第13章F分布と一元配置分散分析

13.4 Test of Two Variances13.4　二つの分散の検定

Another of the uses of the F distribution is testing two variances. It is often desirable to compare two variances rather than two averages. For instance, college administrators would like two college professors grading exams to have the same variation in their grading. In order for a lid to fit a container, the variation in the lid and the container should be the same. A supermarket might be interested in the variability of check-out times for two checkers.

英語のヒント

F分布のもう一つの用途は、二つの分散の検定である。二つの平均よりも、二つの分散を比較したい場合がよくある。例えば大学の管理者は、試験を採点する二人の教員の採点のばらつきが、同程度であることを望むだろう。ふたが容器に合うには、ふたと容器のばらつきが同じであるべきだ。スーパーマーケットなら、二人のレジ係の会計処理時間のばらつきに関心を持つかもしれない。

In order to perform a F test of two variances, it is important that the following are true:

二つの分散のF検定を行うには、次の条件が満たされていることが重要である。

The populations from which the two samples are drawn are normally distributed.
二つの標本を抽出した母集団が、正規分布に従う。
The two populations are independent of each other.
二つの母集団が互いに独立である。

Unlike most other tests in this book, the F test for equality of two variances is very sensitive to deviations from normality. If the two distributions are not normal, the test can give higher p-values than it should, or lower ones, in ways that are unpredictable. Many texts suggest that students not use this test at all, but in the interest of completeness we include it here.

英語のヒント

本書の他の多くの検定とは異なり、二つの分散の等しさを調べるF検定は、正規性からのずれに非常に敏感である。二つの分布が正規分布でない場合、p値が本来より高くなったり低くなったりし、その方向は予測できない。多くの教科書は、学生がこの検定をまったく使わないよう勧めているが、ここでは内容を網羅するために取り上げる。

Suppose we sample randomly from two independent normal populations. Let

σ_{1}^{2}

and

σ_{2}^{2}

be the population variances and

s_{1}^{2}

and

s_{2}^{2}

be the sample variances. Let the sample sizes be n₁ and n₂. Since we are interested in comparing the two sample variances, we use the F ratio:

互いに独立な二つの正規母集団から、無作為に標本を取り出すとする。母分散を

σ_{1}^{2}

と

σ_{2}^{2}

、標本分散を

s_{1}^{2}

と

s_{2}^{2}

とする。標本の大きさをn₁とn₂とする。二つの標本分散を比較したいので、次のF比を用いる。

F = \frac{[\frac{{(s_{1})}^{2}}{{(σ_{1})}^{2}}]}{[\frac{{(s_{2})}^{2}}{{(σ_{2})}^{2}}]}

F has the distribution F ~ F(n₁ – 1, n₂ – 1)

Fは、F ~ F(n₁ – 1, n₂ – 1)という分布に従う。

where n₁ – 1 are the degrees of freedom for the numerator and n₂ – 1 are the degrees of freedom for the denominator.

ここで、n₁ – 1は分子の自由度、n₂ – 1は分母の自由度である。

If the null hypothesis is

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

, then the F Ratio becomes

F = \frac{[\frac{{(s_{1})}^{2}}{{(σ_{1})}^{2}}]}{[\frac{{(s_{2})}^{2}}{{(σ_{2})}^{2}}]} = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

帰無仮説が

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

ならば、F比は

F = \frac{[\frac{{(s_{1})}^{2}}{{(σ_{1})}^{2}}]}{[\frac{{(s_{2})}^{2}}{{(σ_{2})}^{2}}]} = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

となる。

If the two populations have equal variances, then

s_{1}^{2}

and

s_{2}^{2}

are close in value and

F = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

is close to one. But if the two population variances are very different,

s_{1}^{2}

and

s_{2}^{2}

tend to be very different, too. Choosing

s_{1}^{2}

as the larger sample variance causes the ratio

\frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

to be greater than one. If

s_{1}^{2}

and

s_{2}^{2}

are far apart, then

F = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

is a large number.

二つの母集団の分散が等しければ、

s_{1}^{2}

と

s_{2}^{2}

は近い値になり、

F = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

は1に近くなる。しかし、二つの母分散が大きく異なれば、

s_{1}^{2}

と

s_{2}^{2}

も大きく異なる傾向がある。大きい方の標本分散を

s_{1}^{2}

とすれば、比

\frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

は1より大きくなる。

s_{1}^{2}

と

s_{2}^{2}

が大きく離れていれば、

F = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}}

は大きな数になる。

Therefore, if F is close to one, the evidence favors the null hypothesis (the two population variances are equal). But if F is much larger than one, then the evidence is against the null hypothesis. A test of two variances may be left, right, or two-tailed.

英語のヒント

したがって、Fが1に近ければ、証拠は帰無仮説（二つの母分散が等しい）を支持する。しかし、Fが1よりはるかに大きければ、証拠は帰無仮説に反する。二つの分散の検定は、左片側、右片側、両側のいずれにもなりうる。

Example 13.5例題 13.5

Two college instructors are interested in whether or not there is any variation in the way they grade math exams. They each grade the same set of 30 exams. The first instructor's grades have a variance of 52.3. The second instructor's grades have a variance of 89.9. Test the claim that the first instructor's variance is smaller. (In most colleges, it is desirable for the variances of exam grades to be nearly the same among instructors.) The level of significance is 10%.

