第5章論理学と推論Logic and Reasoning

Sometimes people disagree with conditionals. Imagine a mother saying, “If you spend all day in the sun, you’ll get sunburnt.” Mom is claiming that getting sunburnt is a necessary condition for spending all day in the sun. To argue against Mom, a teenager who wants to go to the beach might offer a counterexample, or an opposing statement that proves the first statement wrong. The teenager must point out a case in which the claimed necessary condition does not occur alongside the sufficient one. Regular application of an effective sunblock with an SPF 30 or above will allow the teenager to avoid sunburn. Thus, getting sunburned is not a necessary condition for being in the sun all day.

条件文に同意しないこともある。母親が「一日中、日に当たっていたら、日焼けするよ」と言う場面を想像してほしい。母親は、日焼けすることが、一日中日に当たるための必要条件だと主張している。海辺に行きたい十代の子どもは、それに反論するために、反例、つまり最初の命題が誤りであることを証明する、反対の命題を示すかもしれない。その子は、十分条件があるのに、必要条件だと主張されているものが伴わない場合を示さなければならない。SPF30以上の有効な日焼け止めを定期的に塗れば、その子は日焼けを避けられる。したがって、日焼けすることは、一日中日に当たるための必要条件ではない。

Counterexamples are important for testing the truth of propositions. Often people want to test the truth of statements to effectively argue against someone else, but it is also important to get into the critical thinking habit of attempting to come up with counterexamples for our own statements and propositions. Philosophy teaches us to constantly question the world around us and invites us to test and revise our beliefs. And generating creative counterexamples is a good method for testing our beliefs.

反例は、命題の真偽を検証するうえで重要である。他人に有効に反論するために命題の真偽を試したいことはよくあるが、自分自身の陳述や命題についても反例を考え出そうとする、批判的思考の習慣を身につけることが重要である。哲学は、周囲の世界を常に問い直すことを教え、自分の信念を検証して修正するよう促す。そして、創造的な反例を作ることは、信念を検証するよい方法である。

Another important type of statement is the universal affirmative statement. Aristotle included universal affirmative statements in his system of logic, believing they were one of only a few types of meaningful logical statements (On Interpretation). Universal affirmative statements take two groups of things and claim all members of the first group are also members of the second group: “All A are B.” These statements are called universal and affirmative because they assert something about all members of group A. This type of statement is used when classifying objects and/or the relationships. Universal affirmative statements are, in fact, an alternative expression of a conditional.

もう一つ重要な命題の種類が、全称肯定命題である。アリストテレスは、それを意味のある論理命題の数少ない種類の一つだと考え、自分の論理体系に取り入れた（『命題論』）。全称肯定命題は、二つの集団を取り上げ、最初の集団のすべての成員が二番目の集団の成員でもあると、「すべてのAはBである」と主張する。A集団のすべての成員について何かを肯定して述べるので、全称かつ肯定と呼ばれる。この命題は、対象や関係を分類するときに使われる。全称肯定命題は、実のところ、条件文の別の表現である。

Universal statements are logically equivalent to conditionals, which means that any conditional can be translated into a universal statement and vice versa. Notice that universal statements also express the logical relations of necessity and sufficiency. Because universal affirmative statements can always be rephrased as conditionals (and vice versa), the ability to translate ordinary language statements into conditionals or universal statements is helpful for understanding logical meaning. Doing so can also help you identify necessary and sufficient conditions. Not all statements can be translated into these forms, but many can.

全称命題は条件文と論理的に同値である。つまり、どの条件文も全称命題に変換でき、その逆も可能である。全称命題も、必要性と十分性という論理的関係を表すことに注意してほしい。全称肯定命題はいつでも条件文に言い換えられ、逆も可能なので、日常言語の文を条件文や全称命題に変換する力は、論理的な意味の理解に役立つ。また、それによって必要条件と十分条件も見分けやすくなる。すべての文をこの形式に変換できるわけではないが、多くは変換できる。

Universal affirmative statements also can be disproven using counterexamples. Take the belief that “All living things deserve moral consideration.” If you wanted to prove this statement false, you would need to find just one example of a living thing that you believe does not deserve moral consideration. Just one will suffice because the categorical claim is quite strong—that all living things deserve moral consideration. And someone might argue that some parasites, like the protozoa that causes malaria, do not deserve moral consideration.

全称肯定命題も、反例によって偽であると示せる。「すべての生き物は道徳的配慮に値する」という信念を考えてみよう。この命題が偽だと証明したいなら、道徳的配慮に値しないと思う生き物の例を、たった一つ見つければよいのだ。たった一つで十分なのは、すべての生き物が道徳的配慮に値するという、この定言的な主張が非常に強いからである。そして、マラリアを引き起こす原生動物のような一部の寄生生物は、道徳的配慮に値しないと論じる人がいるかもしれない。

Logical statements can be conditionals or universal affirmative statements. Both are important since they express the important logical relations (also called “conditions”) of necessity and sufficiency. If something is sufficient, it is always sufficient for something else. And if something is necessary, it is always necessary for something else. If you want to prove that a conditional or universal affirmative statement is false (which is to also prove that the necessary and sufficient conditions they express do not hold), then you must offer a counterexample.

論理命題には、条件文や全称肯定命題がある。どちらも、必要性と十分性という重要な論理的関係、別名「条件」を表すため、重要である。何かが十分であるなら、必ず別の何かにとって十分である。何かが必要であるなら、必ず別の何かにとって必要である。ある条件文や全称肯定命題が偽だと証明したいなら、反例を示さなければならない。それは、その命題が表す必要条件と十分条件の関係が成り立たないことを証明することでもある。