第8章一次方程式を解く

Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides両辺に変数と定数がある方程式を解く

The next example will be the first to have variables and constants on both sides of the equation. As we did before, we’ll collect the variable terms to one side and the constants to the other side.

次の例では、初めて変数と定数の両方が両辺に現れる。これまでと同様に、変数を含む項を一方の辺に、定数を他方の辺に集める。

Example 8.25例題 8.25

Solve:

7 x + 5 = 6 x + 2 .

次の方程式を解く：

7 x + 5 = 6 x + 2

Solution解答

Start by choosing which side will be the variable side and which side will be the constant side. The variable terms are

7 x

and

6 x .

Since

7

is greater than

6,

make the left side the variable side and so the right side will be the constant side.

まず、変数の辺と定数の辺を決める。変数を含む項は

7 x

と

6 x

である。

7

は

6

より大きいので、左辺を変数の辺、右辺を定数の辺にする。


Collect the variable terms to the left side by subtracting $6 x$ from both sides. 両辺から $6 x$ を引き、変数を含む項を左辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Now, collect the constants to the right side by subtracting 5 from both sides. 次に、両辺から5を引いて定数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
The solution is $x = −3$ . 解は $x = −3$ である。
Check: Let $x = −3$ . 確認： $x = −3$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

We’ll summarize the steps we took so you can easily refer to them.

参照しやすいよう、行った手順をまとめる。

Solve an equation with variables and constants on both sides.両辺に変数と定数がある方程式を解く。

Choose one side to be the variable side and then the other will be the constant side.
一方を変数の辺に決めると、もう一方が定数の辺になる。
Collect the variable terms to the variable side, using the Addition or Subtraction Property of Equality.
等式の加法または減法の性質を使い、変数を含む項を変数の辺に集める。
Collect the constants to the other side, using the Addition or Subtraction Property of Equality.
等式の加法または減法の性質を使い、定数をもう一方の辺に集める。
Make the coefficient of the variable $1,$ using the Multiplication or Division Property of Equality.
等式の乗法または除法の性質を使い、変数の係数を $1$ にする。
Check the solution by substituting it into the original equation.
元の方程式に解を代入して確かめる。

It is a good idea to make the variable side the one in which the variable has the larger coefficient. This usually makes the arithmetic easier.

英語のヒント

変数の係数が大きいほうを変数の辺にするとよい。通常、そのほうが計算が簡単になる。

Example 8.26例題 8.26

Solve:

6 n - 2 = −3 n + 7 .

次の方程式を解く：

6 n - 2 = −3 n + 7

Solution解答

We have

6 n

on the left and

−3 n

on the right. Since

6 > - 3,

make the left side the “variable” side.

左辺には

6 n

、右辺には

−3 n

がある。

6 > - 3

なので、左辺を「変数」の辺にする。


We don't want variables on the right side—add $3 n$ to both sides to leave only constants on the right. 右辺に変数を残したくないので、両辺に $3 n$ を加え、右辺には定数だけを残す。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
We don't want any constants on the left side, so add 2 to both sides. 左辺に定数を残したくないので、両辺に2を加える。
Simplify. 簡単にする。
The variable term is on the left and the constant term is on the right. To get the coefficient of $n$ to be one, divide both sides by 9. 変数の項は左辺、定数項は右辺にある。 $n$ の係数を1にするため、両辺を9で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Substitute 1 for $n$ . 確認： $n$ に1を代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.27例題 8.27

Solve:

2 a - 7 = 5 a + 8 .

次の方程式を解く：

2 a - 7 = 5 a + 8

Solution解答

This equation has

2 a

on the left and

5 a

on the right. Since

5 > 2,

make the right side the variable side and the left side the constant side.

この方程式には、左辺に

2 a

、右辺に

5 a

がある。

5 > 2

なので、右辺を変数の辺、左辺を定数の辺にする。


Subtract $2 a$ from both sides to remove the variable term from the left. 両辺から $2 a$ を引き、左辺から変数の項を取り除く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 8 from both sides to remove the constant from the right. 両辺から8を引き、右辺から定数を取り除く。
Simplify. 簡単にする。
Divide both sides by 3 to make 1 the coefficient of $a$ . 両辺を3 to make 1 the coefficient of $a$ で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $a = −5$ . 確認： $a = −5$ とおく。

Note that we could have made the left side the variable side instead of the right side, but it would have led to a negative coefficient on the variable term. While we could work with the negative, there is less chance of error when working with positives. The strategy outlined above helps avoid the negatives!

