第11章グラフ

Graph a Line Given a Point and the Slope1点と傾きが与えられた直線を描く

Example 11.40例題 11.40

Graph the line passing through the point $\left(1,\mathrm{-1}\right)$ whose slope is $m=\frac{3}{4}.$

点$\left(1,\mathrm{-1}\right)$を通り、傾きが$m=\frac{3}{4}$の直線を描く。

Solution解答

Plot the given point, $\left(1,\mathrm{-1}\right).$

与えられた点$\left(1,\mathrm{-1}\right)$を取る。

Use the slope formula $m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ to identify the rise and the run.

傾きの公式$m=\frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}$を使い、縦と横の変化量を求める。

$\begin{array}{}\\ \\ m=\frac{3}{4}\hfill \\ \frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{3}{4}\hfill \\ \\ \\ \text{rise}=3\hfill \\ \text{run}=4\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ m=\frac{3}{4}\hfill \\ \frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}=\frac{3}{4}\hfill \\ \\ \\ \text{縦の変化量}=3\hfill \\ \text{横の変化量}=4\hfill \end{array}$

Starting at the point we plotted, count out the rise and run to mark the second point. We count $3$ units up and $4$ units right.

取った点から始め、縦と横の変化量を数えて2つ目の点を記す。上へ$3$単位、右へ$4$単位進む。

Then we connect the points with a line and draw arrows at the ends to show it continues.

次に、2点を直線で結び、両端に矢印を付けて、その先も続くことを示す。

We can check our line by starting at any point and counting up $3$ and to the right $4.$ We should get to another point on the line.

直線上の好きな点から上へ$3$、右へ$4$進むと、描いた直線を確かめられる。同じ直線上の別の点に着くはずである。

Example 11.41例題 11.41

Graph the line with $y$-intercept $(0,2)$ and slope $m=-\frac{2}{3}.$

$y$切片が$(0,2)$、傾きが$m=-\frac{2}{3}$の直線を描く。

Solution解答

Plot the given point, the $y$-intercept $(0,2).$

与えられた点である$y$切片$(0,2)$を取る。

Use the slope formula $m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ to identify the rise and the run.

傾きの公式$m=\frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}$を使い、縦と横の変化量を求める。

$\begin{array}{}\\ \\ m=-\frac{2}{3}\hfill \\ \frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{\mathrm{-2}}{3}\hfill \\ \\ \\ \text{rise}=\mathrm{–2}\hfill \\ \text{run}=3\hfill \end{array}$

$\begin{array}{}\\ \\ m=-\frac{2}{3}\hfill \\ \frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}=\frac{\mathrm{-2}}{3}\hfill \\ \\ \\ \text{縦の変化量}=\mathrm{–2}\hfill \\ \text{横の変化量}=3\hfill \end{array}$

Starting at $(0,2),$ count the rise and the run and mark the second point.

$(0,2)$から始め、縦と横の変化量を数えて2つ目の点を記す。

Connect the points with a line.

点を直線で結ぶ。

Example 11.42例題 11.42

Graph the line passing through the point $(\mathrm{-1},\mathrm{-3})$ whose slope is $m=4.$

点$(\mathrm{-1},\mathrm{-3})$を通り、傾きが$m=4$の直線を描く。

Solution解答

Solution解答

Plot the given point.

与えられた点を取る。

Identify the rise and the run. 縦と横の変化量を求める。	$m=4$
Write 4 as a fraction. 4を分数で書く。	$\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{4}{1}$ $\frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}=\frac{4}{1}$
	$\text{rise}=4\text{run}=1$ $\text{縦の変化量}=4\text{横の変化量}=1$

Count the rise and run.

縦と横の変化量を数える。

Mark the second point. Connect the two points with a line.

2つ目の点を記し、2点を直線で結ぶ。

Solve Slope Applications傾きの応用問題を解く

Example 11.43例題 11.43

The pitch of a building’s roof is the slope of the roof. Knowing the pitch is important in climates where there is heavy snowfall. If the roof is too flat, the weight of the snow may cause it to collapse. What is the slope of the roof shown?

英語のヒント

屋根の勾配とは、屋根の傾きである。雪が多く降る地域では、屋根の勾配を知ることが重要になる。屋根が平らすぎると、雪の重みで崩れることがある。図の屋根の傾きはいくつか。

Solution解答

Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ $m=\frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}$
Substitute the values for rise and run. 縦と横の変化量の値を代入する。	$m=\frac{\text{9 ft}}{\text{18 ft}}$ $m=\frac{\text{9フィート}}{\text{18フィート}}$
Simplify. 簡単にする。	$m=\frac{1}{2}$
	The slope of the roof is $\frac{1}{2}$. 屋根の傾きは$\frac{1}{2}$である。

Example 11.44例題 11.44

Sewage pipes must slope down $\frac{1}{4}$ inch per foot in order to drain properly. What is the required slope?

英語のヒント

下水管が適切に排水するには、1フィート当たり$\frac{1}{4}$インチ下がる必要がある。必要な傾きはいくつか。

Solution解答

Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ $m=\frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}$
	$m=\frac{-\frac{1}{4}\text{in}\text{.}}{1\text{ft}}$ $m=\frac{-\frac{1}{4}\text{インチ}\text{.}}{1\text{フィート}}$
	$m=\frac{-\frac{1}{4}\text{in}\text{.}}{1\text{ft}}$ $m=\frac{-\frac{1}{4}\text{インチ}\text{.}}{1\text{フィート}}$
Convert 1 foot to 12 inches. 1フィートを12インチに直す。	$m=\frac{-\frac{1}{4}\text{in}\text{.}}{12\text{in.}}$ $m=\frac{-\frac{1}{4}\text{インチ}\text{.}}{12\text{インチ}}$
Simplify. 簡単にする。	$m=-\frac{1}{48}$
	The slope of the pipe is $-\frac{1}{48}.$ 管の傾きは$-\frac{1}{48}$である。

Key Concepts重要な概念

• Find the slope from a graph

  グラフから傾きを求める
  1. Locate two points on the line whose coordinates are integers.

     直線上で、座標が整数の2点を選ぶ。
  2. Starting with the point on the left, sketch a right triangle, with the hypotenuse going from the first point to the second point.

     左の点から始め、斜辺が最初の点から2つ目の点へ延びる直角三角形を描く。
  3. Count the rise and the run on the legs of the triangle.

     三角形の直角を挟む辺に沿って、縦と横の変化量を数える。
  4. Take the ratio of rise to run to find the slope, $m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$

     横の変化量に対する縦の変化量の比を取り、傾き$m=\frac{\text{縦の変化量}}{\text{横の変化量}}$を求める。
• Slope of a Horizontal Line

  水平な直線の傾き
  • The slope of a horizontal line, $y=b$, is 0.

    水平な直線$y=b$の傾きは0である。
• Slope of a Vertical Line

  垂直な直線の傾き
  • The slope of a vertical line, $x=a$, is undefined.

    垂直な直線$x=a$の傾きは定義されない。
• Slope Formula

  傾きの公式
  • The slope of the line between two points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ is $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    2点$(x_1,y_1)$と$(x_2,y_2)$を通る直線の傾きは、$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$である。
• Graph a line given a point and a slope.

  1点と傾きが与えられた直線を描く。
  1. Plot the given point.

     与えられた点を取る。
  2. Use the slope formula to identify the rise and the run.

     傾きの公式を使い、縦と横の変化量を求める。
  3. Starting at the given point, count out the rise and run to mark the second point.

     与えられた点から始め、縦と横の変化量を数えて2つ目の点を記す。
  4. Connect the points with a line.

     点を直線で結ぶ。