プリンピキア

第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

5.8 比例・反比例によるモデル化

Solving Problems Involving Joint Variation複合比例を含む問題を解く

Many situations are more complicated than a basic direct variation or inverse variation model. One variable often depends on multiple other variables. When a variable is dependent on the product or quotient of two or more variables, this is called joint variation. For example, the cost of busing students for each school trip varies with the number of students attending and the distance from the school. The variable c, cost, varies jointly with the number of students, n, and the distance, d.

多くの状況は、単純な正比例や反比例のモデルより込み入っている。一つの変数が、複数のほかの変数に依ることはよくある。ある変数が二つ以上の変数の積や商に依るとき、これを複合比例という。たとえば、遠足ごとの生徒をバスで運ぶ費用は、参加する生徒の数と学校からの距離によって変わる。変数 c(費用)は、生徒の数 n と距離 d に複合的に比例する。

Joint Variation 複数の変数の積への比例

Joint variation occurs when a variable varies directly or inversely with multiple variables.

複合比例は、ある変数が複数の変数に正比例または反比例するときに起こる。

For instance, if x varies directly with both y and z, we have x=kyz. If x varies directly with y and inversely with z, we have x=ky z . Notice that we only use one constant in a joint variation equation.

たとえば、x が y と z の両方に正比例するなら x=kyz となる。x が y に正比例し z に反比例するなら x=ky z となる。複合比例の式では定数を一つしか使わないことに注目しよう。

Example 4例4

Solving Problems Involving Joint Variation複合比例を含む問題を解く

A quantity x varies directly with the square of y and inversely with the cube root of z. If x=6 when y=2 and z=8, find x when y=1 and z=27.

量 x は y の2乗に正比例し、z の3乗根に反比例する。y=2 かつ z=8 のとき x=6 であるとき、y=1 かつ z=27. のときの x を求めよ。

Solution 解答

Begin by writing an equation to show the relationship between the variables.

まず、変数どうしの関係を示す式を書く。

x=ky 2 z 3

Substitute x=6, y=2, and z=8 to find the value of the constant k.

x=6、y=2、z=8 を代入して、定数 k の値を求める。

6 = k2 2 8 3 6 = 4k 2 3 = k

Now we can substitute the value of the constant into the equation for the relationship.

次に、この定数の値をこの関係の式に代入できる。

x=3y 2 z 3

To find x when y=1 and z=27, we will substitute values for y and z into our equation.

y=1 かつ z=27 のときの x を求めるために、y と z の値をこの式に代入する。

x = 3(1) 2 27 3 = 1

Try It #3やってみよう3

A quantity x varies directly with the square of y and inversely with z. If x=40 when y=4 and z=2, find x when y=10 and z=25.

量 x は y の2乗に正比例し、z に反比例する。y=4 かつ z=2 のとき x=40 であるとき、y=10 かつ z=25. のときの x を求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with direct and inverse variation.

正比例と反比例についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Direct Variation• Inverse Variation• Direct and Inverse Variation

・正比例・反比例・正比例と反比例

Verbal言葉で答える問題

1. What is true of the appearance of graphs that reflect a direct variation between two variables?

1. 二つの変数の正比例を映すグラフの見た目について、何が言えるか。

2. If two variables vary inversely, what will an equation representing their relationship look like?

2. 二つの変数が反比例するとき、その関係を表す式はどんな形になるか。

3. Is there a limit to the number of variables that can vary jointly? Explain.

3. 複合的に比例しうる変数の数に限りはあるか。説明せよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, write an equation describing the relationship of the given variables.

次の各問について、与えられた変数の関係を述べる式を書け。

4. y varies directly as x and when x=6,y=12.

4. y は x に正比例し、x=6,y=12. のときこうなる。

5. y varies directly as the square of x and when x=4,y=80. 

5. y は x の2乗に正比例し、x=4,y=80 のときこうなる。

6. y varies directly as the square root of x and when x=36,y=24.

6. y は x の平方根に正比例し、x=36,y=24. のときこうなる。

7. y varies directly as the cube of x and when x=36,y=24.

7. y は x の3乗に正比例し、x=36,y=24. のときこうなる。

8. y varies directly as the cube root of x and when x=27,y=15.

8. y は x の3乗根に正比例し、x=27,y=15. のときこうなる。

9. y varies directly as the fourth power of x and when x=1,y=6.

9. y は x の4乗に正比例し、x=1,y=6. のときこうなる。

10. y varies inversely as x and when x=4,y=2.

10. y は x に反比例し、x=4,y=2. のときこうなる。

11. y varies inversely as the square of x and when x=3,y=2.

11. y は x の2乗に反比例し、x=3,y=2. のときこうなる。

12. y varies inversely as the cube of x and when x=2,y=5.

12. y は x の3乗に反比例し、x=2,y=5. のときこうなる。

13. y varies inversely as the fourth power of x and when x=3,y=1.

13. y は x の4乗に反比例し、x=3,y=1. のときこうなる。

14. y varies inversely as the square root of x and when x=25,y=3.

14. y は x の平方根に反比例し、x=25,y=3. のときこうなる。

15. y varies inversely as the cube root of x and when x=64,y=5.

15. y は x の3乗根に反比例し、x=64,y=5. のときこうなる。

16. y varies jointly with x and z and when x=2 and z=3,y=36.

