第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

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Give the degree and leading coefficient of the following polynomial function.

次の多項式関数の次数と最高次係数を答えよ。

1. $f (x) = x^{3} (3 - 6 x - 2 x^{2})$

Determine the end behavior of the polynomial function.

この多項式関数の端のふるまいを決めよ。

2. $f (x) = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 4$

3. $f (x) = - 2 x^{2} (4 - 3 x - 5 x^{2})$

Write the quadratic function in standard form. Determine the vertex and axes intercepts and graph the function.

この二次関数を標準形で書け。頂点と両軸の切片を決め、その関数のグラフを描け。

4. $f (x) = x^{2} + 2 x - 8$

Given information about the graph of a quadratic function, find its equation.

二次関数のグラフについての情報が与えられたとき、その式を求めよ。

5. Vertex $(2, 0)$ and point on graph $(4, 12) .$

5. 頂点は $(2, 0)$ 、グラフ上の点は $(4, 12)$ 。

Solve the following application problem.

次の応用問題を解け。

6. A rectangular field is to be enclosed by fencing. In addition to the enclosing fence, another fence is to divide the field into two parts, running parallel to two sides. If 1,200 feet of fencing is available, find the maximum area that can be enclosed.

6. 長方形の畑を柵で囲む。囲む柵に加えて、二つの辺と平行に走るもう一本の柵で、畑を二つに分ける。柵が1,200フィート使えるとき、囲める最大の面積を求めよ。

Find all zeros of the following polynomial functions, noting multiplicities.

次の多項式関数の零点をすべて求め、重複度を書き留めよ。

7. $f (x) = {(x - 3)}^{3} (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}$

8. $f (x) = 2 x^{6} - 12 x^{5} + 18 x^{4}$

Based on the graph, determine the zeros of the function and multiplicities.

グラフをもとに、この関数の零点と重複度を決めよ。

Graph of an odd-degree polynomial with two turning points.

Use long division to find the quotient.

筆算を使って商を求めよ。

10. $\frac{2 x^{3} + 3 x - 4}{x + 2}$

Use synthetic division to find the quotient. If the divisor is a factor, write the factored form.

組立除法を使って商を求めよ。割る式が因数なら、因数分解した形を書け。

11. $\frac{x^{4} + 3 x^{2} - 4}{x - 2}$

12. $\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 12}{x + 3}$

Use the Rational Zero Theorem to help you find the zeros of the polynomial functions.

有理根定理を手がかりに、多項式関数の零点を求めよ。

13. $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 9$

14. $f (x) = 4 x^{4} + 8 x^{3} + 21 x^{2} + 17 x + 4$

15. $f (x) = 4 x^{4} + 16 x^{3} + 13 x^{2} - 15 x - 18$

16. $f (x) = x^{5} + 6 x^{4} + 13 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x + 8$

Given the following information about a polynomial function, find the function.

多項式関数についての次の情報から、その関数を求めよ。

17. It has a double zero at $x = 3$ and zeros at $x = 1$ and $x = - 2$ . Its y-intercept is $(0, 12) .$

17. $x = 3$ に二重零点、 $x = 1$ と $x = - 2$ に零点を持つ。y切片は $(0, 12)$ である。

18. It has a zero of multiplicity 3 at $x = \frac{1}{2}$ and another zero at $x = - 3$ . It contains the point $(1, 8) .$

18. $x = \frac{1}{2}$ に重複度3の零点、 $x = - 3$ にもう一つ零点を持つ。点 $(1, 8)$ を通る。

Use Descartes’ Rule of Signs to determine the possible number of positive and negative solutions.

デカルトの符号法則を使って、正の解と負の解のありうる個数を決めよ。

19. $8 x^{3} - 21 x^{2} + 6 = 0$

For the following rational functions, find the intercepts and horizontal and vertical asymptotes, and sketch a graph.

次の各有理関数について、切片と水平漸近線・垂直漸近線を求め、グラフの概形を描け。

20. $f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 2 x - 3}$

21. $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} - 4}$

Find the slant asymptote of the rational function.

この有理関数の斜めの漸近線を求めよ。

22. $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 3}{x - 1}$

Find the inverse of the function.

この関数の逆関数を求めよ。

23. $f (x) = \sqrt{x - 2} + 4$

24. $f (x) = 3 x^{3} - 4$

25. $f (x) = \frac{2 x + 3}{3 x - 1}$

Find the unknown value.

未知の値を求めよ。

26. $y$ varies inversely as the square of $x$ and when $x = 3,$ $y = 2.$ Find $y$ if $x = 1.$

26. $y$ は $x$ の2乗に反比例し、 $x = 3$ のとき $y = 2.$ となる。 $x = 1.$ のときの $y$ を求めよ。

27. $y$ varies jointly with $x$ and the cube root of $z .$ If when $x = 2$ and $z = 27,$ $y = 12,$ find $y$ if $x = 5$ and $z = 8.$

27. $y$ は $x$ と $z$ の3乗根に複合的に比例する。 $x = 2$ かつ $z = 27$ のとき $y = 12$ となるなら、 $x = 5$ かつ $z = 8.$ のときの $y$ を求めよ。

Solve the following application problem.

次の応用問題を解け。

28. The distance a body falls varies directly as the square of the time it falls. If an object falls 64 feet in 2 seconds, how long will it take to fall 256 feet?

28. 物体が落ちる距離は、落ちる時間の2乗に正比例する。ある物体が2秒で64フィート落ちるとき、256フィート落ちるのにどれだけかかるか。