第13章F分布と一元配置分散分析

13.2 The F Distribution and the F-Ratio13.2　F分布とF比

The distribution used for the hypothesis test is a new one. It is called the F distribution, named after Sir Ronald Fisher, an English statistician. The F statistic is a ratio (a fraction). There are two sets of degrees of freedom; one for the numerator and one for the denominator.

英語のヒント

この仮説検定では、新しい分布を使う。イギリスの統計学者ロナルド・フィッシャーにちなんで、F分布と呼ばれている。F統計量は比（分数）である。自由度は二つあり、一つは分子の自由度、もう一つは分母の自由度である。

For example, if F follows an F distribution and the number of degrees of freedom for the numerator is four, and the number of degrees of freedom for the denominator is ten, then F ~ F_4,10.

例えば、FがF分布に従い、分子の自由度が4、分母の自由度が10ならば、F ~ F_4,10と表す。

NOTE注

The F distribution is derived from the Student's t-distribution. The values of the F distribution are squares of the corresponding values of the t-distribution. One-Way ANOVA expands the t-test for comparing more than two groups. The scope of that derivation is beyond the level of this course. It is preferable to use ANOVA when there are more than two groups instead of performing pairwise t-tests because performing multiple tests introduces the likelihood of making a Type 1 error.

英語のヒント

F分布はスチューデントのt分布から導かれる。F分布の値は、対応するt分布の値の二乗である。一元配置分散分析は、三つ以上の集団を比較するようにt検定を拡張したものである。その導出は、この授業で扱う水準を超える。集団が三つ以上ある場合は、集団を二つずつ組にしてt検定を行うより、分散分析を用いる方が望ましい。検定を複数回行うと、第1種の過誤を犯す可能性が生じるからである。

To calculate the F ratio, two estimates of the variance are made.

F比を計算するために、分散について二つの推定値を求める。

Variance between samples: An estimate of σ² that is the variance of the sample means multiplied by n (when the sample sizes are the same.). If the samples are different sizes, the variance between samples is weighted to account for the different sample sizes. The variance is also called variation due to treatment or explained variation.
英語のヒント
標本間の分散：σ²の推定値であり、標本の大きさが同じ場合は、標本平均の分散にnを掛けたものである。標本の大きさが異なる場合は、その違いを考慮するために、標本間の分散に重みを付ける。この分散は、処理による変動、または説明される変動とも呼ばれる。
Variance within samples: An estimate of σ² that is the average of the sample variances (also known as a pooled variance). When the sample sizes are different, the variance within samples is weighted. The variance is also called the variation due to error or unexplained variation.
英語のヒント
標本内の分散：σ²の推定値であり、標本分散の平均である。プールした分散とも呼ばれる。標本の大きさが異なる場合は、標本内の分散に重みを付ける。この分散は、誤差による変動、または説明されない変動とも呼ばれる。

SS_between = the sum of squares that represents the variation among the different samples
SS_between = 異なる標本間の変動を表す平方和
SS_within = the sum of squares that represents the variation within samples that is due to chance.
SS_within = 偶然による標本内の変動を表す平方和

To find a "sum of squares" means to add together squared quantities that, in some cases, may be weighted. We used sum of squares to calculate the sample variance and the sample standard deviation in Descriptive Statistics.

英語のヒント

「平方和」を求めるとは、二乗した量を足し合わせることである。場合によっては、それらの量に重みを付ける。「記述統計」では、標本分散と標本標準偏差を計算するために平方和を用いた。

MS means "mean square." MS_between is the variance between groups, and MS_within is the variance within groups.

