第11章グラフ

Find the Slope of a Line from its Graphグラフから直線の傾きを求める

Now we’ll look at some graphs on a coordinate grid to find their slopes. The method will be very similar to what we just modeled on our geoboards.

今度は座標平面上のグラフを見て、傾きを求めよう。方法は、ジオボードで試した方法とよく似ている。

Additional Resources追加教材

To find the slope, we must count out the rise and the run. But where do we start?

傾きを求めるには、縦と横の変化量を数える必要がある。しかし、どこから始めればよいのだろうか。

We locate any two points on the line. We try to choose points with coordinates that are integers to make our calculations easier. We then start with the point on the left and sketch a right triangle, so we can count the rise and run.

直線上の2点を選ぶ。計算を簡単にするため、座標が整数の点を選ぼう。次に左側の点から始め、縦と横の変化量を数えられるように直角三角形を描く。

Example 11.34例題 11.34

Find the slope of the line shown:

図の直線の傾きを求める。

xy座標平面。x軸の目盛りは-1から6。y軸の目盛りは-4から2。直線が点(5, 1)と(0, -3)を通る。

Solution解答

Locate two points on the graph, choosing points whose coordinates are integers. We will use

(0, −3)

and

(5, 1) .

グラフ上で座標が整数の2点を選ぶ。ここでは

(0, −3)

と

(5, 1)

を使う。

Starting with the point on the left,

(0, −3),

sketch a right triangle, going from the first point to the second point,

(5, 1) .

左の点

(0, −3)

から始め、最初の点から2つ目の点

(5, 1)

へ向かう直角三角形を描く。


Count the rise on the vertical leg of the triangle. 三角形の縦の辺で、縦の変化量を数える。	The rise is 4 units. 縦の変化量は4単位である。
Count the run on the horizontal leg. 横の辺で、横の変化量を数える。	The run is 5 units. 横の変化量は5単位である。
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{rise}{run}$ $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$
Substitute the values of the rise and run. 縦の変化量と横の変化量を代入する。	$m = \frac{4}{5}$
	The slope of the line is $\frac{4}{5}$ . 直線の傾きは $\frac{4}{5}$ である。

Notice that the slope is positive since the line slants upward from left to right.

直線が左から右へ上がるので、傾きは正である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 11.35例題 11.35

Find the slope of the line shown:

図の直線の傾きを求める。

xy座標平面。x軸の目盛りは-1から9。y軸の目盛りは-1から7。直線が点(4, 2)と(3, 3)を通る。

Solution解答

Locate two points on the graph. Look for points with coordinates that are integers. We can choose any points, but we will use (0, 5) and (3, 3). Starting with the point on the left, sketch a right triangle, with the hypotenuse going from the first point to the second point.

グラフ上で座標が整数の2点を探す。どの点を選んでもよいが、ここでは（0, 5）と（3, 3）を使う。左の点から始め、斜辺が最初の点から2つ目の点へ延びる直角三角形を描く。


Count the rise – it is negative. 縦の変化量を数える。ここでは負になる。	The rise is −2. 縦の変化量は−2である。
Count the run. 横の変化量を数える。	The run is 3. 横の変化量は3である。
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{rise}{run}$ $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$
Substitute the values of the rise and run. 縦の変化量と横の変化量を代入する。	$m = \frac{−2}{3}$
Simplify. 簡単にする。	$m = - \frac{2}{3}$
	The slope of the line is $- \frac{2}{3} .$ 直線の傾きは $- \frac{2}{3}$ である。

Notice that the slope is negative since the line slants downward from left to right.

直線が左から右へ下がるので、傾きは負である。

What if we had chosen different points? Let’s find the slope of the line again, this time using different points. We will use the points

(−3, 7)

and

(6, 1) .

別の点を選んだらどうなるだろうか。今度は点を変え、

(−3, 7)

と

(6, 1)

を使って、もう一度傾きを求めよう。

xy座標平面。x軸は−1から9、y軸は−1から7。直線が（0, 5）と（3, 3）を通る。

Starting at

(−3, 7),

sketch a right triangle to

(6, 1) .

(−3, 7)

から

(6, 1)

まで、直角三角形を描く。


Count the rise. 縦の変化量を数える。	The rise is −6. 縦の変化量は−6である。
Count the run. 横の変化量を数える。	The run is 9. 横の変化量は9である。
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{rise}{run}$ $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$
Substitute the values of the rise and run. 縦の変化量と横の変化量を代入する。	$m = \frac{−6}{9}$
Simplify the fraction. 分数を約分する。	$m = - \frac{2}{3}$
	The slope of the line is $- \frac{2}{3} .$ 直線の傾きは $- \frac{2}{3}$ である。

It does not matter which points you use—the slope of the line is always the same. The slope of a line is constant!

英語のヒント

どの点を使っても、直線の傾きは常に同じである。直線の傾きは一定なのだ。

Try It (2)確認問題（2題）

The lines in the previous examples had

y

-intercepts with integer values, so it was convenient to use the y-intercept as one of the points we used to find the slope. In the next example, the

y

-intercept is a fraction. The calculations are easier if we use two points with integer coordinates.

これまでの例では

y

切片の値が整数だったので、傾きを求める2点のうち1点にy切片を使うと便利だった。次の例では、

y

切片が分数になる。整数の座標を持つ2点を使う方が、計算は簡単である。

Example 11.36例題 11.36

Find the slope of the line shown:

図の直線の傾きを求める。

xy座標平面。x軸の目盛りは0から7。y軸の目盛りは0から8。直線が点(2, 3)と(7, 6)を通る。

Solution解答

Locate two points on the graph whose coordinates are integers. グラフ上で座標が整数の2点を選ぶ。	$(2, 3)$ and $(7, 6)$ $(2, 3)$ と $(7, 6)$
Which point is on the left? どちらの点が左にあるか。	$(2, 3)$
Starting at $(2, 3)$ , sketch a right angle to $(7, 6)$ as shown below. $(2, 3)$ から始め、下の図のように $(7, 6)$ へ向かう直角を描く。


Count the rise. 縦の変化量を数える。	The rise is 3. 縦の変化量は3である。
Count the run. 横の変化量を数える。	The run is 5. 横の変化量は5である。
Use the slope formula. 傾きの公式を使う。	$m = \frac{rise}{run}$ $m = \frac{縦の変化量}{横の変化量}$
Substitute the values of the rise and run. 縦の変化量と横の変化量を代入する。	$m = \frac{3}{5}$
	The slope of the line is $\frac{3}{5} .$ 直線の傾きは $\frac{3}{5}$ である。

Try It (2)確認問題（2題）