第13章F分布と一元配置分散分析

Notation表記

The notation for the F distribution is F ~ F_{df(num),df(denom)}

F分布はF ~ F_{df(num),df(denom)}と表す。

where df(num) = df_between and df(denom) = df_within

ここで、df(num) = df_between、df(denom) = df_withinである。

The mean for the F distribution is

μ = \frac{d f (d e n o m)}{d f (d e n o m) - 2}

F分布の平均は

μ = \frac{d f (d e n o m)}{d f (d e n o m) - 2}

である。

References参考文献

Tomato Data, Marist College School of Science (unpublished student research)

トマトのデータ、マリスト大学理学部（未公刊の学生研究）。

Chapter Review章の復習

Analysis of variance compares the means of a response variable for several groups. ANOVA compares the variation within each group to the variation of the mean of each group. The ratio of these two is the F statistic from an F distribution with (number of groups – 1) as the numerator degrees of freedom and (number of observations – number of groups) as the denominator degrees of freedom. These statistics are summarized in the ANOVA table.

分散分析は、複数の集団について応答変数の平均を比較する。各集団内の変動と、各集団の平均の変動を比較する。この二つの比がF統計量であり、分子の自由度が（集団の数 − 1）、分母の自由度が（観測値の数 − 集団の数）のF分布に従う。これらの統計量を分散分析表にまとめる。

Formula Review公式の復習

S S_{between} = \sum^{​} [\frac{{(s_{j})}^{2}}{n_{j}}] - \frac{{(\sum^{​} s_{j})}^{2}}{n}

S S_{total} = \sum^{​} x^{2} - \frac{{(\sum^{​} x)}^{2}}{n}

S S_{within} = S S_{total} - S S_{between}

df_between = df(num) = k – 1

df_within = df(denom) = n – k

MS_between =

\frac{S S_{between}}{d f_{between}}

MS_within =

\frac{S S_{within}}{d f_{within}}

F =

\frac{M S_{between}}{M S_{within}}

F ratio when the groups are the same size: F =

\frac{n s_{\bar{x}}^{2}}{s^{2}_{p o o l e d}}

集団の大きさが同じ場合のF比：F =

\frac{n s_{\bar{x}}^{2}}{s^{2}_{p o o l e d}}

Mean of the F distribution: µ =

\frac{d f (n u m)}{d f (d e n o m) - 2}

F分布の平均：µ =

\frac{d f (n u m)}{d f (d e n o m) - 2}

where:

ここで、

k = the number of groups
k = 集団の数
n_j = the size of the j^th group
n_j = 第j群の大きさ
s_j = the sum of the values in the j^th group
s_j = 第j群の値の合計
n = the total number of all values (observations) combined
n = すべてを合わせた値（観測値）の総数
x = one value (one observation) from the data
x = データに含まれる一つの値（一つの観測値）
$s_{\bar{x}}^{2}$ = the variance of the sample means
$s_{\bar{x}}^{2}$ = 標本平均の分散
$s^{2}_{p o o l e d}$ = the mean of the sample variances (pooled variance)
$s^{2}_{p o o l e d}$ = 標本分散の平均（プールした分散）

Exercises 11–17練習問題 11–17

Use the following information to answer the next eight exercises. Groups of men from three different areas of the country are to be tested for mean weight. The entries in Table 13.7 are the weights for the different groups.

次の八つの練習問題には、以下の情報を用いる。国内の異なる三つの地域から集めた男性の集団について、平均体重を検定する。表13.7の値は、それぞれの集団の体重である。

Table 13.7表 13.7
Group 1 第1群	Group 2 第2群	Group 3 第3群
216	202	170
198	213	165
240	284	182
187	228	197
176	210	201

Exercise 11問題 11

What is the Sum of Squares Factor?

因子の平方和はいくつか。

Solution解き方

4,939.2

Exercise 12問題 12

What is the Sum of Squares Error?

誤差の平方和はいくつか。

Exercise 13問題 13

What is the df for the numerator?

