第11章グラフ

Key Concepts重要な概念

Sign Patterns of the Quadrants
各象限の符号の組み合わせ

Quadrant I
第1象限

Quadrant II
第2象限

Quadrant III
第3象限

Quadrant IV
第4象限

(x,y)

(x,y)

(x,y)

(x,y)

(+,+)

(−,+)

(−,−)

(+,−)
Coordinates of Zero
座標が0のとき
- Points with a y-coordinate equal to 0 are on the x-axis, and have coordinates ( a, 0).
  y座標が0の点はx軸上にあり、座標は（a, 0）である。
- Points with a x-coordinate equal to 0 are on the y-axis, and have coordinates ( 0, b).
  x座標が0の点はy軸上にあり、座標は（0, b）である。
- The point (0, 0) is called the origin. It is the point where the x-axis and y-axis intersect.
  点（0, 0）を原点という。x軸とy軸が交わる点である。

Quadrant I 第1象限	Quadrant II 第2象限	Quadrant III 第3象限	Quadrant IV 第4象限
(x,y)	(x,y)	(x,y)	(x,y)
(+,+)	(−,+)	(−,−)	(+,−)

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–7練習問題 1–7

Plot Points on a Rectangular Coordinate System

直交座標平面に点を取る

In the following exercises, plot each point on a coordinate grid.

次の練習問題では、座標平面にそれぞれの点を取る。

Exercise 1問題 1

(3, 2)

Solution解き方

Exercise 2問題 2

(4, 1)

Exercise 3問題 3

(1, 5)

Solution解き方

Exercise 4問題 4

(3, 4)

Exercise 5問題 5

(4, 1), (1, 4)

Solution解き方

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(1, 4)が示される。点(4, 1)が示される。

Exercise 6問題 6

(3, 2), (2, 3)

Exercise 7問題 7

(3, 4), (4, 3)

Solution解き方

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(3, 4)が示される。点(4, 3)が示される。

Exercises 8–10練習問題 8–10

In the following exercises, plot each point on a coordinate grid and identify the quadrant in which the point is located.

次の練習問題では、座標平面にそれぞれの点を取り、その点がどの象限にあるかを答える。

Exercise 8問題 8

ⓐ $(−4, 2)$
ⓑ $(−1, −2)$
ⓒ $(3, −5)$
ⓓ $(2, \frac{5}{2})$

Exercise 9問題 9

ⓐ $(−2, −3)$
ⓑ $(3, −3)$
ⓒ $(−4, 1)$
ⓓ $(1, \frac{3}{2})$

Solution解き方

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。象限はI、II、III、IVと記される。点(-1, 1)にaと記される。点(-2, -1)にbと記される。点(1, -4)にcと記される。点(3, 7/2)にdと記される。

Exercise 10問題 10

ⓐ $(−1, 1)$
ⓑ $(−2, −1)$
ⓒ $(1, −4)$
ⓓ $(3, \frac{7}{2})$

Exercises 11–13練習問題 11–13

In the following exercises, plot each point on a coordinate grid.

次の練習問題では、座標平面にそれぞれの点を取る。

Exercise 11問題 11

ⓐ $(3, −2)$
ⓑ $(−3, 2)$
ⓒ $(−3, −2)$
ⓓ $(3, 2)$

Solution解き方

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(3, -2)にaと記される。点(-3, 2)にbと記される。点(-3, -2)にcと記される。点(3, 2)にdと記される。

Exercise 12問題 12

ⓐ $(4, −1)$
ⓑ $(−4, 1)$
ⓒ $(−4, −1)$
ⓓ $(4, 1)$

Exercise 13問題 13

ⓐ $(−2, 0)$
ⓑ $(−3, 0)$
ⓒ $(0, 4)$
ⓓ $(0, 2)$

Solution解き方

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(-2, 0)にaと記される。点(-3, 0)にbと記される。点(0, 4)にcと記される。点(0, 2)にdと記される。

Exercises 14–20練習問題 14–20

Identify Points on a Graph

グラフ上の点を読み取る

In the following exercises, name the ordered pair of each point shown.

次の練習問題では、図の各点を表す順序対を答える。

Exercise 14問題 14

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(-4, 1)にAと記される。点(-3, -4)にBと記される。

Exercise 15問題 15

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(4, 3)にDと記される。点(1, -3)にCと記される。

Solution解き方

C(1, -3) D(4, 3)

Exercise 16問題 16

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(-3, -2)にXと記される。点(5, -1)にYと記される。

Exercise 17問題 17

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(-2, 4)にSと記される。点(-4, -2)にTと記される。

Solution解き方

S(-2, 4) T(-4, -2)

Exercise 18問題 18

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(-2, 0)にBと記される。点(0, -2)にAと記される。

Exercise 19問題 19

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(-1, 0)にDと記される。点(0, -1)にCと記される。

Solution解き方

C(0, -1) D(-1, 0)

Exercise 20問題 20

xy座標平面。両軸の目盛りは-6から6。点(3, 0)にTと記される。点(-4, 0)にSと記される。

Exercises 21–28練習問題 21–28

Verify Solutions to an Equation in Two Variables

2変数の方程式の解を確かめる

In the following exercises, determine which ordered pairs are solutions to the given equation.

