第11章グラフ

Identify Points on a Graphグラフ上の点を読み取る

In algebra, being able to identify the coordinates of a point shown on a graph is just as important as being able to plot points. To identify the x-coordinate of a point on a graph, read the number on the x-axis directly above or below the point. To identify the y-coordinate of a point, read the number on the y-axis directly to the left or right of the point. Remember, to write the ordered pair using the correct order

(x, y) .

英語のヒント

代数では、グラフ上の点の座標を読み取れることは、点を取れることと同じくらい重要である。点のx座標を読み取るには、その点の真上または真下にあるx軸の数を読む。y座標を読み取るには、その点の真左または真右にあるy軸の数を読む。順序対は

(x, y)

という正しい順序で書こう。

Example 11.6例題 11.6

Name the ordered pair of each point shown:

図の各点を表す順序対を答える。

xy座標平面。両軸の目盛りは-7から7。点(2, 4)にCと記される。点(-3, 3)にAと記される。点(-1, -3)にBと記される。点(4, -4)にDと記される。

Solution解答

Point A is above

−3

on the

x -axis,

so the

x -coordinate

of the point is

−3 .

The point is to the left of

3

on the

y -axis,

so the

y -coordinate

of the point is

3 .

The coordinates of the point are

(−3, 3) .

点Aは、

x 軸

上の

−3

の真上にあるので、

x 座標

は

−3

である。また、

y 軸

上の

3

の真左にあるので、

y 座標

は

3

である。したがって、この点の座標は

(−3, 3)

である。

Point B is below

−1

on the

x -axis,

so the

x -coordinate

of the point is

−1 .

The point is to the left of

−3

on the

y -axis,

so the

y -coordinate

of the point is

−3 .

The coordinates of the point are

(−1, −3) .

点Bは、

x 軸

上の

−1

の真下にあるので、

x 座標

は

−1

である。また、

y 軸

上の

−3

の真左にあるので、

y 座標

は

−3

である。したがって、この点の座標は

(−1, −3)

である。

Point C is above

2

on the

x -axis,

so the

x -coordinate

of the point is

2 .

The point is to the right of

4

on the

y -axis,

so the

y -coordinate

of the point is

4 .

The coordinates of the point are

(2, 4) .

点Cは、

x 軸

上の

2

の真上にあるので、

x 座標

は

2

である。また、

y 軸

上の

4

の真右にあるので、

y 座標

は

4

である。したがって、この点の座標は

(2, 4)

である。

Point D is below

4

on the

x - axis,

so the

x -coordinate

of the point is

4 .

The point is to the right of

−4

on the

y -axis,

so the

y -coordinate

of the point is

−4 .

The coordinates of the point are

(4, −4) .

点Dは、

x - 軸

上の

4

の真下にあるので、

x 座標

は

4

である。また、

y 軸

上の

−4

の真右にあるので、

y 座標

は

−4

である。したがって、この点の座標は

(4, −4)

である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 11.7例題 11.7

Name the ordered pair of each point shown:

図の各点を表す順序対を答える。

xy座標平面。両軸の目盛りは-7から7。点(3, 0)にCと記される。点(0, 1)にDと記される。点(-4, 0)にAと記される。点(0, -2)にBと記される。

Solution解答

Point A is on the x-axis at $x = - 4$ . 点Aはx軸上の $x = - 4$ にある。	The coordinates of point A are $(- 4, 0)$ . 点Aの座標は $(- 4, 0)$ である。
Point B is on the y-axis at $y = - 2$ 点Bはy軸上の $y = - 2$ にある。	The coordinates of point B are $(0, - 2)$ . 点Bの座標は $(0, - 2)$ である。
Point C is on the x-axis at $x = 3$ . 点Cはx軸上の $x = 3$ にある。	The coordinates of point C are $(3, 0)$ . 点Cの座標は $(3, 0)$ である。
Point D is on the y-axis at $y = 1$ . 点Dはy軸上の $y = 1$ にある。	The coordinates of point D are $(0, 1)$ . 点Dの座標は $(0, 1)$ である。

Try It (2)確認問題（2題）

Verify Solutions to an Equation in Two Variables2変数の方程式の解を確かめる

All the equations we solved so far have been equations with one variable. In almost every case, when we solved the equation we got exactly one solution. The process of solving an equation ended with a statement such as

x = 4 .

Then we checked the solution by substituting back into the equation.