MSは「平均平方」を意味する。MS_betweenは群間の分散、MS_withinは群内の分散である。

Calculation of Sum of Squares and Mean Square

平方和と平均平方の計算

k = the number of different groups
k = 異なる集団の数
n_j = the size of the j^th group
n_j = 第j群の大きさ
s_j = the sum of the values in the j^th group
s_j = 第j群の値の合計
n = total number of all the values combined (total sample size: ∑n_j)
n = 全集団を合わせた値の総数（標本の大きさの合計：∑n_j）
x = one value: ∑x = ∑s_j
x = 一つの値：∑x = ∑s_j
Sum of squares of all values from every group combined: ∑x²
すべての集団のすべての値を二乗して合計したもの：∑x²
Total sum of squares: $S S_{total} = \sum x^{2} \frac{{(\sum x)}^{2}}{n}$
全平方和： $S S_{total} = \sum x^{2} \frac{{(\sum x)}^{2}}{n}$
Explained variation: sum of squares representing variation among the different samples: SS_between = $\sum [\frac{{(s_{j})}^{2}}{n_{j}}] - \frac{{(\sum s_{j})}^{2}}{n}$
説明される変動：異なる標本間の変動を表す平方和：SS_between = $\sum [\frac{{(s_{j})}^{2}}{n_{j}}] - \frac{{(\sum s_{j})}^{2}}{n}$
Unexplained variation: sum of squares representing variation within samples due to chance: $S S_{within} = S S_{total} - S S_{between}$
説明されない変動：偶然による標本内の変動を表す平方和： $S S_{within} = S S_{total} - S S_{between}$
df's for different groups (df's for the numerator): $d f_{between}$ = k – 1
集団間の自由度（分子の自由度）： $d f_{between}$ = k – 1
Equation for errors within samples (df's for the denominator): df_within = n – k
標本内の誤差についての式（分母の自由度）：df_within = n – k
Mean square (variance estimate) explained by the different groups: MS_between = $\frac{S S_{between}}{d f_{between}}$
集団の違いによって説明される平均平方（分散の推定値）：MS_between = $\frac{S S_{between}}{d f_{between}}$
Mean square (variance estimate) that is due to chance (unexplained): MS_within = $\frac{S S_{within}}{d f_{within}}$
偶然による、説明されない平均平方（分散の推定値）：MS_within = $\frac{S S_{within}}{d f_{within}}$

MS_between and MS_within can be written as follows:

MS_betweenとMS_withinは、次のように書ける。

$M S_{between} = \frac{S S_{between}}{d f_{between}} = \frac{S S_{between}}{k - 1}$
$M S_{w i t h i n} = \frac{S S_{w i t h i n}}{d f_{w i t h i n}} = \frac{S S_{w i t h i n}}{n - k}$

The one-way ANOVA test depends on the fact that MS_between can be influenced by population differences among means of the several groups. Since MS_within compares values of each group to its own group mean, the fact that group means might be different does not affect MS_within.

英語のヒント

一元配置分散分析は、複数の集団の母平均の違いによってMS_betweenが影響を受ける、という事実に基づいている。MS_withinは各集団の値をその集団自身の平均と比較するので、集団の平均が互いに異なっていても、MS_withinには影響しない。

The null hypothesis says that all groups are samples from populations having the same normal distribution. The alternate hypothesis says that at least two of the sample groups come from populations with different normal distributions. If the null hypothesis is true, MS_between and MS_within should both estimate the same value.

帰無仮説は、すべての集団が、同じ正規分布に従う母集団から得られた標本である、というものである。対立仮説は、少なくとも二つの標本集団が、異なる正規分布に従う母集団から得られた、というものである。帰無仮説が正しければ、MS_betweenとMS_withinは、ともに同じ値を推定するはずである。

F-Ratio or F StatisticF比、またはF統計量

F = \frac{M S_{between}}{M S_{within}}

If MS_between and MS_within estimate the same value (following the belief that H₀ is true), then the F-ratio should be approximately equal to one. Mostly, just sampling errors would contribute to variations away from one. As it turns out, MS_between consists of the population variance plus a variance produced from the differences between the samples. MS_within is an estimate of the population variance. Since variances are always positive, if the null hypothesis is false, MS_between will generally be larger than MS_within.Then the F-ratio will be larger than one. However, if the population effect is small, it is not unlikely that MS_within will be larger in a given sample.

