第13章F分布と一元配置分散分析

References参考文献

Data from a fourth grade classroom in 1994 in a private K – 12 school in San Jose, CA.

カリフォルニア州サンノゼの、幼稚園から高校までの私立学校の小学4年生クラスで、1994年に得られたデータ。

Hand, D.J., F. Daly, A.D. Lunn, K.J. McConway, and E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. London: Chapman & Hall, 1994.

Hand, D.J.、F. Daly、A.D. Lunn、K.J. McConway、E. Ostrowski。『A Handbook of Small Datasets』、ショウジョウバエの繁殖力のデータ。ロンドン：Chapman & Hall、1994年。

Hand, D.J., F. Daly, A.D. Lunn, K.J. McConway, and E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. London: Chapman & Hall, 1994, pg. 50.

Hand, D.J.、F. Daly、A.D. Lunn、K.J. McConway、E. Ostrowski。『A Handbook of Small Datasets』。ロンドン：Chapman & Hall、1994年、50ページ。

Hand, D.J., F. Daly, A.D. Lunn, K.J. McConway, and E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. London: Chapman & Hall, 1994, pg. 118.

Hand, D.J.、F. Daly、A.D. Lunn、K.J. McConway、E. Ostrowski。『A Handbook of Small Datasets』。ロンドン：Chapman & Hall、1994年、118ページ。

“MLB Standings – 2012.” Available online at http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012.

「MLB Standings – 2012」（MLB順位表、2012年）。オンライン：http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012。

Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S., and Levine, M. M. (1992), "A Critical Appraisal of 98.6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich," Journal of the American Medical Association, 268, 1578-1580.

Mackowiak, P. A.、Wasserman, S. S.、Levine, M. M.（1992）。「A Critical Appraisal of 98.6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich」（華氏98.6度、正常体温の上限、およびカール・ラインホルト・アウグスト・ヴンダーリヒのその他の遺産に対する批判的評価）。Journal of the American Medical Association、268、1578–1580。

Chapter Review章の復習

The graph of the F distribution is always positive and skewed right, though the shape can be mounded or exponential depending on the combination of numerator and denominator degrees of freedom. The F statistic is the ratio of a measure of the variation in the group means to a similar measure of the variation within the groups. If the null hypothesis is correct, then the numerator should be small compared to the denominator. A small F statistic will result, and the area under the F curve to the right will be large, representing a large p-value. When the null hypothesis of equal group means is incorrect, then the numerator should be large compared to the denominator, giving a large F statistic and a small area (small p-value) to the right of the statistic under the F curve.

英語のヒント

F分布のグラフは常に正で、右に歪んでいる。ただし、分子と分母の自由度の組合せによって、山形や指数関数のような形になる。F統計量は、群平均の変動を測る量と、群内の変動を同様に測る量との比である。帰無仮説が正しければ、分子は分母に比べて小さくなるはずである。その結果、F統計量は小さくなり、その右側のF曲線下の面積は大きくなる。これは、大きなp値を表す。群平均が等しいという帰無仮説が誤っている場合は、分子は分母に比べて大きくなるはずである。その結果、F統計量は大きくなり、その右側のF曲線下の面積、すなわちp値は小さくなる。

When the data have unequal group sizes (unbalanced data), then techniques from The F Distribution and the F-Ratio need to be used for hand calculations. In the case of balanced data (the groups are the same size) however, simplified calculations based on group means and variances may be used. In practice, of course, software is usually employed in the analysis. As in any analysis, graphs of various sorts should be used in conjunction with numerical techniques. Always look of your data!

英語のヒント

群の大きさが等しくないデータ（釣り合っていないデータ）では、手計算に「F分布とF比」の方法を使う必要がある。釣り合ったデータ（群の大きさが等しい場合）なら、群の平均と分散に基づく簡略化した計算を使える。実際の分析では通常、ソフトウェアを使う。どのような分析でも同じだが、数値による方法と併せて、さまざまな種類のグラフを用いるべきである。必ず自分のデータを見ること。

Exercises 29–30練習問題 29–30

Exercise 29問題 29

An F statistic can have what values?

F統計量はどのような値を取ることができるか。

Exercise 30問題 30

What happens to the curves as the degrees of freedom for the numerator and the denominator get larger?

分子と分母の自由度が大きくなると、曲線はどうなるか。

Solution解き方

The curves approximate the normal distribution.

曲線は正規分布に近づく。

Exercises 31–37練習問題 31–37

Use the following information to answer the next seven exercise. Four basketball teams took a random sample of players regarding how high each player can jump (in inches). The results are shown in Table 13.17.

