第11章グラフ

Complete a Table of Solutions to a Linear Equation一次方程式の解の表を完成させる

In the previous examples, we substituted the

x - and y -values

of a given ordered pair to determine whether or not it was a solution to a linear equation. But how do we find the ordered pairs if they are not given? One way is to choose a value for

x

and then solve the equation for

y .

Or, choose a value for

y

and then solve for

x .

英語のヒント

前の例では、与えられた順序対の

x と y の値

を代入し、一次方程式の解かどうかを確かめた。では、順序対が与えられていないときは、どう求めればよいだろうか。1つの方法は、

x

の値を選んでから、方程式を

y

について解くことである。あるいは、

y

の値を選び、

x

について解いてもよい。

We’ll start by looking at the solutions to the equation

y = 5 x - 1

we found in Example 11.9. We can summarize this information in a table of solutions.

まず、例題11.9で求めた方程式

y = 5 x - 1

の解を見る。この情報は、解の表にまとめられる。

$y = 5 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−1$	$(0, −1)$
$1$	$4$	$(1, 4)$

To find a third solution, we’ll let

x = 2

and solve for

y .

3つ目の解を求めるため、

x = 2

として

y

について解く。

	$y = 5 x - 1$

Multiply. 掛ける。	$y = 10 - 1$
Simplify. 簡単にする。	$y = 9$

The ordered pair is a solution to

y = 5 x - 1

. We will add it to the table.

この順序対は

y = 5 x - 1

の解である。表に加えよう。

$y = 5 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−1$	$(0, −1)$
$1$	$4$	$(1, 4)$
$2$	$9$	$(2, 9)$

We can find more solutions to the equation by substituting any value of

x

or any value of

y

and solving the resulting equation to get another ordered pair that is a solution. There are an infinite number of solutions for this equation.

x

または

y

に好きな値を代入し、できた方程式を解けば、解になる別の順序対を得られる。この方程式には無数の解がある。

Example 11.10例題 11.10

Complete the table to find three solutions to the equation

y = 4 x - 2 :

表を完成させ、方程式

y = 4 x - 2 :

の解を3つ求める。

$y = 4 x - 2$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$−1$
$2$

Solution解答

Substitute

x = 0, x = −1,

and

x = 2

into

y = 4 x - 2 .

y = 4 x - 2

に

x = 0, x = −1

および

x = 2

を代入する。


$y = 4 x - 2$	$y = 4 x - 2$	$y = 4 x - 2$

$y = 0 - 2$	$y = −4 - 2$	$y = 8 - 2$
$y = −2$	$y = −6$	$y = 6$
$(0, −2)$	$(−1, −6)$	$(2, 6)$

The results are summarized in the table.

結果を表にまとめる。

$y = 4 x - 2$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−2$	$(0, −2)$
$−1$	$−6$	$(−1, −6)$
$2$	$6$	$(2, 6)$

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

Complete the table to find three solutions to the equation:

y = 3 x - 1 .

表を完成させ、方程式

y = 3 x - 1

の解を3つ求める。

$y = 3 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$−1$
$2$

Solution解答

$y = 3 x - 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−1$	$(0, −1)$
$−1$	$−4$	$(−1, −4)$
$2$	$5$	$(2, 5)$

Question 2問題 2

Complete the table to find three solutions to the equation:

y = 6 x + 1

表を完成させ、方程式

y = 6 x + 1

の解を3つ求める。

$y = 6 x + 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$1$
$−2$

Solution解答

$y = 6 x + 1$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$1$	$(0, 1)$
$1$	$7$	$(1, 7)$
$−2$	$−11$	$(−2, −11)$

Example 11.11例題 11.11

Complete the table to find three solutions to the equation

5 x - 4 y = 20 :

表を完成させ、方程式

5 x - 4 y = 20 :

の解を3つ求める。

$5 x - 4 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
	$0$
	$5$

Solution解答

方程式への3通りの代入。最初はx＝0で、0が青。続く行は5x−4y＝20、5×0−4y＝20（0は青）、0−4y＝20、−4y＝20、y＝−5、最後は順序対（0, −5）。 2つ目はy＝0で、0が赤。続く行は5x−4y＝20、5x−4×0（0は赤）、5x−0＝20、5x＝20、x＝4、最後は順序対（4, 0）。 3つ目はy＝5で、5が赤。続く行は5x−4y＝20、5x−4×5（5は青）、5x−20＝20、5x＝40、x＝8、最後は順序対（8, 5）。

The results are summarized in the table.

結果を表にまとめる。

$5 x - 4 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−5$	$(0, −5)$
$4$	$0$	$(4, 0)$
$8$	$5$	$(8, 5)$

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

Complete the table to find three solutions to the equation:

2 x - 5 y = 20 .

表を完成させ、方程式

2 x - 5 y = 20

の解を3つ求める。

$2 x - 5 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
	$0$
$−5$

Solution解答

$2 x - 5 y = 20$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−4$	$(0, −4)$
$10$	$0$	$(10, 0)$
$−5$	$−6$	$(−5, −6)$

Question 2問題 2

Complete the table to find three solutions to the equation:

3 x - 4 y = 12 .