英語のヒント

MS_betweenとMS_withinが同じ値を推定するならば（H₀が正しいと考えた場合）、F比はほぼ1になるはずである。1からのずれの大部分は、標本誤差だけによって生じることになる。実際、MS_betweenは、母分散と、標本間の違いから生じる分散との和からなる。MS_withinは母分散の推定値である。分散は常に正なので、帰無仮説が誤っている場合、MS_betweenは一般にMS_withinより大きくなる。そのときF比は1より大きくなる。しかし、母集団による効果が小さい場合は、ある標本においてMS_withinの方が大きくなることも珍しくない。

The foregoing calculations were done with groups of different sizes. If the groups are the same size, the calculations simplify somewhat and the F-ratio can be written as:

英語のヒント

ここまでの計算は、大きさの異なる集団について行った。集団の大きさが同じ場合は、計算はいくらか簡単になり、F比を次のように書ける。

F-Ratio Formula when the groups are the same size集団の大きさが同じ場合のF比の公式

F = \frac{n \cdot s_{\bar{x}}^{2}}{s^{2}_{pooled}}

where ...ここで、各記号は次を表す。

n = the sample size
n = 標本の大きさ
df_numerator = k – 1
df_denominator = n – k
s² pooled = the mean of the sample variances (pooled variance)
s² pooled = 標本分散の平均（プールした分散）
$s_{\bar{x}}^{2}$ = the variance of the sample means
$s_{\bar{x}}^{2}$ = 標本平均の分散

Data are typically put into a table for easy viewing. One-Way ANOVA results are often displayed in this manner by computer software.

データは見やすくするために、通常、表にまとめる。コンピューターソフトウェアでも、一元配置分散分析の結果をこのような形式で表示することが多い。

Table 13.3表 13.3
Source of Variation 変動の要因	Sum of Squares (SS) 平方和（SS）	Degrees of Freedom (df) 自由度（df）	Mean Square (MS) 平均平方（MS）	F
Factor (Between) 因子（群間）	SS(Factor) SS（因子）	k – 1	MS(Factor) = SS(Factor)/(k – 1) MS（因子）= SS（因子）/(k – 1)	F = MS(Factor)/MS(Error) F = MS（因子）/MS（誤差）
Error (Within) 誤差（群内）	SS(Error) SS（誤差）	n – k	MS(Error) = SS(Error)/(n – k) MS（誤差）= SS（誤差）/(n – k)
Total 合計	SS(Total) SS（全体）	n – 1

Example 13.1例題 13.1

Three different diet plans are to be tested for mean weight loss. The entries in the table are the weight losses for the different plans. The one-way ANOVA results are shown in Table 13.4.

三つの異なる食事療法について、平均体重減少量を検定する。表の値は、それぞれの食事療法による体重減少量である。一元配置分散分析の結果を表13.4に示す。

Table 13.4表 13.4
Plan 1: n₁ = 4 食事療法1：n₁ = 4	Plan 2: n₂ = 3 食事療法2：n₂ = 3	Plan 3: n₃ = 3 食事療法3：n₃ = 3
5	3.5	8
4.5	7	4
4		3.5
3	4.5

s₁ = 16.5, s₂ =15, s₃ = 15.5

s₁ = 16.5、s₂ = 15、s₃ = 15.5

Following are the calculations needed to fill in the one-way ANOVA table. The table is used to conduct a hypothesis test.

英語のヒント

一元配置分散分析表を埋めるために必要な計算を、以下に示す。この表を用いて仮説検定を行う。

S S (b e t w e e n) = \sum [\frac{{(s_{j})}^{2}}{n_{j}}] - \frac{{(\sum s_{j})}^{2}}{n}

= \frac{s_{1}^{2}}{4} + \frac{s_{2}^{2}}{3} + \frac{s_{3}^{2}}{3} - \frac{{(s_{1} + s_{2} + s_{3})}^{2}}{10}

where n₁ = 4, n₂ = 3, n₃ = 3 and n = n₁ + n₂ + n₃ = 10

ここで、n₁ = 4、n₂ = 3、n₃ = 3、n = n₁ + n₂ + n₃ = 10である。

= \frac{{(16.5)}^{2}}{4} + \frac{{(15)}^{2}}{3} + \frac{{(15.5)}^{2}}{3} - \frac{{(16.5 + 15 + 15.5)}^{2}}{10}

S S (b e t w e e n) = 2.2458

S (t o t a l) = \sum x^{2} - \frac{{(\sum x)}^{2}}{n}

= (5^{2} + {4.5}^{2} + 4^{2} + 3^{2} + {3.5}^{2} + 7^{2} + {4.5}^{2} + 8^{2} + 4^{2} + {3.5}^{2})

