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第8章一次方程式を解く

8.2 Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equality8.2　等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く

Learning Objectives学習目標

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By the end of this section, you will be able to:
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Solve equations using the Division and Multiplication Properties of Equality
    等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く
  • Solve equations that need to be simplified
    簡単にする操作が必要な方程式を解く
Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equality等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く

We introduced the Multiplication and Division Properties of Equality in Solve Equations Using Integers; The Division Property of Equality and Solve Equations with Fractions. We modeled how these properties worked using envelopes and counters and then applied them to solving equations (See Solve Equations Using Integers; The Division Property of Equality). We restate them again here as we prepare to use these properties again.
「整数を使って方程式を解く：等式の除法の性質」と「分数を含む方程式を解く」で、等式の乗法と除法の性質を導入した。封筒とカウンターを使って性質の働きをモデルで示し、方程式を解くために適用した（「整数を使って方程式を解く：等式の除法の性質」を参照）。再び使う準備として、ここに再掲する。
When you divide or multiply both sides of an equation by the same quantity, you still have equality.
方程式の両辺を同じ量で割ったり、両辺に同じ量を掛けたりしても、等しい関係は保たれる。
Let’s review how these properties of equality can be applied in order to solve equations. Remember, the goal is to ‘undo’ the operation on the variable. In the example below the variable is multiplied by 4, so we will divide both sides by 4 to ‘undo’ the multiplication.
これらの等式の性質を、方程式を解くためにどう使うかを復習しよう。目標は変数に施された計算を「元に戻す」ことである。下の例では変数に4が掛けられているので、両辺を4で割って乗法を「元に戻す」。
Example 8.13例題 8.13
Solve: 4x=−28.
次の方程式を解く：4x=−28

Solution解答

We use the Division Property of Equality to divide both sides by 4.
等式の除法の性質を使い、両辺を4で割る。
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Divide both sides by 4 to undo the multiplication.
両辺を4 to undo the multiplicationで割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check your answer. Let x=−7.
答えを確かめる。x=−7とおく。
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Since this is a true statement, x=−7 is a solution to 4x=−28.
この等式は成り立つので、x=−7は4x=−28の解である。
Try It (2)確認問題（2題）
In the previous example, to ‘undo’ multiplication, we divided. How do you think we ‘undo’ division?
前の例では、乗法を「元に戻す」ために割った。除法を「元に戻す」にはどうすればよいだろうか。
Example 8.14例題 8.14
Solve: a−7=−42.
次の方程式を解く：a−7=−42

Solution解答

Here a is divided by −7. We can multiply both sides by −7 to isolate a.
ここではaが−7で割られている。両辺に−7を掛けると、aだけを残せる。
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Multiply both sides by −7.
両辺に−7を掛ける。
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Simplify.
簡単にする。
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Check your answer. Let a=294.
答えを確かめる。a=294とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.15例題 8.15
Solve: −r=2.
次の方程式を解く：−r=2

Solution解答

Remember −r is equivalent to −1r.
−rは−1rに等しいことを思い出そう。
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Rewrite −r as −1r.
−rを−1rと書き換える。
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Divide both sides by −1.
両辺を−1で割る。
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Check.
確かめる。
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Substitute r=−2
r=−2を代入する。
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Simplify.
簡単にする。
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In Solve Equations with Fractions, we saw that there are two other ways to solve −r=2.
「分数を含む方程式を解く」では、−r=2を解く方法がほかに2つあると確認した。
We could multiply both sides by −1.
両辺に−1を掛けてもよい。
We could take the opposite of both sides.
両辺の符号を反対にしてもよい。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.16例題 8.16
Solve: 23x=18.
次の方程式を解く：23x=18

Solution解答

Since the product of a number and its reciprocal is 1, our strategy will be to isolate x by multiplying by the reciprocal of 23.
ある数とその逆数の積は1なので、23の逆数を掛け、xだけを残す方針をとる。
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Multiply by the reciprocal of 23.
23の逆数を掛ける。
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Reciprocals multiply to one.
互いに逆数である数を掛けると1になる。
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Multiply.
掛ける。
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Check your answer. Let x=27
答えを確かめる。x=27とおく。
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Notice that we could have divided both sides of the equation 23x=18 by 23 to isolate x. While this would work, multiplying by the reciprocal requires fewer steps.
英語のヒント
方程式23x=18の両辺を23で割って、xだけを残すこともできた。この方法でもよいが、逆数を掛けるほうが手順が少ない。
Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations That Need to be Simplified簡単にする操作が必要な方程式を解く

Many equations start out more complicated than the ones we’ve just solved. First, we need to simplify both sides of the equation as much as possible
多くの方程式は、ここまで解いたものより複雑な形から始まる。まず両辺をできるだけ簡単にする必要がある。
Example 8.17例題 8.17
Solve: 8x+9x−5x=−3+15.
次の方程式を解く：8x+9x−5x=−3+15

Solution解答

Start by combining like terms to simplify each side.
まず同類項をまとめ、各辺を簡単にする。
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Combine like terms.
同類項をまとめる。
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Divide both sides by 12 to isolate x.
両辺を12 to isolate xで割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check your answer. Let x=1
答えを確かめる。x=1とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.18例題 8.18
Solve: 11−20=17y−8y−6y.
次の方程式を解く：11−20=17y−8y−6y
Solution解答

Solution解答

Simplify each side by combining like terms.
英語のヒント
同類項をまとめて各辺を簡単にする。
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Simplify each side.
各辺を簡単にする。
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Divide both sides by 3 to isolate y.
両辺を3 to isolate yで割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check your answer. Let y=−3
答えを確かめる。y=−3とおく。
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Notice that the variable ended up on the right side of the equal sign when we solved the equation. You may prefer to take one more step to write the solution with the variable on the left side of the equal sign.
英語のヒント
解いた結果、変数が等号の右側に来たことに注目しよう。もう1段階書いて、変数を等号の左側に置いた形で解を表してもよい。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.19例題 8.19
Solve: −3(n−2)−6=21.
次の方程式を解く：−3(n−2)−6=21

Solution解答

Remember—always simplify each side first.
必ず各辺を先に簡単にすることを忘れないようにしよう。
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Distribute.
分配法則を使う。
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Simplify.
簡単にする。
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Divide both sides by -3 to isolate n.
両辺を-3 to isolate nで割る。
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Check your answer. Let n=−7.
答えを確かめる。n=−7とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Additional Resources追加教材