次の練習問題では、どの順序対が与えられた方程式の解かを判定する。

Exercise 21問題 21

2 x + y = 6

ⓐ $(1, 4)$
ⓑ $(3, 0)$
ⓒ $(2, 3)$

Solution解き方

ⓐ , ⓑ

Exercise 22問題 22

x + 3 y = 9

ⓐ $(0, 3)$
ⓑ $(6, 1)$
ⓒ $(−3, −3)$

Exercise 23問題 23

4 x - 2 y = 8

ⓐ $(3, 2)$
ⓑ $(1, 4)$
ⓒ $(0, −4)$

Solution解き方

ⓐ , ⓒ

Exercise 24問題 24

3 x - 2 y = 12

ⓐ $(4, 0)$
ⓑ $(2, −3)$
ⓒ $(1, 6)$

Exercise 25問題 25

y = 4 x + 3

ⓐ $(4, 3)$
ⓑ $(−1, −1)$
ⓒ $(\frac{1}{2}, 5)$

Solution解き方

ⓑ , ⓒ

Exercise 26問題 26

y = 2 x - 5

ⓐ $(0, −5)$
ⓑ $(2, 1)$
ⓒ $(\frac{1}{2}, −4)$

Exercise 27問題 27

y = \frac{1}{2} x - 1

ⓐ $(2, 0)$
ⓑ $(−6, −4)$
ⓒ $(−4, −1)$

Solution解き方

ⓐ , ⓑ

Exercise 28問題 28

y = \frac{1}{3} x + 1

ⓐ $(−3, 0)$
ⓑ $(9, 4)$
ⓒ $(−6, −1)$

Exercises 29–34練習問題 29–34

Find Solutions to Linear Equations in Two Variables

2変数の一次方程式の解を求める

In the following exercises, complete the table to find solutions to each linear equation.

次の練習問題では、表を完成させ、各一次方程式の解を求める。

Exercise 29問題 29

y = 2 x - 4

$x$	$y$	$(x, y)$
$−1$
$0$
$2$

Solution解き方

$x$	$y$	$(x, y)$
$−1$	$−6$	$(−1, −6)$
$0$	$−4$	$(0, −4)$
$2$	$0$	$(2, 0)$

Exercise 30問題 30

y = 3 x - 1

$x$	$y$	$(x, y)$
$−1$
$0$
$2$

Exercise 31問題 31

y = - x + 5

$x$	$y$	$(x, y)$
$−2$
$0$
$3$

Solution解き方

$x$	$y$	$(x, y)$
$−2$	$7$	$(−2, 7)$
$0$	$5$	$(0, 5)$
$3$	$2$	$(3, 2)$

Exercise 32問題 32

y = \frac{1}{3} x + 1

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$3$
$6$

Exercise 33問題 33

y = - \frac{3}{2} x - 2

$x$	$y$	$(x, y)$
$−2$
$0$
$2$

Solution解き方

$x$	$y$	$(x, y)$
$−2$	$1$	$(−2, 1)$
$0$	$−2$	$(0, −2)$
$2$	$−5$	$(2, −5)$

Exercise 34問題 34

x + 2 y = 8

$x$	$y$	$(x, y)$
$0$
$4$
	$0$

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 35–36練習問題 35–36

Exercise 35問題 35

Weight of a baby Mackenzie recorded her baby’s weight every two months. The baby’s age, in months, and weight, in pounds, are listed in the table, and shown as an ordered pair in the third column.

英語のヒント

赤ちゃんの体重　マッケンジーは、赤ちゃんの体重を2か月ごとに記録した。月齢と体重（ポンド）が表にまとめられ、3列目に順序対として示されている。

ⓐ Plot the points on a coordinate grid.

ⓐ 座標平面に点を取る。

$Age$ $月齢$	$Weight$ $体重$	$(x, y)$
$0$	$7$	$(0, 7)$
$2$	$11$	$(2, 11)$
$4$	$15$	$(4, 15)$
$6$	$16$	$(6, 16)$
$8$	$19$	$(8, 19)$
$10$	$20$	$(10, 20)$
$12$	$21$	$(12, 21)$

ⓑ Why is only Quadrant I needed?

ⓑ 第1象限だけでよいのはなぜか。

Solution解き方

ⓐ
ⓑ Age and weight are only positive.
ⓑ 月齢も体重も正の値しか取らない。

Exercise 36問題 36

Weight of a child Latresha recorded her son’s height and weight every year. His height, in inches, and weight, in pounds, are listed in the table, and shown as an ordered pair in the third column.