英語のヒント

二人の大学教員が、自分たちの数学試験の採点にばらつきの違いがあるかどうかに関心を持っている。それぞれが同じ30枚の答案を採点した。1人目の採点結果の分散は52.3、2人目は89.9だった。1人目の教員の分散が小さいという主張を検定せよ。（多くの大学では、教員間で試験の採点結果の分散がほぼ同じであることが望まれる。）有意水準は10%とする。

Solution解き方

Let 1 and 2 be the subscripts that indicate the first and second instructor, respectively.

英語のヒント

添字1と2は、それぞれ1人目と2人目の教員を表す。

n₁ = n₂ = 30.

H₀:

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

and H_a:

σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}

H₀：

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

、H_a：

σ_{1}^{2} < σ_{2}^{2}

Calculate the test statistic: By the null hypothesis

(σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2})

, the F statistic is:

検定統計量を求める。帰無仮説

(σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2})

の下で、F統計量は次のようになる。

F = \frac{[\frac{{(s_{1})}^{2}}{{(σ_{1})}^{2}}]}{[\frac{{(s_{2})}^{2}}{{(σ_{2})}^{2}}]} = \frac{{(s_{1})}^{2}}{{(s_{2})}^{2}} = \frac{52.3}{89.9} = 0.5818

Distribution for the test: F_29,29 where n₁ – 1 = 29 and n₂ – 1 = 29.

検定に用いる分布：F_29,29。ここでn₁ – 1 = 29、n₂ – 1 = 29である。

Graph: This test is left tailed.

グラフ：この検定は左片側検定である。

Draw the graph labeling and shading appropriately.

グラフを描き、適切なラベルと塗りつぶしを付ける。

左右非対称のF分布曲線。わずかに右に歪んでいるが、ほぼ正規分布の形である。曲線の頂点の右側で縦軸に0.5818という値が示される。0.5818から曲線まで垂直線を引き、その左側の領域を塗ってp値を表している。 — Figure 13.9図 13.9

Probability statement: p-value = P(F < 0.5818) = 0.0753

確率による表記：p値 = P(F < 0.5818) = 0.0753

Compare α and the p-value: α = 0.10 α > p-value.

αとp値の比較：α = 0.10、α > p値。

Make a decision: Since α > p-value, reject H₀.

判断：α > p値なので、H₀を棄却する。

Conclusion: With a 10% level of significance, from the data, there is sufficient evidence to conclude that the variance in grades for the first instructor is smaller.

結論：有意水準10%では、このデータから、1人目の教員の採点結果の分散が小さいと結論するための十分な証拠が得られる。

Using the Calculator電卓の操作

Press STAT and arrow over to TESTS. Arrow down to D:2-SampFTest. Press ENTER. Arrow to Stats and press ENTER. For Sx1, n1, Sx2, and n2, enter $\sqrt{(52.3)}$ , 30, $\sqrt{(89.9)}$ , and 30. Press ENTER after each. Arrow to σ1: and $<$ σ2. Press ENTER. Arrow down to Calculate and press ENTER. F = 0.5818 and p-value = 0.0753. Do the procedure again and try Draw instead of Calculate.

STATを押し、矢印キーでTESTSに移動する。下矢印でD:2-SampFTestに移動してENTERを押す。Statsに移動してENTERを押す。Sx1、n1、Sx2、n2に、それぞれ

\sqrt{(52.3)}

、30、

\sqrt{(89.9)}

、30を入力する。入力のたびにENTERを押す。σ1:と

<

σ2に移動してENTERを押す。下矢印でCalculateに移動してENTERを押す。F = 0.5818、p値 = 0.0753が得られる。手順をもう一度行い、Calculateの代わりにDrawを試してみよう。

Try Itやってみよう

The New York Choral Society divides its singers who are men up into four categories from highest voices to lowest: Tenor1, Tenor2, Bass1, Bass2. In the table are heights of the men in the Tenor1 and Bass2 groups. One suspects that taller men will have lower voices, and that the variance of height may go up with the lower voices as well. Do we have good evidence that the variance of the heights of singers in each of these two groups (Tenor1 and Bass2) are different?

英語のヒント

ニューヨーク合唱協会は、男性歌手を声の高い順に、Tenor1、Tenor2、Bass1、Bass2の四つの区分に分けている。表には、Tenor1群とBass2群の男性の身長を示す。背が高い男性ほど声が低く、低い声の群では身長の分散も大きくなるのではないかと考えられる。この二つの群（Tenor1とBass2）の歌手の身長の分散が異なるという、十分な証拠はあるか。

Table 13.30表 13.30
Tenor1 テノール1	Bass2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1 テノール1	Bass2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

Tenor1 テノール1	Bass2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72

第13章F分布と一元配置分散分析

13.4 Test of Two Variances13.4 二つの分散の検定

13.4 Test of Two Variances13.4　二つの分散の検定

Tenor1 テノール1	Bass2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2	Tenor 1 テノール1	Bass 2 バス2
69	72	67	72	68	67
72	75	70	74	67	70
71	67	65	70	64	70
66	75	72	66		69
76	74	70	68		72
74	72	68	75		71
71	72	64	68		74
66	74	73	70		75
68	72	66	72