第13章F分布と一元配置分散分析

13.3 Facts About the F Distribution13.3　F分布の性質

1. The curve is not symmetrical but skewed to the right.

   英語のヒント

   曲線は左右対称ではなく、右に歪んでいる。
2. There is a different curve for each set of dfs.

   自由度の組ごとに、異なる曲線になる。
3. The F statistic is greater than or equal to zero.

   F統計量は0以上である。
4. As the degrees of freedom for the numerator and for the denominator get larger, the curve approximates the normal.

   英語のヒント

   分子と分母の自由度が大きくなるにつれて、曲線は正規分布に近づく。
5. Other uses for the F distribution include comparing two variances and two-way Analysis of Variance. Two-Way Analysis is beyond the scope of this chapter.

   F分布の他の用途には、二つの分散の比較や二元配置分散分析がある。二元配置分散分析は、この章で扱う範囲を超える。

Copyright Rice University, OpenStax, Introductory Statistics 2e, CC BY 4.0. · CC BY 4.0 · Source出典

Example 13.2例題 13.2

Let’s return to the slicing tomato exercise in Example 13.1. The means of the tomato yields under the five mulching conditions are represented by μ₁, μ₂, μ₃, μ₄, μ₅. We will conduct a hypothesis test to determine if all means are the same or at least one is different. Using a significance level of 5%, test the null hypothesis that there is no difference in mean yields among the five groups against the alternative hypothesis that at least one mean is different from the rest.

英語のヒント

例13.1のスライス用トマトの問題に戻ろう。五つのマルチング条件でのトマト収量の平均を、μ₁、μ₂、μ₃、μ₄、μ₅で表す。すべての平均が同じか、それとも少なくとも一つが異なるかを判断するために、仮説検定を行う。有意水準5%で、五つの集団間で平均収量に差がないという帰無仮説を、少なくとも一つの平均が他と異なるという対立仮説に対して検定せよ。

Solution解き方

The null and alternative hypotheses are:

帰無仮説と対立仮説は次のとおりである。

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ = μ₅

H_a: μ_i ≠ μ_j some i ≠ j

H_a：あるi ≠ jについて、μ_i ≠ μ_j

The one-way ANOVA results are shown in Table 13.10

一元配置分散分析の結果を表13.10に示す。

Table 13.10表 13.10

Source of Variation 変動の要因	Sum of Squares (SS) 平方和（SS）	Degrees of Freedom (df) 自由度（df）	Mean Square (MS) 平均平方（MS）	F
Factor (Between) 因子（群間）	36,648,561	5 – 1 = 4	$\frac{\text{36,648,561}}{\text{4}}\text{= 9,162,140}$	$\frac{\text{9,162,140}}{\text{2,044,672}\text{.6}}\text{= 4}\text{.4810}$
Error (Within) 誤差（群内）	20,446,726	15 – 5 = 10	$\frac{\text{20,446,726}}{\text{10}}\text{= 2,044,672}\text{.6}$
Total 合計	57,095,287	15 – 1 = 14

Distribution for the test: F_4,10

検定に用いる分布：F_4,10

df(num) = 5 – 1 = 4

df(denom) = 15 – 5 = 10

Test statistic: F = 4.4810

検定統計量：F = 4.4810

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Probability Statement: p-value = P(F > 4.481) = 0.0248.

確率による表記：p値 = P(F > 4.481) = 0.0248。

Compare α and the p-value: α = 0.05, p-value = 0.0248

αとp値の比較：α = 0.05、p値 = 0.0248

Make a decision: Since α > p-value, we reject H₀.

判断：α > p値なので、H₀を棄却する。

Conclusion: At the 5% significance level, we have reasonably strong evidence that differences in mean yields for slicing tomato plants grown under different mulching conditions are unlikely to be due to chance alone. We may conclude that at least some of mulches led to different mean yields.

英語のヒント

結論：有意水準5%で、異なるマルチング条件で栽培したスライス用トマトの平均収量の差は、偶然だけによるものとは考えにくい、というかなり強い証拠がある。少なくとも一部の被覆材によって、平均収量が異なったと結論できる。

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Example 13.3例題 13.3

Four sororities took a random sample of sisters regarding their grade means for the past term. The results are shown in Table 13.13.

英語のヒント

四つの女子学生社交クラブが、それぞれの会員から無作為標本を取り、前学期の成績平均を調べた。結果を表13.13に示す。

MEAN GRADES FOR FOUR SORORITIES四つの女子学生社交クラブの成績平均

Table 13.13表 13.13

Sorority 1 クラブ1	Sorority 2 クラブ2	Sorority 3 クラブ3	Sorority 4 クラブ4
2.17	2.63	2.63	3.79
1.85	1.77	3.78	3.45
2.83	3.25	4.00	3.08
1.69	1.86	2.55	2.26
3.33	2.21	2.45	3.18

Using a significance level of 1%, is there a difference in mean grades among the sororities?

有意水準1%で、女子学生社交クラブ間の成績平均に差があるか。

Solution解き方

Let μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ be the population means of the sororities. Remember that the null hypothesis claims that the sorority groups are from the same normal distribution. The alternate hypothesis says that at least two of the sorority groups come from populations with different normal distributions. Notice that the four sample sizes are each five.

μ₁、μ₂、μ₃、μ₄を、各クラブの母平均とする。帰無仮説は、各クラブの集団が同じ正規分布から得られた、という主張であることを思い出そう。対立仮説は、少なくとも二つのクラブの集団が、異なる正規分布に従う母集団から得られた、というものである。四つの標本の大きさはいずれも5であることに注意する。

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄

H_a: Not all of the means μ₁, μ₂, μ₃, μ₄ are equal.

英語のヒント

H_a：平均μ₁、μ₂、μ₃、μ₄は、すべてが等しいわけではない。

Distribution for the test: F_3,16

検定に用いる分布：F_3,16

where k = 4 groups and n = 20 samples in total

ここで集団の数はk = 4、標本の大きさの合計はn = 20である。

df(num)= k – 1 = 4 – 1 = 3

df(denom) = n – k = 20 – 4 = 16

Calculate the test statistic: F = 2.23

検定統計量の計算：F = 2.23

Graph:

グラフ：

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Probability statement: p-value = P(F > 2.23) = 0.1241

確率による表記：p値 = P(F > 2.23) = 0.1241

Compare α and the p-value: α = 0.01
p-value = 0.1241
α < p-value

αとp値の比較：α = 0.01、p値 = 0.1241、α < p値

Make a decision: Since α < p-value, you cannot reject H₀.

判断：α < p値なので、H₀を棄却できない。

Conclusion: There is not sufficient evidence to conclude that there is a difference among the mean grades for the sororities.

結論：女子学生社交クラブ間で成績平均に差があると結論するための、十分な証拠はない。

Using the Calculator電卓の操作