第5章論理学と推論Logic and Reasoning

Inferences can be deductive, inductive, or abductive. Deductive inferences are the strongest because they can guarantee the truth of their conclusions. Inductive inferences are the most widely used, but they do not guarantee the truth and instead deliver conclusions that are probably true. Abductive inferences also deal in probability.

推論には、演繹・帰納・アブダクションがある。演繹的推論は、結論の真を保証できるので、最も強い推論である。帰納的推論は最も広く使われるが、真を保証するのではなく、おそらく真である結論をもたらす。アブダクションも、確からしさを扱う。

Deductive inferences, which are inferences arrived at through deduction (deductive reasoning), can guarantee truth because they focus on the structure of arguments. Here is an example:

演繹、すなわち演繹的に推論することを通じて得られる推論は、論証の構造に焦点を当てるので、真を保証できる。例を示す。

This argument is good, and you probably knew it was good even without thinking too much about it. The argument uses “or,” which means that at least one of the two statements joined by the “or” must be true. If you find out that one of the two statements joined by “or” is false, you know that the other statement is true by using deduction. Notice that this inference works no matter what the statements are. Take a look at the structure of this form of reasoning:

この論証は適切であり、深く考えなくても、そのことはおそらく分かっただろう。この論証は「または」を使っており、それは、この語で結ばれた二つの命題の少なくとも一方が真でなければならないことを意味する。「または」で結ばれた一方の命題が偽だと分かれば、演繹によって、他方が真だと分かる。命題が何であっても、この推論が成り立つことに注意してほしい。この推論の形の構造を見てみよう。

By replacing the statements with variables, we get to the form of the initial argument above. No matter what statements you replace X and Y with, if those statements are true, then the conclusion must be true as well. This common argument form is called a disjunctive syllogism.

命題を変数に置き換えると、最初に示した論証の形式が得られる。XとYにどのような命題を入れても、前提の命題が真であれば、結論も真でなければならない。この一般的な論証形式を、選言三段論法と呼ぶ。

A good deductive inference is called a valid inference, meaning its structure guarantees the truth of its conclusion given the truth of the premises. Pay attention to this definition. The definition does not say that valid arguments have true conclusions. Validity is a property of the logical forms of arguments, and remember that logic and truth are distinct. The definition states that valid arguments have a form such that if the premises are true, then the conclusion must be true. You can test a deductive inference’s validity by testing whether the premises lead to the conclusion. If it is impossible for the conclusion to be false when the premises are assumed to be true, then the argument is valid.

適切な演繹的推論を、妥当な推論と呼ぶ。それは、前提が真であれば、その構造によって結論の真が保証される、という意味である。この定義に注意してほしい。定義は、妥当な論証の結論は真である、と述べているのではない。妥当性は論証の論理形式の性質であり、論理と真偽は別のものだということを思い出してほしい。定義が述べているのは、妥当な論証が、前提が真ならば結論も真でなければならないような形式をもつ、ということである。前提が結論を導くかどうかを試すことで、演繹的推論の妥当性を検証できる。前提を真と仮定したときに、結論が偽であることが不可能なら、その論証は妥当である。

Deductive reasoning can use a number of valid argument structures:

演繹的推論では、いくつもの妥当な論証構造を使える。

Disjunctive Syllogism:

選言三段論法：

Modus Ponens:

前件肯定式（モーダス・ポネンス）：

Modus Tollens:

後件否定式（モーダス・トレンス）：

You saw the first form, disjunctive syllogism, in the previous example. The second form, modus ponens, uses a conditional, and if you think about necessary and sufficient conditions already discussed, then the validity of this inference becomes apparent. The conditional in premise 1 expresses that X is sufficient for Y. So if X is true, then Y must be true. And premise 2 states that X is true. So the conclusion (the truth of Y) necessarily follows. You can also use your knowledge of necessary and sufficient conditions to understand the last form, modus tollens. Remember, in a conditional, the consequent is the necessary condition. So Y is necessary for X. But premise 2 states that Y is not true. Because Y must be the case if X is the case, and we are told that Y is false, then we know that X is also false. These three examples are only a few of the numerous possible valid inferences.