英語のヒント

右辺ではなく左辺を変数の辺にすることもできたが、その場合、変数の項の係数が負になる。負の数でも計算できるが、正の数を扱うほうが間違いの可能性は低い。上で示した手順なら、負の係数を避けやすい。

Try It (2)確認問題（2題）

To solve an equation with fractions, we still follow the same steps to get the solution.

分数を含む方程式でも、同じ手順で解を求める。

Example 8.28例題 8.28

Solve:

\frac{3}{2} x + 5 = \frac{1}{2} x - 3 .

次の方程式を解く：

\frac{3}{2} x + 5 = \frac{1}{2} x - 3

Solution解答

Since

\frac{3}{2} > \frac{1}{2},

make the left side the variable side and the right side the constant side.

\frac{3}{2} > \frac{1}{2}

なので、左辺を変数の辺、右辺を定数の辺にする。


Subtract $\frac{1}{2} x$ from both sides. 両辺から $\frac{1}{2} x$ を引く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 5 from both sides. 両辺から5を引く。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = −8$ . 確認： $x = −8$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

We follow the same steps when the equation has decimals, too.

小数を含む方程式でも、同じ手順を使う。

Example 8.29例題 8.29

Solve:

3.4 x + 4 = 1.6 x - 5 .

次の方程式を解く：

3.4 x + 4 = 1.6 x - 5

Solution解答

Since

3.4 > 1.6,

make the left side the variable side and the right side the constant side.

3.4 > 1.6

なので、左辺を変数の辺、右辺を定数の辺にする。


Subtract $1.6 x$ from both sides. 両辺から $1.6 x$ を引く。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract 4 from both sides. 両辺から4を引く。
Simplify. 簡単にする。
Use the Division Property of Equality. 等式の除法の性質を使う。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = −5$ . 確認： $x = −5$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations Using a General Strategy一般的な手順で方程式を解く

Each of the first few sections of this chapter has dealt with solving one specific form of a linear equation. It’s time now to lay out an overall strategy that can be used to solve any linear equation. We call this the general strategy. Some equations won’t require all the steps to solve, but many will. Simplifying each side of the equation as much as possible first makes the rest of the steps easier.

英語のヒント

この章の最初の数節では、それぞれ特定の形の一次方程式の解法を扱った。ここで、どの一次方程式にも使える全体的な手順をまとめよう。これを一般的な解法手順と呼ぶ。すべての手順を必要としない方程式もあるが、多くの方程式ではすべてが必要になる。最初に各辺をできるだけ簡単にすれば、その後の手順が楽になる。

Use a general strategy for solving linear equations.一次方程式を解く一般的な手順を使う。

Simplify each side of the equation as much as possible. Use the Distributive Property to remove any parentheses. Combine like terms.
各辺をできるだけ簡単にする。分配法則で括弧を外し、同類項をまとめる。
Collect all the variable terms to one side of the equation. Use the Addition or Subtraction Property of Equality.
変数を含む項をすべて一方の辺に集める。等式の加法または減法の性質を使う。
Collect all the constant terms to the other side of the equation. Use the Addition or Subtraction Property of Equality.
定数項をすべてもう一方の辺に集める。等式の加法または減法の性質を使う。
Make the coefficient of the variable term to equal to $1 .$ Use the Multiplication or Division Property of Equality. State the solution to the equation.
変数の項の係数を $1$ にする。等式の乗法または除法の性質を使う。方程式の解を述べる。
Check the solution. Substitute the solution into the original equation to make sure the result is a true statement.
解を確かめる。元の方程式に代入し、等式が成り立つことを確認する。

Example 8.30例題 8.30

Solve:

3 (x + 2) = 18 .

