第8章一次方程式を解く

Key Concepts重要な概念

Determine whether a number is a solution to an equation.
ある数が方程式の解かどうかを判定する。
1. Substitute the number for the variable in the equation.
  the variable in the equationにthe numberを代入する。
2. Simplify the expressions on both sides of the equation.
  方程式の両辺の式を簡単にする。
3. Determine whether the resulting equation is true.
  得られた等式が成り立つかを判定する。
If it is true, the number is a solution.
If it is not true, the number is not a solution.
等式が成り立つなら、その数は解である。成り立たないなら、その数は解ではない。
Subtraction and Addition Properties of Equality
等式の減法と加法の性質
- Subtraction Property of Equality
  For all real numbers a, b, and c,
  if a = b then $a - c = b - c$ .
  等式の減法の性質：任意の実数a、b、cについて、a＝bならば $a - c = b - c$ である。
- Addition Property of Equality
  For all real numbers a, b, and c,
  if a = b then $a + c = b + c$ .
  等式の加法の性質：任意の実数a、b、cについて、a＝bならば $a + c = b + c$ である。
Translate a word sentence to an algebraic equation.
言葉で書かれた文を方程式に表す。
1. Locate the “equals” word(s). Translate to an equal sign.
  「等しい」を表す言葉を見つけ、等号に置き換える。
2. Translate the words to the left of the “equals” word(s) into an algebraic expression.
  「等しい」を表す言葉の左側を、文字式に表す。
3. Translate the words to the right of the “equals” word(s) into an algebraic expression.
  「等しい」を表す言葉の右側を、文字式に表す。
Problem-solving strategy
英語のヒント
問題解決の手順
1. Read the problem. Make sure you understand all the words and ideas.
  問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
2. Identify what you are looking for.
  何を求めるのかを明らかにする。
3. Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
  求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
4. Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
  方程式に表す。重要な情報をすべて含む1文に言い直すと役立つことがある。その後、その文を方程式に表す。
5. Solve the equation using good algebra techniques.
  適切な代数の手順を使って方程式を解く。
6. Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
  答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
7. Answer the question with a complete sentence.
  完全な文で問いに答える。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–4練習問題 1–4

Solve Equations Using the Subtraction and Addition Properties of Equality

等式の減法と加法の性質を使って方程式を解く

In the following exercises, determine whether the given value is a solution to the equation.

次の問題では、与えられた値が方程式の解かどうかを判定せよ。

Exercise 1問題 1

y = \frac{1}{3}

a solution of

4 y + 2 = 10 y ?

y = \frac{1}{3}

は

4 y + 2 = 10 y

の解か。

Solution解き方

yes

はい

Exercise 2問題 2

x = \frac{3}{4}

a solution of

5 x + 3 = 9 x ?

x = \frac{3}{4}

は

5 x + 3 = 9 x

の解か。

Exercise 3問題 3

u = − \frac{1}{2}

a solution of

8 u - 1 = 6 u ?

u = − \frac{1}{2}

は

8 u - 1 = 6 u

の解か。

Solution解き方

いいえ

Exercise 4問題 4

v = − \frac{1}{3}

a solution of

9 v - 2 = 3 v ?

v = − \frac{1}{3}

は

9 v - 2 = 3 v

の解か。

Exercises 5–21練習問題 5–21

In the following exercises, solve each equation.

次の問題では、それぞれの方程式を解け。

Exercise 5問題 5

x + 7 = 12

Solution解き方

x = 5

Exercise 6問題 6

y + 5 = −6

Exercise 7問題 7

b + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Solution解き方

b = \frac{1}{2}

Exercise 8問題 8

a + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}

Exercise 9問題 9

p + 2.4 = −9.3

Solution解き方

p = −11.7

Exercise 10問題 10

m + 7.9 = 11.6

Exercise 11問題 11

a - 3 = 7

Solution解き方

a = 10

Exercise 12問題 12

m - 8 = −20

Exercise 13問題 13

x - \frac{1}{3} = 2

Solution解き方

x = \frac{7}{3}

Exercise 14問題 14

x - \frac{1}{5} = 4

Exercise 15問題 15

y - 3.8 = 10

Solution解き方

y = 13.8

Exercise 16問題 16

y - 7.2 = 5

Exercise 17問題 17

x - 15 = −42

Solution解き方

x = −27

Exercise 18問題 18

z + 5.2 = −8.5

Exercise 19問題 19

q + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}

Solution解き方

q = - \frac{1}{4}

Exercise 20問題 20

p - \frac{2}{5} = \frac{2}{3}

Exercise 21問題 21

y - \frac{3}{4} = \frac{3}{5}

Solution解き方

y = \frac{27}{20}

Exercises 22–41練習問題 22–41

Solve Equations that Need to be Simplified

簡単にする操作が必要な方程式を解く

In the following exercises, solve each equation.

