第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

Review Exercises復習問題

Quadratic Functions二次関数

For the following exercises, write the quadratic function in standard form. Then give the vertex and axes intercepts. Finally, graph the function.

次の各問について、二次関数を標準形で書け。そして頂点と両軸の切片を答えよ。最後に、その関数のグラフを描け。

1. $f (x) = x^{2} - 4 x - 5$

2. $f (x) = - 2 x^{2} - 4 x$

For the following exercises, find the equation of the quadratic function using the given information.

次の各問について、与えられた情報を使って二次関数の式を求めよ。

3. The vertex is $(- 2, 3)$ and a point on the graph is $(3, 6) .$

3. 頂点は $(- 2, 3)$ 、グラフ上の点の一つは $(3, 6)$ である。

4. The vertex is $(- 3, 6.5)$ and a point on the graph is $(2, 6) .$

4. 頂点は $(- 3, 6.5)$ 、グラフ上の点の一つは $(2, 6)$ である。

For the following exercises, complete the task.

次の各問に取り組め。

5. A rectangular plot of land is to be enclosed by fencing. One side is along a river and so needs no fence. If the total fencing available is 600 meters, find the dimensions of the plot to have maximum area.

5. 長方形の土地を柵で囲む。一辺は川に沿っているので柵が要らない。使える柵の総延長が600メートルのとき、面積が最大になる土地の寸法を求めよ。

6. An object projected from the ground at a 45 degree angle with initial velocity of 120 feet per second has height, $h,$ in terms of horizontal distance traveled, $x,$ given by $h (x) = \frac{- 32}{{(120)}^{2}} x^{2} + x .$ Find the maximum height the object attains.

6. 地面から45度の角度で初速毎秒120フィートで打ち出した物体の高さ $h$ は、進んだ水平距離 $x$ で表すと $h (x) = \frac{- 32}{{(120)}^{2}} x^{2} + x$ で与えられる。この物体が達する最大の高さを求めよ。

Power Functions and Polynomial Functions累乗関数と多項式関数

For the following exercises, determine if the function is a polynomial function and, if so, give the degree and leading coefficient.

次の各問について、その関数が多項式関数かどうかを判定し、そうなら次数と最高次係数を答えよ。

7. $f (x) = 4 x^{5} - 3 x^{3} + 2 x - 1$

8. $f (x) = 5^{x + 1} - x^{2}$

9. $f (x) = x^{2} (3 - 6 x + x^{2})$

For the following exercises, determine end behavior of the polynomial function.

次の各問について、多項式関数の端のふるまいを決めよ。

10. $f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 5 x^{2} + 7$

11. $f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2$

12. $f (x) = 2 x^{2} (1 + 3 x - x^{2})$

Graphs of Polynomial Functions多項式関数のグラフ

For the following exercises, find all zeros of the polynomial function, noting multiplicities.

次の各問について、多項式関数の零点をすべて求め、重複度を書き留めよ。

13. $f (x) = {(x + 3)}^{2} (2 x - 1) {(x + 1)}^{3}$

14. $f (x) = x^{5} + 4 x^{4} + 4 x^{3}$

15. $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

For the following exercises, based on the given graph, determine the zeros of the function and note multiplicity.

次の各問について、与えられたグラフをもとに、その関数の零点を決め、重複度を書き留めよ。

16.

Graph of an odd-degree polynomial with two turning points.

17.

Graph of an even-degree polynomial with two turning points.

18. Use the Intermediate Value Theorem to show that at least one zero lies between 2 and 3 for the function $f (x) = x^{3} - 5 x + 1$

18. 中間値の定理を使って、関数 $f (x) = x^{3} - 5 x + 1$ について、2と3のあいだに少なくとも一つ零点があることを示せ。

Dividing Polynomials多項式の割り算

For the following exercises, use long division to find the quotient and remainder.

次の各問について、筆算を使って商と余りを求めよ。

19. $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4}{x - 2}$

20. $\frac{3 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x + 8}{x + 1}$

For the following exercises, use synthetic division to find the quotient. If the divisor is a factor, then write the factored form.

次の各問について、組立除法を使って商を求めよ。割る式が因数なら、因数分解した形を書け。

21. $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 1}{x + 3}$

22. $\frac{x^{3} + 4 x + 10}{x - 3}$

23. $\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} - 11 x - 12}{x + 4}$

24. $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} + 2 x + 2}{x + 1}$

Zeros of Polynomial Functions多項式関数の零点

For the following exercises, use the Rational Zero Theorem to help you solve the polynomial equation.