子どもの体重　ラトリーシャは、息子の身長と体重を毎年記録した。身長（インチ）と体重（ポンド）が表にまとめられ、3列目に順序対として示されている。

ⓐ Plot the points on a coordinate grid.

ⓐ 座標平面に点を取る。

$\begin{matrix} Height \\ x \end{matrix}$ $\begin{matrix} 身長 \\ x \end{matrix}$	$\begin{matrix} Weight \\ y \end{matrix}$ $\begin{matrix} 体重 \\ y \end{matrix}$	$\begin{matrix} (x, y) \end{matrix}$
$28$	$22$	$(28, 22)$
$31$	$27$	$(31, 27)$
$33$	$33$	$(33, 33)$
$37$	$35$	$(37, 35)$
$40$	$41$	$(40, 41)$
$42$	$45$	$(42, 45)$

ⓑ Why is only Quadrant I needed?

ⓑ 第1象限だけでよいのはなぜか。

Writing Exercises記述問題

Exercises 37–38練習問題 37–38

Exercise 37問題 37

Have you ever used a map with a rectangular coordinate system? Describe the map and how you used it.

直交座標を使った地図を利用したことがあるだろうか。その地図と、どのように使ったかを説明する。

Solution解き方

Answers may vary.

答えはさまざまである。

Exercise 38問題 38

How do you determine if an ordered pair is a solution to a given equation?

順序対が与えられた方程式の解かどうかを、どのように判定するか。

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

ⓑ If most of your checks were:

ⓑ チェックの大半が次の項目だった場合：

…confidently. Congratulations! You have achieved the objectives in this section. Reflect on the study skills you used so that you can continue to use them. What did you do to become confident of your ability to do these things? Be specific.

……自信を持ってできる。おめでとう。この節の目標を達成できた。使った学習方法を振り返り、これからも活用しよう。これらのことをできるという自信を付けるために、何をしただろうか。具体的に考えよう。

…with some help. This must be addressed quickly because topics you do not master become potholes in your road to success. In math, every topic builds upon previous work. It is important to make sure you have a strong foundation before you move on. Whom can you ask for help? Your fellow classmates and instructor are good resources. Is there a place on campus where math tutors are available? Can your study skills be improved?

……助けがあればできる。これは早めに対処しなければならない。身に付いていない学習内容は、成功への道のくぼみになる。数学では、どの内容もそれまでの学習の上に積み重なる。先へ進む前に、しっかりした土台があることを確かめるのが大切だ。誰に助けを求められるだろうか。クラスメートや先生は頼りになる。学内に数学の学習支援を受けられる場所はあるだろうか。自分の学習方法を改善できるだろうか。

…no—I don’t get it! This is a warning sign and you must not ignore it. You should get help right away or you will quickly be overwhelmed. See your instructor as soon as you can to discuss your situation. Together you can come up with a plan to get you the help you need.

……いいえ、分からない。これは警告の印であり、見過ごしてはならない。すぐに助けを求めないと、たちまち手に負えなくなる。できるだけ早く先生に会い、自分の状況を相談しよう。一緒に、必要な支援を受けるための計画を立てられる。

linear equation

一次方程式

An equation of the form

A x + B y = C,

where

A and B

are not both zero, is called a linear equation in two variables.

A x + B y = C

という形の方程式で、

A と B

が両方とも0ではないものを、2変数の一次方程式という。

ordered pair

順序対

An ordered pair

(x, y)

gives the coordinates of a point in a rectangular coordinate system. The first number is the

x

-coordinate. The second number is the

y

-coordinate.

順序対

(x, y)

は、直交座標平面上の点の座標を表す。最初の数が

x

座標、2つ目の数が

y

座標である。

\underset{x -coordinate, y -coordinate}{(x, y)}

\underset{x 座標, y 座標}{(x, y)}

(11.1)

origin

原点

The point

(0, 0)

is called the origin. It is the point where the

x

-axis and

y

-axis intersect.

点

(0, 0)

を原点という。

x

軸と

y

軸が交わる点である。

quadrants

象限

The

x

-axis and

y

-axis divide a rectangular coordinate system into four areas, called quadrants.

x

軸と

y

軸は、直交座標平面を象限と呼ばれる4つの領域に分ける。

solution to a linear equation in two variables

2変数の一次方程式の解

An ordered pair

(x, y)

is a solution to the linear equation

A x + B y = C

, if the equation is a true statement when the x- and y-values of the ordered pair are substituted into the equation.

順序対

(x, y)

のxとyの値を一次方程式

A x + B y = C

に代入したとき、等式が成り立つなら、その順序対は方程式の解である。

x-axis

x軸

The x-axis is the horizontal axis in a rectangular coordinate system.

x軸は、直交座標平面の水平な軸である。

y-axis

y軸

The y-axis is the vertical axis on a rectangular coordinate system.

y軸は、直交座標平面の垂直な軸である。