分子の自由度はいくつか。

Solution解き方

Exercise 14問題 14

What is the df for the denominator?

分母の自由度はいくつか。

Exercise 15問題 15

What is the Mean Square Factor?

因子の平均平方はいくつか。

Solution解き方

2,469.6

Exercise 16問題 16

What is the Mean Square Error?

誤差の平均平方はいくつか。

Exercise 17問題 17

What is the F statistic?

F統計量はいくつか。

Solution解き方

3.7416

Exercises 18–25練習問題 18–25

Use the following information to answer the next eight exercises. Girls from four different soccer teams are to be tested for mean goals scored per game. The entries in the table are the goals per game for the different teams. The one-way ANOVA results are shown in Table 13.8.

次の八つの練習問題には、以下の情報を用いる。異なる四つのサッカーチームの女子選手について、1試合あたりの平均得点を検定する。表の値は、各チームの1試合あたりの得点である。一元配置分散分析の結果を表13.8に示す。

Table 13.8表 13.8
Team 1 チーム1	Team 2 チーム2	Team 3 チーム3	Team 4 チーム4
1	2	0	3
2	3	1	4
0	2	1	4
3	4	0	3
2	4	0	2

Exercise 18問題 18

What is SS_between?

SS_betweenはいくつか。

Exercise 19問題 19

What is the df for the numerator?

分子の自由度はいくつか。

Solution解き方

Exercise 20問題 20

What is MS_between?

MS_betweenはいくつか。

Exercise 21問題 21

What is SS_within?

SS_withinはいくつか。

Solution解き方

13.2

Exercise 22問題 22

What is the df for the denominator?

分母の自由度はいくつか。

Exercise 23問題 23

What is MS_within?

MS_withinはいくつか。

Solution解き方

0.825

Exercise 24問題 24

What is the F statistic?

F統計量はいくつか。

Exercise 25問題 25

Judging by the F statistic, do you think it is likely or unlikely that you will reject the null hypothesis?

F統計量から判断して、帰無仮説を棄却する可能性は高いと思うか、低いと思うか。

Solution解き方

Because a one-way ANOVA test is always right-tailed, a high F statistic corresponds to a low p-value, so it is likely that we will reject the null hypothesis.

一元配置分散分析は常に右片側検定なので、F統計量が大きいとp値は小さくなる。したがって、帰無仮説を棄却する可能性が高い。

Homework宿題

Exercises 26–28練習問題 26–28

Use the following information to answer the next three exercises. Suppose a group is interested in determining whether teenagers obtain their drivers licenses at approximately the same average age across the country. Suppose that the following data are randomly collected from five teenagers in each region of the country. The numbers represent the age at which teenagers obtained their drivers licenses.

次の三つの練習問題には、以下の情報を用いる。あるグループが、10代の若者の運転免許取得年齢の平均は全国でほぼ同じかどうかを調べたいと考えている。国内の各地域で、10代の若者5人から次のデータを無作為に集めたとする。数値は、それぞれの若者が運転免許を取得した年齢を表す。

Table 13.9表 13.9
	Northeast 北東部	South 南部	West 西部	Central 中部	East 東部
	16.3	16.9	16.4	16.2	17.1
	16.1	16.5	16.5	16.6	17.2
	16.4	16.4	16.6	16.5	16.6
	16.5	16.2	16.1	16.4	16.8
$\bar{x} =$
$s^{2} =$

H₀: µ₁ = µ₂ = µ₃ = µ₄ = µ₅

Hα: At least any two of the group means µ₁, µ₂, …, µ₅ are not equal.

Hα：集団の平均µ₁、µ₂、…、µ₅のうち、少なくとも二つは等しくない。

Exercise 26問題 26

degrees of freedom – numerator: df(num) = _________

分子の自由度：df(num) = _________

Exercise 27問題 27

degrees of freedom – denominator: df(denom) = ________

分母の自由度：df(denom) = ________

Solution解き方

df(denom) = 15

Exercise 28問題 28

F statistic = ________

F統計量 = ________