第6章電子構造と元素の周期的性質

The Pauli Exclusion Principleパウリの排他原理

An electron in an atom is completely described by four quantum numbers: n, l, m_l, and m_s. The first three quantum numbers define the orbital and the fourth quantum number describes the intrinsic electron property called spin. An Austrian physicist Wolfgang Pauli formulated a general principle that gives the last piece of information that we need to understand the general behavior of electrons in atoms. The Pauli exclusion principle can be formulated as follows: No two electrons in the same atom can have exactly the same set of all the four quantum numbers. What this means is that two electrons can share the same orbital (the same set of the quantum numbers n, l, and m_l) only if their spin quantum numbers m_s have different values. Since the spin quantum number can only have two values

(\pm \frac{1}{2}),

no more than two electrons can occupy the same orbital (and if two electrons are located in the same orbital, they must have opposite spins). Therefore, any atomic orbital can be populated by only zero, one, or two electrons.

英語のヒント

原子内の電子は、n、l、m_l、m_sという4つの量子数で完全に記述される。最初の3つは軌道を定め、4つ目はスピンと呼ばれる電子固有の性質を表す。オーストリアの物理学者ヴォルフガング・パウリは、原子内の電子の一般的な振る舞いを理解するために必要な、最後の情報を与える一般原理を定式化した。パウリの排他原理は、次のように述べられる。同じ原子内の2つの電子が、4つすべての量子数について、まったく同じ組をもつことはできない。つまり、2つの電子が同じ軌道、すなわち同じn、l、m_lの組を共有できるのは、スピン量子数m_sが異なる場合だけである。スピン量子数は

(\pm \frac{1}{2}),

という2つの値しかとれないため、同じ軌道を占められる電子は2個までである。同じ軌道に2個の電子がある場合、スピンは逆向きでなければならない。したがって、どの原子軌道にも、電子は0個、1個、2個のいずれかしか入れない。

The properties and meaning of the quantum numbers of electrons in atoms are briefly summarized in Table 6.1.

原子内の電子の量子数の性質と意味を、表6.1に簡潔にまとめる。

Table 6.1表 6.1
Quantum Numbers, Their Properties, and Significance 量子数の性質と意味
Name 名称	Symbol 記号	Allowed values 許される値	Physical meaning 物理的な意味
principal quantum number 主量子数	n	1, 2, 3, 4, ….	shell, the general region for the value of energy for an electron on the orbital 電子殻。軌道上の電子のエネルギー値のおおよその領域
angular momentum or azimuthal quantum number 角運動量量子数（方位量子数）	l	0 ≤ l ≤ n – 1	subshell, the shape of the orbital 副殻。軌道の形
magnetic quantum number 磁気量子数	m_l	– l ≤ m_l ≤ l	orientation of the orbital 軌道の向き
spin quantum number スピン量子数	m_s	$\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$	direction of the intrinsic quantum “spinning” of the electron 電子に固有の量子的な「自転」の向き

Example 6.7例題 6.7

Working with Shells and Subshells電子殻と副殻を扱う

Indicate the number of subshells, the number of orbitals in each subshell, and the values of l and m_l for the orbitals in the n = 4 shell of an atom.

原子のn = 4の電子殻について、副殻の数、各副殻内の軌道の数、およびそれらの軌道のlとm_lの値を示しなさい。

Solution解法

For n = 4, l can have values of 0, 1, 2, and 3. Thus, s, p, d, and f subshells are found in the n = 4 shell of an atom. For l = 0 (the s subshell), m_l can only be 0. Thus, there is only one 4s orbital. For l = 1 (p-type orbitals), m can have values of –1, 0, +1, so we find three 4p orbitals. For l = 2 (d-type orbitals), m_l can have values of –2, –1, 0, +1, +2, so we have five 4d orbitals. When l = 3 (f-type orbitals), m_l can have values of –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, and we can have seven 4f orbitals. Thus, we find a total of 16 orbitals in the n = 4 shell of an atom.

n = 4では、lは0、1、2、3の値をとれる。したがって、n = 4の電子殻にはs、p、d、f副殻がある。l = 0（s副殻）ではm_lは0に限られるため、4s軌道は1個だけである。l = 1（p型軌道）ではmは−1、0、+1となり、4p軌道は3個ある。l = 2（d型軌道）ではm_lは−2、−1、0、+1、+2となり、4d軌道は5個ある。l = 3（f型軌道）ではm_lは−3、−2、−1、0、+1、+2、+3となり、4f軌道は7個ある。したがって、n = 4の電子殻には合計16個の軌道がある。

Check Your Learning理解を確かめよう

Identify the subshell in which electrons with the following quantum numbers are found: (a) n = 3, l = 1; (b) n = 5, l = 3; (c) n = 2, l = 0.