これまでに解いた方程式は、すべて変数が1つの方程式だった。ほとんどの場合、解はちょうど1つだった。方程式を解く手順は、

x = 4

のような等式で終わり、その値を元の方程式に代入して確かめた。

Here’s an example of a linear equation in one variable, and its one solution.

1変数の一次方程式と、その唯一の解の例を示す。

\begin{matrix} 3 x + 5 = 17 \\ 3 x = 12 \\ x = 4 \end{matrix}

But equations can have more than one variable. Equations with two variables can be written in the general form

A x + B y = C .

An equation of this form is called a linear equation in two variables.

しかし、方程式には変数が2つ以上ある場合もある。2変数の方程式は、一般形

A x + B y = C

で表せる。この形の方程式を、2変数の一次方程式という。

Notice that the word “line” is in linear.

linear（一次の）という語の中に、line（直線）が含まれていることに注目しよう。

Here is an example of a linear equation in two variables,

x

and

y :

2つの変数

x

と

y :

を含む一次方程式の例を示す。

式の並び。最初の行はAx＋Bx＝Cで、Aが赤、Bが青、Cが青緑。2行目はx＋4y＝8で、4が青、8が青緑。最後の行にA＝1が赤、B＝4が青、C＝8が青緑で示される。

y = −5 x + 1

a linear equation? It does not appear to be in the form

A x + B y = C .

But we could rewrite it in this form.

y = −5 x + 1

は一次方程式だろうか。

A x + B y = C

の形には見えないが、この形に書き直せる。


Add $5 x$ to both sides. 両辺に $5 x$ を足す。
Simplify. 簡単にする。
Use the Commutative Property to put it in $A x + B y = C .$ 交換法則を使い、 $A x + B y = C$ の形にする。

By rewriting

y = −5 x + 1

5 x + y = 1,

we can see that it is a linear equation in two variables because it can be written in the form

A x + B y = C .

y = −5 x + 1

を

5 x + y = 1

と書き直すと、

A x + B y = C

の形にできるため、2変数の一次方程式だと分かる。

Linear equations in two variables have infinitely many solutions. For every number that is substituted for

x,

there is a corresponding

y

value. This pair of values is a solution to the linear equation and is represented by the ordered pair

(x, y) .

When we substitute these values of

x

and

y

into the equation, the result is a true statement because the value on the left side is equal to the value on the right side.

英語のヒント

2変数の一次方程式には、無数の解がある。

x

に代入するそれぞれの数に対して、対応する

y

の値がある。この値の組が一次方程式の解であり、順序対

(x, y)

で表される。この

x

と

y

の値を方程式に代入すると、左辺と右辺の値が等しくなるので、正しい等式になる。

Example 11.8例題 11.8

Determine which ordered pairs are solutions of the equation

x + 4 y = 8 :

どの順序対が方程式

x + 4 y = 8 :

の解かを判定する。

ⓐ $(0, 2)$
ⓑ $(2, −4)$
ⓒ $(−4, 3)$

Solution解答

Substitute the

x - and y -values

from each ordered pair into the equation and determine if the result is a true statement.

各順序対の

x と y の値

を方程式に代入し、等式が成り立つか確かめる。

ⓐ $(0, 2)$	ⓑ $(2, −4)$	ⓒ $(−4, 3)$

$(0, 2)$ is a solution. $(0, 2)$ は解である。	$(2, −4)$ is not a solution. $(2, −4)$ は解ではない。	$(−4, 3)$ is a solution. $(−4, 3)$ は解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 11.9例題 11.9

Determine which ordered pairs are solutions of the equation.

y = 5 x - 1 :

どの順序対が方程式

y = 5 x - 1 :

の解かを判定する。

ⓐ $(0, −1)$
ⓑ $(1, 4)$
ⓒ $(−2, −7)$

Solution解答

Substitute the

x -

and

y -values

from each ordered pair into the equation and determine if it results in a true statement.

各順序対の

x -

と

y の値

を方程式に代入し、等式が成り立つか確かめる。

ⓐ $(0, −1)$	ⓑ $(1, 4)$	ⓒ $(−2, −7)$

$(0, −1)$ is a solution. $(0, −1)$ は解である。	$(1, 4)$ is a solution. $(1, 4)$ は解である。	$(−2, −7)$ is not a solution. $(−2, −7)$ は解ではない。

Try It (2)確認問題（2題）