第8章一次方程式を解く

Solve Equations That Need to Be Simplified簡単にする操作が必要な方程式を解く

In the examples up to this point, we have been able to isolate the variable with just one operation. Many of the equations we encounter in algebra will take more steps to solve. Usually, we will need to simplify one or both sides of an equation before using the Subtraction or Addition Properties of Equality. You should always simplify as much as possible before trying to isolate the variable.

英語のヒント

ここまでの例では、1回の操作で変数だけを残すことができた。代数で出会う方程式の多くは、解くためにもっと多くの手順を要する。通常、等式の減法や加法の性質を使う前に、片方または両方の辺を簡単にする必要がある。変数だけを残そうとする前に、必ずできるだけ簡単にしよう。

Example 8.6例題 8.6

Solve:

3 x - 7 - 2 x - 4 = 1 .

次の方程式を解く：

3 x - 7 - 2 x - 4 = 1

Solution解答

The left side of the equation has an expression that we should simplify before trying to isolate the variable.

方程式の左辺には、変数だけを残す前に簡単にすべき式がある。


Rearrange the terms, using the Commutative Property of Addition. 加法の交換法則を使って項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Add 11 to both sides to isolate $x$ . 両辺に11を加え、 $x$ だけを残す。
Simplify. 簡単にする。
Check. Substitute $x = 12$ into the original equation. 確認する。元の方程式に $x = 12$ を代入する。

The solution checks.

解が正しいことを確認できた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.7例題 8.7

Solve:

3 (n - 4) - 2 n = −3 .

次の方程式を解く：

3 (n - 4) - 2 n = −3

Solution解答

The left side of the equation has an expression that we should simplify.

方程式の左辺には簡単にすべき式がある。


Distribute on the left. 左辺で分配法則を使う。
Use the Commutative Property to rearrange terms. 交換法則を使って項を並べ替える。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Isolate n using the Addition Property of Equality. 等式の加法の性質を使い、nだけを残す。
Simplify. 簡単にする。
Check. Substitute $n = 9$ into the original equation. 確認する。元の方程式に $n = 9$ を代入する。 The solution checks. 解が正しいことを確認できた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.8例題 8.8

Solve:

2 (3 k - 1) - 5 k = −2 - 7 .

次の方程式を解く：

2 (3 k - 1) - 5 k = −2 - 7

Solution解答

Both sides of the equation have expressions that we should simplify before we isolate the variable.

方程式の両辺には、変数だけを残す前に簡単にすべき式がある。


Distribute on the left, subtract on the right. 左辺で分配法則を使い、右辺では引き算する。
Use the Commutative Property of Addition. 加法の交換法則を使う。
Combine like terms. 同類項をまとめる。
Undo subtraction by using the Addition Property of Equality. 等式の加法の性質を使い、減法を元に戻す。
Simplify. 簡単にする。
Check. Let $k = −7 .$ 確認する。 $k = −7$ とおく。 The solution checks. 解が正しいことを確認できた。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate an Equation and Solve文章を方程式に表して解く

In previous chapters, we translated word sentences into equations. The first step is to look for the word (or words) that translate(s) to the equal sign. Table 8.1 reminds us of some of the words that translate to the equal sign.

英語のヒント

前の章では、言葉で書かれた文を方程式に表した。最初の手順は、等号に対応する言葉を探すことである。表8.1に、そのような言葉をいくつか再掲する。

Table 8.1表 8.1
Equals (=) 等しい（＝）
is 〜である	is equal to 〜に等しい	is the same as 〜と同じである	the result is 結果は〜である	gives 〜になる	was 〜だった	will be 〜になるだろう

Let’s review the steps we used to translate a sentence into an equation.

文を方程式に表すために使った手順を復習しよう。

Now we are ready to try an example.

例に取り組む準備ができた。

Example 8.9例題 8.9

Translate and solve: five more than

x

is equal to

26 .

方程式に表して解け。

x

より5大きい数は

26

に等しい。

Solution解答

Translate. 式に表す。
Subtract 5 from both sides. 両辺から5を引く。
Simplify. 簡単にする。
Check: Is $26$ five more than $21$ ? 確認： $26$ は $21$ より5大きいか。 The solution checks. 解が正しいことを確認できた。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 8.10例題 8.10

Translate and solve: The difference of

5 p

and

4 p

23 .