次の量子数をもつ電子が入る副殻を答えなさい。(a) n = 3、l = 1、(b) n = 5、l = 3、(c) n = 2、l = 0。

Example 6.8例題 6.8

Maximum Number of Electrons電子数の上限

Calculate the maximum number of electrons that can occupy a shell with (a) n = 2, (b) n = 5, and (c) n as a variable. Note you are only looking at the orbitals with the specified n value, not those at lower energies.

(a) n = 2、(b) n = 5、(c) nを変数とした場合について、その電子殻に入る電子の最大数を求めなさい。指定したnの値をもつ軌道だけを考え、それより低いエネルギーの軌道は含めないこと。

Solution解法

(a) When n = 2, there are four orbitals (a single 2s orbital, and three orbitals labeled 2p). These four orbitals can contain eight electrons.

(a) n = 2では、2s軌道が1個、2p軌道が3個、合計4個の軌道がある。これら4個の軌道には、8個の電子を入れられる。

(b) When n = 5, there are five subshells of orbitals that we need to sum:

(b) n = 5では、次の5つの副殻に属する軌道を合計する。

\begin{array}{l} 1 orbital labeled 5 s \\ 3 orbitals labeled 5 p \\ 5 orbitals labeled 5 d \\ 7 orbitals labeled 5 f \\ \underline{+ 9 orbitals labeled 5 g} \\ 25 orbitals total \end{array}

\begin{array}{l} 1 と表す軌道 5 s \\ 3 と表す軌道 5 p \\ 5 と表す軌道 5 d \\ 7 と表す軌道 5 f \\ \underline{+ 9 と表す軌道 5 g} \\ 25 個の軌道（合計） \end{array}

Again, each orbital holds two electrons, so 50 electrons can fit in this shell.

各軌道に2個の電子が入るので、この電子殻には50個の電子が入る。

(c) The number of orbitals in any shell n will equal n²_. There can be up to two electrons in each orbital, so the maximum number of electrons will be 2

\times

n².

\times

n²となる。

Check Your Learning理解を確かめよう

If a shell contains a maximum of 32 electrons, what is the principal quantum number, n?

ある電子殻に最大32個の電子が入るとき、主量子数nはいくらか。

Example 6.9例題 6.9

Working with Quantum Numbers量子数を扱う

Complete the following table for atomic orbitals:

原子軌道について、次の表を完成させなさい。

Orbital 軌道	n	l	m_l degeneracy m_lの縮退度	Radial nodes (no.) 動径方向の節の数
4f
	4	1
	7		7	3
5d

Solution解法

The table can be completed using the following rules:

次の規則を使えば、表を完成させられる。

The orbital designation is nl, where l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … is mapped to the letter sequence s, p, d, f, g, h, …,
軌道の表記はnlであり、l = 0、1、2、3、4、5、…には、それぞれs、p、d、f、g、h、…という文字を対応させる。
The m_l degeneracy is the number of orbitals within an l subshell, and so is 2l + 1 (there is one s orbital, three p orbitals, five d orbitals, seven f orbitals, and so forth).
m_lの縮退度は、l副殻内の軌道の数であり、2l + 1となる。s軌道は1個、p軌道は3個、d軌道は5個、f軌道は7個あり、以下も同様である。
The number of radial nodes is equal to n – l – 1.
動径方向の節の数はn − l − 1に等しい。

Orbital 軌道	n	l	m_l degeneracy m_lの縮退度	Radial nodes (no.) 動径方向の節の数
4f	4	3	7	0
4p	4	1	3	2
7f	7	3	7	3
5d	5	2	5	2

Check Your Learning理解を確かめよう

How many orbitals have l = 2 and n = 3?

l = 2かつn = 3となる軌道は何個あるか。