表を完成させ、方程式

3 x - 4 y = 12

の解を3つ求める。

$3 x - 4 y = 12$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
	$0$
$−4$

Solution解答

$3 x - 4 y = 12$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−3$	$(0, −3)$
$4$	$0$	$(4, 0)$
$−4$	$−6$	$(−4, −6)$

Find Solutions to Linear Equations in Two Variables2変数の一次方程式の解を求める

To find a solution to a linear equation, we can choose any number we want to substitute into the equation for either

x

y .

We could choose

1, 100, 1,000,

or any other value we want. But it’s a good idea to choose a number that’s easy to work with. We’ll usually choose

0

as one of our values.

英語のヒント

一次方程式の解を求めるには、

x

と

y

のどちらかに、好きな数を選んで代入できる。

1, 100, 1,000

でも、ほかの値でもよい。しかし、扱いやすい数を選ぶのがよい。通常は、選ぶ値の1つを

0

にする。

Example 11.12例題 11.12

Find a solution to the equation

3 x + 2 y = 6 .

方程式

3 x + 2 y = 6

の解を1つ求める。

Solution解答

Step 1: Choose any value for one of the variables in the equation. 手順1：方程式の片方の変数について、好きな値を選ぶ。		We can substitute any value we want for $x$ or any value for $y .$ Let's pick $x = 0 .$ What is the value of $y$ if $x = 0$ ? $x$ にも $y$ にも、好きな値を代入できる。 $x = 0$ を選ぼう。 $x = 0$ のとき、 $y$ はいくつか。
Step 2: Substitute that value into the equation. Solve for the other variable. 手順2：その値を方程式に代入し、もう片方の変数について解く。	Substitute $0$ for $x .$ Simplify. Divide both sides by 2. $x$ に $0$ を代入する。簡単にし、両辺を2で割る。
Step 3: Write the solution as an ordered pair. 手順3：解を順序対で書く。	So, when $x = 0, y = 3 .$ したがって、 $x = 0, y = 3$ となる。	This solution is represented by the ordered pair $(0, 3) .$ この解は順序対 $(0, 3)$ で表される。
Step 4: Check. 手順4：確かめる。	Is the result a true equation? Yes! 等式は成り立つか。成り立つ。

Try It (2)確認問題（2題）

We said that linear equations in two variables have infinitely many solutions, and we’ve just found one of them. Let’s find some other solutions to the equation

3 x + 2 y = 6 .

2変数の一次方程式には無数の解があると述べ、そのうち1つを求めた。方程式

3 x + 2 y = 6

のほかの解を求めよう。

Example 11.13例題 11.13

Find three more solutions to the equation

3 x + 2 y = 6 .

方程式

3 x + 2 y = 6

の解を、さらに3つ求める。

Solution解答

To find solutions to

3 x + 2 y = 6,

choose a value for

x

y .

Remember, we can choose any value we want for

x

y .

Here we chose

1

for

x,

and

0

and

−3

for

y .

3 x + 2 y = 6

の解を求めるには、

x

または

y

の値を選ぶ。

x

と

y

の値は自由に選べる。ここでは、

x

の値として

1

を、

y

の値として

0

と

−3

を選んだ。

Substitute it into the equation. その値を方程式に代入する。
Simplify. Solve. 式を簡単にし、解く。

Write the ordered pair. 順序対を書く。	$(2, 0)$	$(1, \frac{3}{2})$	$(4, −3)$

Check your answers.

答えを確かめる。

$(2, 0)$	$(1, \frac{3}{2})$	$(4, −3)$

(2, 0), (1, \frac{3}{2})

and

(4, −3)

are all solutions to the equation

3 x + 2 y = 6 .

In the previous example, we found that

(0, 3)

is a solution, too. We can list these solutions in a table.

したがって、

(2, 0), (1, \frac{3}{2})

と

(4, −3)

は、いずれも方程式

3 x + 2 y = 6

の解である。前の例では、

(0, 3)

も解だと分かった。これらの解を表にまとめられる。

$3 x + 2 y = 6$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$3$	$(0, 3)$
$2$	$0$	$(2, 0)$
$1$	$\frac{3}{2}$	$(1, \frac{3}{2})$
$4$	$−3$	$(4, −3)$

Try It (2)確認問題（2題）

Let’s find some solutions to another equation now.

今度は別の方程式の解をいくつか求めよう。

Example 11.14例題 11.14

Find three solutions to the equation

x - 4 y = 8 .

方程式

x - 4 y = 8

の解を3つ求める。

Solution解答


Choose a value for $x$ or $y .$ $x$ または $y$ の値を選ぶ。
Substitute it into the equation. その値を方程式に代入する。
Solve. 解く。
Write the ordered pair. 順序対を書く。	$(0, −2)$	$(8, 0)$	$(20, 3)$

(0, −2), (8, 0),

and

(20, 3)

are three solutions to the equation

x - 4 y = 8 .

したがって、

(0, −2), (8, 0)

と

(20, 3)

は、方程式

x - 4 y = 8

の3つの解である。

$x - 4 y = 8$
$x$	$y$	$(x, y)$
$0$	$−2$	$(0, −2)$
$8$	$0$	$(8, 0)$
$20$	$3$	$(20, 3)$

Remember, there are an infinite number of solutions to each linear equation. Any point you find is a solution if it makes the equation true.

どの一次方程式にも無数の解があることを思い出そう。求めた点が等式を成り立たせるなら、それは解である。

Try It (2)確認問題（2題）

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