

7.41m + 6.57n

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 86–87練習問題 86–87

Exercise 86問題 86

Stamps Allie and Loren need to buy stamps. Allie needs four

$0.49

stamps and nine

$0.02

stamps. Loren needs eight

$0.49

stamps and three

$0.02

stamps.

切手　アリーとローレンは切手を買う必要がある。アリーは

$0.49

切手が4枚、

$0.02

切手が9枚必要である。ローレンは

$0.49

切手が8枚、

$0.02

切手が3枚必要である。

ⓐ How much will Allie’s stamps cost?
ⓐ アリーの切手代はいくらになるか。
ⓑ How much will Loren’s stamps cost?
ⓑ ローレンの切手代はいくらになるか。
ⓓ How many $$0.49$ stamps do the girls need altogether? How much will they cost?
ⓓ 2人合わせて $$0.49$ 切手は何枚必要か。その代金はいくらか。
ⓔ How many $$0.02$ stamps do the girls need altogether? How much will they cost?
ⓔ 2人合わせて $$0.02$ 切手は何枚必要か。その代金はいくらか。

Exercise 87問題 87

Counting Cash Grant is totaling up the cash from a fundraising dinner. In one envelope, he has twenty-three

$5

bills, eighteen

$10

bills, and thirty-four

$20

bills. In another envelope, he has fourteen

$5

bills, nine

$10

bills, and twenty-seven

$20

bills.

英語のヒント

現金を数える　グラントは募金のための夕食会で集まった現金を合計している。1つの封筒には、

$5

紙幣が23枚、

$10

紙幣が18枚、

$20

紙幣が34枚入っている。別の封筒には、

$5

紙幣が14枚、

$10

紙幣が9枚、

$20

紙幣が27枚入っている。

ⓐ How much money is in the first envelope?
ⓐ 最初の封筒にはいくら入っているか。
ⓑ How much money is in the second envelope?
ⓑ 2番目の封筒にはいくら入っているか。
ⓓ What is the value of all the $$5$ bills?
ⓓ $$5$ 紙幣すべての合計金額はいくらか。
ⓔ What is the value of all $$10$ bills?
ⓔ $$10$ 紙幣すべての合計金額はいくらか。
ⓕ What is the value of all $$20$ bills?
ⓕ $$20$ 紙幣すべての合計金額はいくらか。

Solution解き方

ⓐ $975
ⓑ $700
ⓒ $1675
ⓓ $185
ⓔ $270
ⓕ $1220

Writing Exercises記述問題

Exercises 88–89練習問題 88–89

Exercise 88問題 88

In your own words, state the Commutative Property of Addition and explain why it is useful.

加法の交換法則を自分の言葉で述べ、なぜ役立つのかを説明せよ。

Exercise 89問題 89

In your own words, state the Associative Property of Multiplication and explain why it is useful.

乗法の結合法則を自分の言葉で述べ、なぜ役立つのかを説明せよ。

Solution解き方

Answers will vary.

解答は一通りではない。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

ⓑ After reviewing this checklist, what will you do to become confident for all objectives?

ⓑ このチェックリストを確認して、すべての学習目標に自信を持てるようにするには何をするか。