次の問題では、それぞれの方程式を解け。

Exercise 22問題 22

c + 3 - 10 = 18

Exercise 23問題 23

m + 6 - 8 = 15

Solution解き方

m = 17

Exercise 24問題 24

9 x + 5 - 8 x + 14 = 20

Exercise 25問題 25

6 x + 8 - 5 x + 16 = 32

Solution解き方

x = 8

Exercise 26問題 26

−6 x - 11 + 7 x - 5 = −16

Exercise 27問題 27

−8 n - 17 + 9 n - 4 = −41

Solution解き方

n = −20

Exercise 28問題 28

3 (y - 5) - 2 y = −7

Exercise 29問題 29

4 (y - 2) - 3 y = −6

Solution解き方

y = 2

Exercise 30問題 30

8 (u + 1.5) - 7 u = 4.9

Exercise 31問題 31

5 (w + 2.2) - 4 w = 9.3

Solution解き方

w = −1.7

Exercise 32問題 32

−5 (y - 2) + 6 y = −7 + 4

Exercise 33問題 33

−8 (x - 1) + 9 x = −3 + 9

Solution解き方

x = −2

Exercise 34問題 34

3 (5 n - 1) - 14 n + 9 = 1 - 2

Exercise 35問題 35

2 (8 m + 3) - 15 m - 4 = 3 - 5

Solution解き方

m = −4

Exercise 36問題 36

- (j + 2) + 2 j - 1 = 5

Exercise 37問題 37

- (k + 7) + 2 k + 8 = 7

Solution解き方

k = 6

Exercise 38問題 38

6 a - 5 (a - 2) + 9 = −11

Exercise 39問題 39

8 c - 7 (c - 3) + 4 = −16

Solution解き方

c = −41

Exercise 40問題 40

8 (4 x + 5) - 5 (6 x) - x = 53

Exercise 41問題 41

6 (9 y - 1) - 10 (5 y) - 3 y = 22

Solution解き方

y = 28

Exercises 42–53練習問題 42–53

Translate to an Equation and Solve

文章を方程式に表して解く

In the following exercises, translate to an equation and then solve.

次の問題では、方程式に表してから解け。

Exercise 42問題 42

Five more than

x

is equal to

21 .

x

より5大きい数は

21

に等しい。

Exercise 43問題 43

The sum of

x

and

−5

33 .

x

と

−5

の和は

33

である。

Solution解き方

x + (−5) = 33; x = 38

Exercise 44問題 44

Ten less than

m

−14 .

m

より10小さい数は

−14

である。

Exercise 45問題 45

Three less than

y

−19 .

y

より3小さい数は

−19

である。

Solution解き方

y − 3 = −19; y = −16

Exercise 46問題 46

The sum of

y

and

−3

40 .

y

と

−3

の和は

40

である。

Exercise 47問題 47

Eight more than

p

is equal to

52 .

p

より8大きい数は

52

に等しい。

Solution解き方

p + 8 = 52; p = 44

Exercise 48問題 48

The difference of

9 x

and

8 x

17 .

9 x

と

8 x

の差は

17

である。

Exercise 49問題 49

The difference of

5 c

and

4 c

60 .

5 c

と

4 c

の差は

60

である。

Solution解き方

5c − 4c = 60; c = 60

Exercise 50問題 50

The difference of

n

and

\frac{1}{6}

\frac{1}{2} .

n

と

\frac{1}{6}

の差は

\frac{1}{2}

である。

Exercise 51問題 51

The difference of

f

and

\frac{1}{3}

\frac{1}{12} .

f

と

\frac{1}{3}

の差は

\frac{1}{12}

である。

Solution解き方

f - \frac{1}{3} = \frac{1}{12}; f = \frac{5}{12}

Exercise 52問題 52

The sum of

−4 n

and

5 n

−32 .