- \frac{{(5 + 4.5 + 4 + 3 + 3.5 + 7 + 4.5 + 8 + 4 + 3.5)}^{2}}{10}

= 244 - \frac{47^{2}}{10} = 244 - 220.9

S S (t o t a l) = 23.1

S S (w i t h i n) = S S (t o t a l) - S S (b e t w e e n)

= 23.1 - 2.2458

S S (w i t h i n) = 20.8542

Using the Calculator電卓の操作

Table 13.5表 13.5
Source of Variation 変動の要因	Sum of Squares (SS) 平方和（SS）	Degrees of Freedom (df) 自由度（df）	Mean Square (MS) 平均平方（MS）	F
Factor (Between) 因子（群間）	SS(Factor) = SS(Between) = 2.2458 SS(因子) = SS(群間) = 2.2458	k – 1 = 3 groups – 1 = 2 k – 1 = 3 群 – 1 = 2	MS(Factor) = SS(Factor)/(k – 1) = 2.2458/2 = 1.1229 MS(因子) = SS(因子)/(k – 1) = 2.2458/2 = 1.1229	F = MS(Factor)/MS(Error) = 1.1229/2.9792 = 0.3769 F = MS(因子)/MS(誤差) = 1.1229/2.9792 = 0.3769
Error (Within) 誤差（群内）	SS(Error) = SS(Within) = 20.8542 SS(誤差) = SS(群内) = 20.8542	n – k = 10 total data – 3 groups = 7 n – k = 10 個のデータ – 3 群 = 7	MS(Error) = SS(Error)/(n – k) = 20.8542/7 = 2.9792 MS(誤差) = SS(誤差)/(n – k) = 20.8542/7 = 2.9792
Total 合計	SS(Total) = 2.2458 + 20.8542 = 23.1 SS(全体) = 2.2458 + 20.8542 = 23.1	n – 1 = 10 total data – 1 = 9 n – 1 = 10 個のデータ – 1 = 9

Try Itやってみよう

As part of an experiment to see how different types of soil cover would affect slicing tomato production, Marist College students grew tomato plants under different soil cover conditions. Groups of three plants each had one of the following treatments

英語のヒント

異なる種類の地表被覆がスライス用トマトの生産にどう影響するかを調べる実験の一環として、マリスト大学の学生が、地表を覆う条件を変えてトマトを栽培した。3株ずつの各群に、次のいずれかの処理を施した。

bare soil
裸地
a commercial ground cover
市販の地表被覆材
black plastic
黒色のプラスチック
straw
わら
compost
堆肥

All plants grew under the same conditions and were the same variety. Students recorded the weight (in grams) of tomatoes produced by each of the n = 15 plants:

英語のヒント

すべて同じ品種の株を、同じ条件で育てた。学生はn = 15株のそれぞれについて、生産されたトマトの重量をグラム単位で記録した。

Table 13.6表 13.6
Bare: n₁ = 3 裸地：n₁ = 3	Ground Cover: n₂ = 3 地表被覆材：n₂ = 3	Plastic: n₃ = 3 プラスチック：n₃ = 3	Straw: n₄ = 3 わら：n₄ = 3	Compost: n₅ = 3 堆肥：n₅ = 3
2,625	5,348	6,583	7,285	6,277
2,997	5,682	8,560	6,897	7,818
4,915	5,482	3,830	9,230	8,677

Create the one-way ANOVA table.

一元配置分散分析表を作成せよ。

The one-way ANOVA hypothesis test is always right-tailed because larger F-values are way out in the right tail of the F-distribution curve and tend to make us reject H₀.

英語のヒント

一元配置分散分析の仮説検定は、常に右片側検定となる。大きなF値はF分布曲線の右裾の遠くに位置し、H₀を棄却する方向に働くからである。

第13章F分布と一元配置分散分析

13.2 The F Distribution and the F-Ratio13.2 F分布とF比

F-Ratio or F StatisticF比、またはF統計量

F-Ratio Formula when the groups are the same size集団の大きさが同じ場合のF比の公式

where ...ここで、各記号は次を表す。

13.2 The F Distribution and the F-Ratio13.2　F分布とF比