次の方程式を解く：

3 (x + 2) = 18

Solution解答


Simplify each side of the equation as much as possible. Use the Distributive Property. 各辺をできるだけ簡単にする。分配法則を使う。
Collect all variable terms on one side of the equation—all $x$ s are already on the left side. 変数を含む項を一方の辺に集める。 $x$ はすでにすべて左辺にある。
Collect constant terms on the other side of the equation. Subtract 6 from each side 定数項をもう一方の辺に集める。両辺から6を引く。
Simplify. 簡単にする。
Make the coefficient of the variable term equal to 1. Divide each side by 3. 変数の項の係数を1にする。両辺を3で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = 4$ . 確認： $x = 4$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.31例題 8.31

Solve:

- (x + 5) = 7 .

次の方程式を解く：

- (x + 5) = 7

Solution解答


Simplify each side of the equation as much as possible by distributing. The only $x$ term is on the left side, so all variable terms are on the left side of the equation. 分配法則を使い、各辺をできるだけ簡単にする。 $x$ の項は左辺だけにあるので、変数の項はすべて左辺にある。
Add 5 to both sides to get all constant terms on the right side of the equation. 両辺に5を加え、定数項をすべて右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Make the coefficient of the variable term equal to 1 by multiplying both sides by -1. 両辺に−1を掛け、変数の項の係数を1にする。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = −12$ . 確認： $x = −12$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.32例題 8.32

Solve:

4 (x - 2) + 5 = −3 .

次の方程式を解く：

4 (x - 2) + 5 = −3

Solution解答


Simplify each side of the equation as much as possible. Distribute. 各辺をできるだけ簡単にする。分配法則を使う。
Combine like terms 同類項をまとめる。
The only $x$ is on the left side, so all variable terms are on one side of the equation. $x$ は左辺にしかないので、変数の項はすべて一方の辺にある。
Add 3 to both sides to get all constant terms on the other side of the equation. 両辺に3を加え、定数項をすべてもう一方の辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Make the coefficient of the variable term equal to 1 by dividing both sides by 4. 両辺を4で割り、変数の項の係数を1にする。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = 0$ . 確認： $x = 0$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.33例題 8.33

Solve:

8 - 2 (3 y + 5) = 0 .

次の方程式を解く：

8 - 2 (3 y + 5) = 0

Solution解答

Be careful when distributing the negative.

負号を分配するときは注意する。


Simplify—use the Distributive Property. 分配法則を使って簡単にする。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Add 2 to both sides to collect constants on the right. 両辺に2を加え、定数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide both sides by −6. 両辺を−6で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $y = - \frac{1}{3}$ . 確認： $y = - \frac{1}{3}$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.34例題 8.34

Solve:

3 (x - 2) - 5 = 4 (2 x + 1) + 5 .

次の方程式を解く：

3 (x - 2) - 5 = 4 (2 x + 1) + 5

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Subtract $3 x$ to get all the variables on the right since $8 > 3$ . $8 > 3$ なので、 $3 x$ を引いて変数をすべて右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Subtract 9 to get the constants on the left. 9を引いて定数を左辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 5. 5で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Substitute: $−4 = x$ . 確認： $−4 = x$ を代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.35例題 8.35

Solve:

\frac{1}{2} (6 x - 2) = 5 - x .

次の方程式を解く：

\frac{1}{2} (6 x - 2) = 5 - x

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Add $x$ to get all the variables on the left. $x$ を加え、変数をすべて左辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Add 1 to get constants on the right. 1を加え、定数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide by 4. 4で割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = \frac{3}{2}$ . 確認： $x = \frac{3}{2}$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

In many applications, we will have to solve equations with decimals. The same general strategy will work for these equations.

多くの応用問題では、小数を含む方程式を解く必要がある。同じ一般的な手順をこれらの方程式にも使える。

Example 8.36例題 8.36

Solve:

0.24 (100 x + 5) = 0.4 (30 x + 15) .

次の方程式を解く：

0.24 (100 x + 5) = 0.4 (30 x + 15)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Subtract $12 x$ to get all the $x$ s to the left. $12 x$ を引き、 $x$ をすべて左辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Subtract 1.2 to get the constants to the right. 1.2を引き、定数を右辺に集める。
Simplify. 簡単にする。
Divide. 割る。
Simplify. 簡単にする。
Check: Let $x = 0.4$ . 確認： $x = 0.4$ とおく。