−4 n

と

5 n

の和は

−32

である。

Exercise 53問題 53

The sum of

−9 m

and

10 m

−25 .

−9 m

と

10 m

の和は

−25

である。

Solution解き方

−9m + 10m = −25; m = −25

Exercises 54–63練習問題 54–63

Translate and Solve Applications

応用問題を方程式に表して解く

In the following exercises, translate into an equation and solve.

次の問題では、方程式に表して解け。

Exercise 54問題 54

Pilar drove from home to school and then to her aunt’s house, a total of

18

miles. The distance from Pilar’s house to school is

7

miles. What is the distance from school to her aunt’s house?

英語のヒント

ピラールは家から学校へ、その後おばの家へ、合計

18

マイル運転した。家から学校までは

7

マイルである。学校からおばの家までの距離はいくらか。

Exercise 55問題 55

Jeff read a total of

54

pages in his English and Psychology textbooks. He read

41

pages in his English textbook. How many pages did he read in his Psychology textbook?

ジェフは英語と心理学の教科書を合わせて

54

ページ読んだ。英語の教科書は

41

ページ読んだ。心理学の教科書は何ページ読んだか。

Solution解き方

Let p equal the number of pages read in the Psychology book. 41 + p = 54. Jeff read 13 pages in his Psychology book.

pを心理学の教科書を読んだページ数とする。41＋p＝54。ジェフは心理学の教科書を13ページ読んだ。

Exercise 56問題 56

Pablo’s father is

3

years older than his mother. Pablo’s mother is

42

years old. How old is his father?

パブロの父は母より

3

歳年上である。母は

42

歳である。父は何歳か。

Exercise 57問題 57

Eva’s daughter is

5

years younger than her son. Eva’s son is

12

years old. How old is her daughter?

エバの娘は息子より

5

歳年下である。息子は

12

歳である。娘は何歳か。

Solution解き方

Let d equal the daughter’s age. d = 12 − 5. Eva’s daughter’s age is 7 years old.

dを娘の年齢とする。d＝12−5。エバの娘は7歳である。

Exercise 58問題 58

Allie weighs

8

pounds less than her twin sister Lorrie. Allie weighs

124

pounds. How much does Lorrie weigh?

アリーの体重は双子の姉妹ローリーより

8

ポンド軽い。アリーは

124

ポンドである。ローリーの体重はいくらか。

Exercise 59問題 59

For a family birthday dinner, Celeste bought a turkey that weighed

5

pounds less than the one she bought for Thanksgiving. The birthday dinner turkey weighed

16

pounds. How much did the Thanksgiving turkey weigh?

セレステは家族の誕生日の夕食用に、感謝祭のときより

5

ポンド軽い七面鳥を買った。誕生日用は

16

ポンドだった。感謝祭の七面鳥の重さはいくらだったか。

Solution解き方

21 pounds

21ポンド

Exercise 60問題 60

The nurse reported that Tricia’s daughter had gained

4.2

pounds since her last checkup and now weighs

31.6

pounds. How much did Tricia’s daughter weigh at her last checkup?

英語のヒント

看護師によると、トリシアの娘は前回の健診から

4.2

ポンド増え、現在

31.6

ポンドである。前回の健診時の体重はいくらだったか。

Exercise 61問題 61

Connor’s temperature was

0.7

degrees higher this morning than it had been last night. His temperature this morning was

101.2

degrees. What was his temperature last night?

コナーの今朝の体温は昨夜より

0.7

度高かった。今朝は

101.2

度だった。昨夜の体温はいくらか。

Solution解き方

100.5 degrees

100.5度

Exercise 62問題 62

Melissa’s math book cost

$22.85

less than her art book cost. Her math book cost

$93.75 .

How much did her art book cost?

メリッサの数学の本は美術の本より

$22.85

安かった。数学の本は

$93.75

だった。美術の本はいくらだったか。

Exercise 63問題 63

Ron’s paycheck this week was

$17.43

less than his paycheck last week. His paycheck this week was

$103.76 .

How much was Ron’s paycheck last week?

英語のヒント

ロンの今週の給与は先週より

$17.43

少なかった。今週は

$103.76

だった。先週の給与はいくらだったか。

Solution解き方

$121.19