次の七つの練習問題には、以下の情報を用いる。四つのバスケットボールチームが、それぞれ選手の無作為標本を取り、ジャンプできる高さをインチ単位で調べた。結果を表13.17に示す。

Table 13.17表 13.17
Team 1 チーム1	Team 2 チーム2	Team 3 チーム3	Team 4 チーム4	Team 5 チーム5
36	32	48	38	41
42	35	50	44	39
51	38	39	46	40

Exercise 31問題 31

What is the df(num)?

分子の自由度df(num)はいくつか。

Exercise 32問題 32

What is the df(denom)?

分母の自由度df(denom)はいくつか。

Solution解き方

ten

Exercise 33問題 33

What are the Sum of Squares and Mean Squares Factors?

因子の平方和と平均平方はいくつか。

Exercise 34問題 34

What are the Sum of Squares and Mean Squares Errors?

誤差の平方和と平均平方はいくつか。

Solution解き方

SS = 237.33; MS = 23.73

SS = 237.33、MS = 23.73

Exercise 35問題 35

What is the F statistic?

F統計量はいくつか。

Exercise 36問題 36

What is the p-value?

p値はいくつか。

Solution解き方

0.1614

Exercise 37問題 37

At the 5% significance level, is there a difference in the mean jump heights among the teams?

有意水準5%で、チーム間の平均ジャンプ高に差があるか。

Exercises 38–44練習問題 38–44

Use the following information to answer the next seven exercises. A video game developer is testing a new game on three different groups. Each group represents a different target market for the game. The developer collects scores from a random sample from each group. The results are shown in Table 13.18

次の七つの練習問題には、以下の情報を用いる。ビデオゲーム開発者が、異なる三つの集団で新作ゲームを試している。それぞれの集団は、ゲームの異なる対象市場を表す。開発者は、各集団から取った無作為標本の得点を集めた。結果を表13.18に示す。

Table 13.18表 13.18
Group A 集団A	Group B 集団B	Group C 集団C
101	151	101
108	149	109
98	160	198
107	112	186
111	126	160

Exercise 38問題 38

What is the df(num)?

分子の自由度df(num)はいくつか。

Solution解き方

two

Exercise 39問題 39

What is the df(denom)?

分母の自由度df(denom)はいくつか。

Exercise 40問題 40

What are the SS_between and MS_between?

SS_betweenとMS_betweenはいくつか。

Solution解き方

SS = 5,700.4;

SS = 5,700.4

MS = 2,850.2

Exercise 41問題 41

What are the SS_within and MS_within?

SS_withinとMS_withinはいくつか。

Exercise 42問題 42

What is the F Statistic?

F統計量はいくつか。

Solution解き方

3.6101

Exercise 43問題 43

What is the p-value?

p値はいくつか。

Exercise 44問題 44

At the 10% significance level, are the scores among the different groups different?

有意水準10%で、集団間の得点に差があるか。

Solution解き方

Yes, there is enough evidence to show that the scores among the groups are statistically significant at the 10% level.

ある。集団間の得点の差が10%水準で統計的に有意であることを示す、十分な証拠がある。

Exercises 45練習問題 45

Use the following information to answer the next three exercises. Suppose a group is interested in determining whether teenagers obtain their drivers licenses at approximately the same average age across the country. Suppose that the following data are randomly collected from five teenagers in each region of the country. The numbers represent the age at which teenagers obtained their drivers licenses.

次の三つの練習問題には、以下の情報を用いる。あるグループが、10代の若者の運転免許取得年齢の平均は全国でほぼ同じかどうかを調べたいと考えている。国内の各地域で、10代の若者5人から次のデータを無作為に集めたとする。数値は、それぞれの若者が運転免許を取得した年齢を表す。

Table 13.19表 13.19
	Northeast 北東部	South 南部	West 西部	Central 中部	East 東部
	16.3	16.9	16.4	16.2	17.1
	16.1	16.5	16.5	16.6	17.2
	16.4	16.4	16.6	16.5	16.6
	16.5	16.2	16.1	16.4	16.8
$\bar{x} =$
$s^{2} =$

Enter the data into your calculator or computer.

データを計算機またはコンピューターに入力する。

Exercise 45問題 45

p-value = ______

p値 = ______

Exercises 46–47練習問題 46–47

State the decisions and conclusions (in complete sentences) for the following preconceived levels of α.

あらかじめ定めた次の各αの水準について、判断と結論を完全な文で述べよ。

Exercise 46問題 46

α = 0.05

a. Decision: ____________________________

a. 判断：____________________________

b. Conclusion: ____________________________

b. 結論：____________________________

Exercise 47問題 47

α = 0.01

a. Decision: ____________________________

a. 判断：____________________________

b. Conclusion: ____________________________

b. 結論：____________________________