最初の形式である選言三段論法は、先の例で見た。二番目の前件肯定式は条件文を使う。すでに論じた必要条件と十分条件について考えれば、その妥当性が明らかになる。前提1の条件文は、XがYにとって十分だと表す。したがって、Xが真なら、Yも真でなければならない。そして前提2は、Xが真だと述べている。ゆえに、結論、すなわちYが真であることが、必然的に導かれる。最後の形式である後件否定式も、必要条件と十分条件の知識で理解できる。条件文では、後件が必要条件であることを思い出してほしい。したがって、YはXに必要である。しかし前提2は、Yが真ではないと述べる。Xが成り立つならYが成り立たなければならないのに、Yは偽だと述べられているので、Xも偽だと分かる。この三つの例は、数多く存在する妥当な推論の、ほんの一部である。

A bad deductive inference is called an invalid inference. In invalid inferences, their structure does not guarantee the truth of the conclusion—that is to say, even if the premises are true, the conclusion may be false. This does not mean that the conclusion must be false, but that we simply cannot know whether the conclusion is true or false. Here is an example of an invalid inference:

不適切な演繹的推論を、妥当でない推論と呼ぶ。その構造は結論の真を保証しない。つまり、前提が真でも、結論が偽である可能性がある。これは、結論が偽でなければならないという意味ではなく、結論が真か偽かを、単に知ることができないという意味である。妥当でない推論の例を示す。

If the premises of this argument are true (and we assume they are), it may or may not have snowed more than three inches. Schools close for many reasons besides snow. Perhaps the school district experienced a power outage or a hurricane warning was issued for the area. Again, you can use your knowledge of necessary and sufficient conditions to understand why this form is invalid. Premise 2 claims that the necessary condition is the case. But the truth of the necessary condition does not guarantee that the sufficient condition is true. The conditional states that the closing of schools is guaranteed when it has snowed more than 3 inches, not that snow of more than 3 inches is guaranteed if the schools are closed.

この論証の前提が真なら、ここでは真だと仮定しているが、積雪は3インチを超えたかもしれないし、超えていないかもしれない。学校は、雪以外の多くの理由でも閉鎖される。学区で停電が起きたのかもしれないし、その地域にハリケーン警報が出たのかもしれない。ここでも、必要条件と十分条件の知識を使えば、この形式が妥当でない理由を理解できる。前提2は、必要条件が成り立つと主張している。しかし、必要条件の真は、十分条件の真を保証しない。この条件文が述べているのは、積雪が3インチを超えたときに学校の閉鎖が保証されるということである。学校が閉鎖されれば、3インチを超える積雪が保証される、と述べているのではない。

Invalid deductive inferences can also take general forms. Here are two common invalid inference forms:

妥当でない演繹的推論も、一般的な形式を取れる。よく見られる二つの形式を示す。

Affirming the Consequent:

後件肯定：

Denying the Antecedent:

前件否定：

You saw the first form, affirming the consequent, in the previous example concerning school closures. The fallacy is so called because the truth of the consequent (the necessary condition) is affirmed to infer the truth of the antecedent statement. The second form, denying the antecedent, occurs when the truth of the antecedent statement is denied to infer that the consequent is false. Your knowledge of sufficiency will help you understand why this inference is invalid. The truth of the antecedent (the sufficient condition) is only enough to know the truth of the consequent. But there may be more than one way for the consequent to be true, which means that the falsity of the sufficient condition does not guarantee that the consequent is false. Going back to an earlier example, that a creature is not a dog does not let you infer that it is not a mammal, even though being a dog is sufficient for being a mammal. Watch the video below for further examples of conditional reasoning. See if you can figure out which incorrect selection is structurally identical to affirming the consequent or denying the antecedent.

最初の形式である後件肯定は、学校閉鎖の例で見た。後件、すなわち必要条件の真を肯定して、前件の命題の真を推論するため、この誤謬にはこの名がついている。二番目の前件否定は、前件の命題の真を否定することで、後件が偽だと推論するときに生じる。この推論が妥当でない理由は、十分性の知識によって理解できる。前件、すなわち十分条件が真であることは、後件の真を知るのに十分であるにすぎない。しかし、後件が真であるための道筋は、複数あるかもしれない。つまり、十分条件が偽であることは、後件が偽であることを保証しない。以前の例に戻ると、犬であることは哺乳類であるために十分だが、ある生き物が犬ではないことから、それが哺乳類ではないと推論することはできない。条件的な推論のさらに多くの例を、下の動画で見てほしい。誤った選択のうち、どれが後件肯定または前件否定と構造的に同じか、考えてみよう。