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第8章一次方程式を解く

8.3 Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides8.3　両辺に変数と定数がある方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Solve an equation with constants on both sides
    両辺に定数がある方程式を解く
  • Solve an equation with variables on both sides
    両辺に変数がある方程式を解く
  • Solve an equation with variables and constants on both sides
    両辺に変数と定数がある方程式を解く
  • Solve equations using a general strategy
    一般的な手順で方程式を解く
Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve an Equation with Constants on Both Sides両辺に定数がある方程式を解く

You may have noticed that in all the equations we have solved so far, all the variable terms were on only one side of the equation with the constants on the other side. This does not happen all the time—so now we’ll see how to solve equations where the variable terms and/or constant terms are on both sides of the equation.
英語のヒント
これまで解いた方程式では、変数を含む項はすべて片方の辺にあり、定数はもう片方の辺にあったことに気づいただろうか。いつもそうなるとは限らない。ここからは、変数を含む項や定数項が両辺にある方程式を解く方法を見ていく。
Our strategy will involve choosing one side of the equation to be the variable side, and the other side of the equation to be the constant side. Then, we will use the Subtraction and Addition Properties of Equality, step by step, to get all the variable terms together on one side of the equation and the constant terms together on the other side.
まず、片方を変数を集める辺、もう片方を定数を集める辺に決める。次に、等式の減法と加法の性質を段階的に使い、変数を含む項をすべて一方の辺に、定数項をすべて他方の辺に集める。
By doing this, we will transform the equation that started with variables and constants on both sides into the form ax=b. We already know how to solve equations of this form by using the Division or Multiplication Properties of Equality.
英語のヒント
こうすると、初めは変数と定数が両辺にあった方程式を、ax=bの形に変形できる。この形なら、等式の除法または乗法の性質を使う解法をすでに知っている。
Example 8.20例題 8.20
Solve: 4x+6=−14.
次の方程式を解く：4x+6=−14

Solution解答

In this equation, the variable is only on the left side. It makes sense to call the left side the variable side. Therefore, the right side will be the constant side. We’ll write the labels above the equation to help us remember what goes where.
英語のヒント
この方程式では、変数は左辺にしかない。左辺を変数の辺とするのが自然である。すると右辺は定数の辺になる。どちらに何を集めるかを忘れないよう、方程式の上にラベルを書く。
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Since the left side is the variable side, the 6 is out of place. We must "undo" adding 6 by subtracting 6, and to keep the equality we must subtract 6 from both sides. Use the Subtraction Property of Equality.
英語のヒント
左辺は変数の辺なので、6はそこにあるべきでない。6を引いて、6を加える操作を「元に戻す」。等しい関係を保つため、両辺から6を引く。等式の減法の性質を使う。
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Simplify.
簡単にする。
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Now all the xs are on the left and the constant on the right.
これでxはすべて左辺、定数は右辺にある。
Use the Division Property of Equality.
等式の除法の性質を使う。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Let x=−5.
x=−5とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.21例題 8.21
Solve: 2y−7=15.
次の方程式を解く：2y−7=15
Solution解答

Solution解答

Notice that the variable is only on the left side of the equation, so this will be the variable side and the right side will be the constant side. Since the left side is the variable side, the 7 is out of place. It is subtracted from the 2y, so to ‘undo’ subtraction, add 7 to both sides.
変数は左辺にしかないので、左辺を変数の辺、右辺を定数の辺にする。7は変数の辺にあるべきでない。2yから引かれているので、この減法を「元に戻す」ため、両辺に7を加える。
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Add 7 to both sides.
両辺に7を加える。
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Simplify.
簡単にする。
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The variables are now on one side and the constants on the other.
変数が一方の辺に、定数が他方の辺に集まった。
Divide both sides by 2.
両辺を2で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Substitute: y=11.
y=11を代入する。
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Try It (2)確認問題（2題）

Solve an Equation with Variables on Both Sides両辺に変数がある方程式を解く

What if there are variables on both sides of the equation? We will start like we did above—choosing a variable side and a constant side, and then use the Subtraction and Addition Properties of Equality to collect all variables on one side and all constants on the other side. Remember, what you do to the left side of the equation, you must do to the right side too.
英語のヒント
変数が両辺にある場合はどうだろうか。先ほどと同じように、変数の辺と定数の辺を決める。次に等式の減法と加法の性質を使い、変数をすべて一方に、定数をすべて他方に集める。左辺に行うことは、右辺にも行わなければならないことを忘れないようにしよう。
Example 8.22例題 8.22
Solve: 5x=4x+7.
次の方程式を解く：5x=4x+7

Solution解答

Here the variable, x, is on both sides, but the constants appear only on the right side, so let’s make the right side the “constant” side. Then the left side will be the “variable” side.
ここでは変数xは両辺にあるが、定数は右辺にしかない。そこで右辺を「定数」の辺にし、左辺を「変数」の辺にしよう。
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We don't want any variables on the right, so subtract the 4x.
右辺には変数を残したくないので、4xを引く。
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Simplify.
簡単にする。
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We have all the variables on one side and the constants on the other. We have solved the equation.
変数が一方の辺に、定数が他方の辺に集まった。方程式が解けた。
Check:
確認：
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Substitute 7 for x.
xに7を代入する。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.23例題 8.23
Solve: 5y−8=7y.
次の方程式を解く：5y−8=7y
Solution解答

Solution解答

The only constant, −8, is on the left side of the equation and variable, y, is on both sides. Let’s leave the constant on the left and collect the variables to the right.
唯一の定数−8は左辺にあり、変数yは両辺にある。定数を左辺に残し、変数を右辺に集めよう。
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Subtract 5y from both sides.
両辺から5yを引く。
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Simplify.
簡単にする。
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We have the variables on the right and the constants on the left. Divide both sides by 2.
変数が右辺、定数が左辺にある。両辺を2で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Rewrite with the variable on the left.
変数が左辺になるように書き換える。
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Check: Let y=−4.
確認：y=−4とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 8.24例題 8.24
Solve: 7x=−x+24.
次の方程式を解く：7x=−x+24
Solution解答

Solution解答

The only constant, 24, is on the right, so let the left side be the variable side.
唯一の定数24が右辺にあるので、左辺を変数の辺にする。
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Remove the −x from the right side by adding x to both sides.
両辺にxを加え、右辺から−xを取り除く。
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Simplify.
簡単にする。
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All the variables are on the left and the constants are on the right. Divide both sides by 8.
変数がすべて左辺、定数が右辺にある。両辺を8で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check: Substitute x=3.
確認：x=3を代入する。
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Try It (2)確認問題（2題）