方程式に表して解け。

5 p

と

4 p

の差は

23

である。

Solution解答

Translate. 式に表す。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
The solution checks. 解が正しいことを確認できた。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate and Solve Applications応用問題を方程式に表して解く

In most of the application problems we solved earlier, we were able to find the quantity we were looking for by simplifying an algebraic expression. Now we will be using equations to solve application problems. We’ll start by restating the problem in just one sentence, assign a variable, and then translate the sentence into an equation to solve. When assigning a variable, choose a letter that reminds you of what you are looking for.

英語のヒント

以前に解いた応用問題の大部分では、文字式を簡単にすることで、求める量を見つけられた。ここからは方程式を使って応用問題を解く。まず問題を1文に言い直し、変数を割り当て、その文を方程式に表して解く。変数を割り当てるときは、何を求めているかを思い出しやすい文字を選ぼう。

Example 8.11例題 8.11

The Robles family has two dogs, Buster and Chandler. Together, they weigh

71

pounds.

ロブレス家にはバスターとチャンドラーという2匹の犬がいる。合わせて

71

ポンドある。

Chandler weighs

28

pounds. How much does Buster weigh?

チャンドラーの体重は

28

ポンドである。バスターの体重はいくらか。

Solution解答

Read the problem carefully. 問題を注意深く読む。
Identify what you are asked to find, and choose a variable to represent it. 英語のヒント何を求めるのかを明らかにし、それを表す変数を選ぶ。	How much does Buster weigh? Let $b =$ Buster's weight バスターの体重はいくらか。 $b =$ バスターの体重とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。	Buster's weight plus Chandler's weight equals 71 pounds. バスターの体重にチャンドラーの体重を足すと71ポンドになる。
We will restate the problem, and then include the given information. 問題を言い直し、与えられた情報を入れる。	Buster's weight plus 28 equals 71. バスターの体重に28を足すと71になる。
Translate the sentence into an equation, using the variable $b$ . 変数 $b$ を使って文を方程式に表す。
Solve the equation using good algebraic techniques. 適切な代数の方法を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense. 答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Is 43 pounds a reasonable weight for a dog? Yes. Does Buster's weight plus Chandler's weight equal 71 pounds? 英語のヒント 43ポンドは犬の体重として妥当か。妥当である。バスターとチャンドラーの体重を足すと71ポンドになるか。
$43 + 28 \overset{?}{=} 71$
$71 = 71 ✓$
Write a complete sentence that answers the question, "How much does Buster weigh?" 「バスターの体重はいくらか」という問いに答える完全な文を書く。	Buster weighs 43 pounds バスターの体重は43ポンドである。

Try It (2)確認問題（2題）

Devise a problem-solving strategy.問題解決の手順を立てる。

Read the problem. Make sure you understand all the words and ideas.
問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
Identify what you are looking for.
何を求めるのかを明らかにする。
Name what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
求める量を明らかにする。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
方程式に表す。重要な情報をすべて含む1文に言い直すと役立つことがある。その後、その文を方程式に表す。
Solve the equation using good algebra techniques.
適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
完全な文で問いに答える。

Example 8.12例題 8.12

Shayla paid

$24,575

for her new car. This was

$875

less than the sticker price. What was the sticker price of the car?

英語のヒント

シェイラは新車に

$24,575

支払った。これは表示価格より

$875

安かった。車の表示価格はいくらだったか。

Solution解答

What are you asked to find? 何を求めるよう問われているか。	"What was the sticker price of the car?" 「車の表示価格はいくらだったか」
Assign a variable. 変数を割り当てる。	Let $s =$ the sticker price of the car. $s =$ 車の表示価格とする。
Write a sentence that gives the information to find it. それを求めるための情報を文で書く。	$24,575 is $875 less than the sticker price $24,575 is $875 less than $s$ 24,575ドルは表示価格より875ドル少ない。24,575ドルは $s$ より875ドル少ない。
Translate into an equation. 方程式で表す。
Solve. 解く。
Check: 確認：
Is $875 less than $25,450 equal to $24,575? 25,450ドルより875ドル少ない金額は24,575ドルに等しいか。
$25,450 - 875 \overset{?}{=} 24,575$
$24,575 = 24,575 ✓$
Write a sentence that answers the question. 問いに答える文を書く。	The sticker price was $25,450. 表示価格は25,450ドルだった。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材