第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

Solving Inverse Variation Problems反比例の問題を解く

Water temperature in an ocean varies inversely to the water’s depth. The formula $T = \frac{14,000}{d}$ gives us the temperature in degrees Fahrenheit at a depth in feet below Earth’s surface. Consider the Atlantic Ocean, which covers 22% of Earth’s surface. At a certain location, at the depth of 500 feet, the temperature may be 28°F.

海の水温は水深に反比例する。式 $T = \frac{14,000}{d}$ は、地表から測った深さ(フィート)における温度(華氏)を与える。地表の22%を覆う大西洋を考えよう。ある場所では、深さ500フィートで温度が28°Fになりうる。

If we create Table 2, we observe that, as the depth increases, the water temperature decreases.

表2を作れば、深さが増すと水温が下がるのが見てとれる。

$d,$ depth $d$ 深さ	$T = \frac{14,000}{d}$	Interpretation読み解き
500 ft500フィート	$\frac{14,000}{500} = 28$	At a depth of 500 ft, the water temperature is 28° F.深さ500フィートで、水温は28°Fである。
1000 ft1000フィート	$\frac{14,000}{1000} = 14$	At a depth of 1,000 ft, the water temperature is 14° F.深さ1,000フィートで、水温は14°Fである。
2000 ft2000フィート	$\frac{14,000}{2000} = 7$	At a depth of 2,000 ft, the water temperature is 7° F.深さ2,000フィートで、水温は7°Fである。

We notice in the relationship between these variables that, as one quantity increases, the other decreases. The two quantities are said to be inversely proportional and each term varies inversely with the other. Inversely proportional relationships are also called inverse variations.

これらの変数の関係では、一方の量が増えるともう一方が減るのに気づく。この二つの量は反比例するといい、それぞれの項がもう一方に反比例する。反比例の関係は、逆比例ともいう。

For our example, Figure 3 depicts the inverse variation. We say the water temperature varies inversely with the depth of the water because, as the depth increases, the temperature decreases. The formula $y = \frac{k}{x}$ for inverse variation in this case uses $k = 14,000.$

この例では、図3が反比例を描いている。深さが増すと温度が下がるので、水温は水深に反比例するという。この場合、反比例の式 $y = \frac{k}{x}$ は $k = 14,000.$ を使う。

Graph of y=(14000)/x where the horizontal axis is labeled, “Depth, d (ft)”, and the vertical axis is labeled, “Temperature, T (Degrees Fahrenheit)”.

Inverse Variation 反比例

If $x$ and $y$ are related by an equation of the form

$x$ と $y$ が次の形の式で結ばれているとき、

y = \frac{k}{x^{n}}

where $k$ is a nonzero constant, then we say that $y$ varies inversely with the $n th$ power of $x .$ In inversely proportional relationships, or inverse variations, there is a constant multiple $k = x^{n} y .$

ここで $k$ は0でない定数であり、 $y$ は $x$ の $n th$ 乗に反比例するという。反比例の関係、すなわち逆比例には、一定の倍数 $k = x^{n} y$ がある。

Example 2例2

Writing a Formula for an Inversely Proportional Relationship反比例の関係の式を書く

A tourist plans to drive 100 miles. Find a formula for the time the trip will take as a function of the speed the tourist drives.

ある旅行者が100マイル運転する予定である。運転する速さの関数として、この行程にかかる時間の式を求めよ。

Solution 解答

Recall that multiplying speed by time gives distance. If we let $t$ represent the drive time in hours, and $v$ represent the velocity (speed or rate) at which the tourist drives, then $v t = distance .$ Because the distance is fixed at 100 miles, $v t = 100$ so $t = 100/ v .$ Because time is a function of velocity, we can write $t (v) .$

速さに時間を掛ければ距離になるのを思い出そう。運転時間(時間)を $t$ 、旅行者が運転する速度(速さ)を $v$ とすると、 $v t = 道のり$ である。距離は100マイルに固定されているので $v t = 100$ であり、よって $t = 100/ v$ となる。時間は速度の関数なので、 $t (v)$ と書ける。

\begin{matrix} t (v) & = & \frac{100}{v} \\ = & 100 v^{−1} \end{matrix}

We can see that the constant of variation is 100 and, although we can write the relationship using the negative exponent, it is more common to see it written as a fraction. We say that time varies inversely with velocity.

比例定数は100だと分かる。この関係は負の指数を使っても書けるが、分数で書かれるほうがふつうである。時間は速度に反比例するという。

How To 手順

Given a description of an indirect variation problem, solve for an unknown.

反比例の問題の記述が与えられたとき、未知の値を求める。

1. Identify the input, $x,$ and the output, $y .$ 2. Determine the constant of variation. You may need to multiply $y$ by the specified power of $x$ to determine the constant of variation.3. Use the constant of variation to write an equation for the relationship.4. Substitute known values into the equation to find the unknown.

1. 入力 $x$ と出力 $y$ を見分ける。2. 比例定数を決める。比例定数を決めるには、 $y$ に $x$ の指定された乗を掛ける必要があるかもしれない。3. 比例定数を使って、この関係の式を書く。4. 分かっている値をその式に代入して、未知の値を求める。

Example 3例3

Solving an Inverse Variation Problem反比例の問題を解く

A quantity $y$ varies inversely with the cube of $x .$ If $y = 25$ when $x = 2,$ find $y$ when $x$ is 6.

量 $y$ は $x$ の3乗に反比例する。 $x = 2$ のとき $y = 25$ であるとき、 $x$ が6のときの $y$ を求めよ。

Solution 解答

The general formula for inverse variation with a cube is $y = \frac{k}{x^{3}} .$ The constant can be found by multiplying $y$ by the cube of $x .$

3乗との反比例の一般の式は $y = \frac{k}{x^{3}}$ である。定数は $y$ に $x$ の3乗を掛ければ求まる。

\begin{matrix} k & = & x^{3} y \\ = & 2^{3} \cdot 25 \\ = & 200 \end{matrix}

Now we use the constant to write an equation that represents this relationship.

次に、この定数を使ってこの関係を表す式を書く。

\begin{matrix} y & = & \frac{k}{x^{3}}, k = 200 \\ y & = & \frac{200}{x^{3}} \end{matrix}

Substitute $x = 6$ and solve for $y .$

$x = 6$ を代入して $y$ について解く。

\begin{matrix} y & = & \frac{200}{6^{3}} \\ = & \frac{25}{27} \end{matrix}

Analysis 考察

The graph of this equation is a rational function, as shown in Figure 4.

この式のグラフは、図4に示すとおり有理関数である。

Graph of y=25/(x^3) with the labeled points (2, 25) and (6, 25/27).

Try It #2やってみよう2

A quantity $y$ varies inversely with the square of $x .$ If $y = 8$ when $x = 3,$ find $y$ when $x$ is 4.

量 $y$ は $x$ の2乗に反比例する。 $x = 3$ のとき $y = 8$ であるとき、 $x$ が4のときの $y$ を求めよ。