次の各問について、有理根定理を手がかりに多項式の方程式を解け。

25. $2 x^{3} - 3 x^{2} - 18 x - 8 = 0$

26. $3 x^{3} + 11 x^{2} + 8 x - 4 = 0$

27. $2 x^{4} - 17 x^{3} + 46 x^{2} - 43 x + 12 = 0$

28. $4 x^{4} + 8 x^{3} + 19 x^{2} + 32 x + 12 = 0$

For the following exercises, use Descartes’ Rule of Signs to find the possible number of positive and negative solutions.

次の各問について、デカルトの符号法則を使って、正の解と負の解のありうる個数を求めよ。

29. $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 4 = 0$

30. $2 x^{4} - x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Rational Functions有理関数

For the following exercises, find the intercepts and the vertical and horizontal asymptotes, and then use them to sketch a graph of the function.

次の各問について、切片と垂直漸近線・水平漸近線を求め、それを使ってその関数のグラフの概形を描け。

31. $f (x) = \frac{x + 2}{x - 5}$

32. $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}$

33. $f (x) = \frac{3 x^{2} - 27}{x^{2} + x - 2}$

34. $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 9}$

For the following exercises, find the slant asymptote.

次の各問について、斜めの漸近線を求めよ。

35. $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$

36. $f (x) = \frac{2 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} + 1}$

Inverses and Radical Functions逆関数と無理関数

For the following exercises, find the inverse of the function with the domain given.

次の各問について、与えられた定義域でその関数の逆関数を求めよ。

37. $f (x) = {(x - 2)}^{2}, x \geq 2$

38. $f (x) = {(x + 4)}^{2} - 3, x \geq - 4$

39. $f (x) = x^{2} + 6 x - 2, x \geq - 3$

40. $f (x) = 2 x^{3} - 3$

41. $f (x) = \sqrt{4 x + 5} - 3$

42. $f (x) = \frac{x - 3}{2 x + 1}$

Modeling Using Variation比例・反比例によるモデル化

For the following exercises, find the unknown value.

次の各問について、未知の値を求めよ。

43. $y$ varies directly as the square of $x .$ If when $x = 3, y = 36,$ find $y$ if $x = 4.$

43. $y$ は $x$ の2乗に正比例する。 $x = 3, y = 36$ のときこうなるなら、 $x = 4.$ のときの $y$ を求めよ。

44. $y$ varies inversely as the square root of $x$ If when $x = 25, y = 2,$ find $y$ if $x = 4.$

44. $y$ は $x$ の平方根に反比例する。 $x = 25, y = 2$ のときこうなるなら、 $x = 4.$ のときの $y$ を求めよ。

45. $y$ varies jointly as the cube of $x$ and as $z .$ If when $x = 1$ and $z = 2,$ $y = 6,$ find $y$ if $x = 2$ and $z = 3.$

45. $y$ は $x$ の3乗と $z$ に複合的に比例する。 $x = 1$ かつ $z = 2$ のとき $y = 6$ となるなら、 $x = 2$ かつ $z = 3.$ のときの $y$ を求めよ。

46. $y$ varies jointly as $x$ and the square of $z$ and inversely as the cube of $w .$ If when $x = 3,$ $z = 4,$ and $w = 2,$ $y = 48,$ find $y$ if $x = 4,$ $z = 5,$ and $w = 3.$

46. $y$ は $x$ と $z$ の2乗に複合的に比例し、 $w$ の3乗に反比例する。 $x = 3$ 、 $z = 4$ 、 $w = 2$ のとき $y = 48$ となるなら、 $x = 4$ 、 $z = 5$ 、 $w = 3.$ のときの $y$ を求めよ。

For the following exercises, solve the application problem.

次の各問について、応用問題を解け。

47. The weight of an object above the surface of the earth varies inversely with the square of the distance from the center of the earth. If a person weighs 150 pounds when he is on the surface of the earth (3,960 miles from center), find the weight of the person if he is 20 miles above the surface.

47. 地表より上にある物体の重さは、地球の中心からの距離の2乗に反比例する。ある人が地表(中心から3,960マイル)で150ポンドのとき、地表から20マイル上にいるときのその人の重さを求めよ。

48. The volume $V$ of an ideal gas varies directly with the temperature $T$ and inversely with the pressure P. A cylinder contains oxygen at a temperature of 310 degrees K and a pressure of 18 atmospheres in a volume of 120 liters. Find the pressure if the volume is decreased to 100 liters and the temperature is increased to 320 degrees K.

48. 理想気体の体積 $V$ は、温度 $T$ に正比例し、圧力 P に反比例する。ある円筒に、温度310度K、圧力18気圧の酸素が120リットル入っている。体積を100リットルに減らし、温度を320度Kに上げたときの圧力を求めよ。