16. y は x と z に複合的に比例し、x=2 かつ z=3,y=36. のときこうなる。

17. y varies jointly as x,z, and w and when x=1,z=2,w=5, then y=100.

17. y は x,z と w に複合的に比例し、x=1,z=2,w=5 のとき y=100. となる。

18. y varies jointly as the square of x and the square of z and when x=3 and z=4, then y=72.

18. y は x の2乗と z の2乗に複合的に比例し、x=3 かつ z=4 のとき y=72. となる。

19. y varies jointly as x and the square root of z and when x=2 and z=25, then y=100.

19. y は x と z の平方根に複合的に比例し、x=2 かつ z=25 のとき y=100. となる。

20. y varies jointly as the square of x the cube of z and the square root of W. When x=1,z=2, and w=36, then y=48.

20. y は x の2乗、z の3乗、W の平方根に複合的に比例する。x=1,z=2 かつ w=36 のとき y=48. となる。

21. y varies jointly as x and z and inversely as w. When x=3,z=5, and w=6, then y=10.

21. y は x と z に複合的に比例し、w に反比例する。x=3,z=5 かつ w=6 のとき y=10. となる。

22. y varies jointly as the square of x and the square root of z and inversely as the cube of w.  When x=3,z=4, and w=3, then y=6.

22. y は x の2乗と z の平方根に複合的に比例し、w の3乗に反比例する。x=3,z=4 かつ w=3 のとき y=6. となる。

23. y varies jointly as x and z and inversely as the square root of w and the square of t. When x=3,z=1,w=25, and t=2, then y=6.

23. y は x と z に複合的に比例し、w の平方根と t の2乗に反比例する。x=3,z=1,w=25 かつ t=2 のとき y=6. となる。

Numeric数値の問題

For the following exercises, use the given information to find the unknown value.

次の各問について、与えられた情報を使って未知の値を求めよ。

24. y varies directly as x. When x=3, then y=12. Find y wneh x=20.

24. y は x に正比例する。x=3 のとき y=12. となる。x=20. のときの y を求めよ。

25. y varies directly as the square of x. When x=2, then y=16. Find y when x=8.

25. y は x の2乗に正比例する。x=2 のとき y=16. となる。x=8. のときの y を求めよ。

26. y varies directly as the cube of x. When x=3, then y=5. Find y when x=4.

26. y は x の3乗に正比例する。x=3 のとき y=5. となる。x=4. のときの y を求めよ。

27. y varies directly as the square root of x. When x=16, then y=4. Find y when x=36.

27. y は x の平方根に正比例する。x=16 のとき y=4. となる。x=36. のときの y を求めよ。

28. y varies directly as the cube root of x. When x=125, then y=15. Find y when x=1,000.

28. y は x の3乗根に正比例する。x=125 のとき y=15. となる。x=1,000. のときの y を求めよ。

29. y varies inversely with x. When x=3, then y=2. Find y when x=1.

29. y は x に反比例する。x=3 のとき y=2. となる。x=1. のときの y を求めよ。

30. y varies inversely with the square of x. When x=4, then y=3. Find y when x=2.

30. y は x の2乗に反比例する。x=4 のとき y=3. となる。x=2. のときの y を求めよ。

31. y varies inversely with the cube of x. When x=3, then y=1. Find y when x=1.

31. y は x の3乗に反比例する。x=3 のとき y=1. となる。x=1. のときの y を求めよ。

32. y varies inversely with the square root of x. When x=64, then y=12. Find y when x=36.

32. y は x の平方根に反比例する。x=64 のとき y=12. となる。x=36. のときの y を求めよ。

33. y varies inversely with the cube root of x. When x=27, then y=5. Find y when x=125.

33. y は x の3乗根に反比例する。x=27 のとき y=5. となる。x=125. のときの y を求めよ。

34. y varies jointly as xandz. When x=4 and z=2, then y=16. Find y when x=3 and z=3.

34. y は xおよびz に複合的に比例する。x=4 かつ z=2 のとき y=16. となる。x=3 かつ z=3. のときの y を求めよ。

35. y varies jointly as x,z,andw. When x=2, z=1, and w=12, then y=72. Find y when x=1, z=2, and w=3.

35. y は x,z,およびw に複合的に比例する。x=2、z=1、w=12 のとき y=72. となる。x=1、z=2、w=3. のときの y を求めよ。

36. y varies jointly as x and the square of z. When x=2 and z=4, then y=144. Find y when x=4 and z=5.

36. y は x と z. の2乗に複合的に比例する。x=2 かつ z=4 のとき y=144. となる。x=4 かつ z=5. のときの y を求めよ。

37. y varies jointly as the square of x and the square root of z. When x=2 and z=9, then y=24. Find y when x=3 and z=25.

37. y は x の2乗と z の平方根に複合的に比例する。x=2 かつ z=9 のとき y=24. となる。x=3 かつ z=25. のときの y を求めよ。

38. y varies jointly as x and z and inversely as w. When x=5, z=2, and w=20, then y=4. Find y when x=3 and z=8, and w=48.

38. y は x と z に複合的に比例し、w に反比例する。x=5、z=2,、w=20 のとき y=4. となる。x=3、z=8,、w=48. のときの y を求めよ。

39. y varies jointly as the square of x and the cube of z and inversely as the square root of w.  When x=2, z=2, and w=64, then y=12. Find y when x=1, z=3, and w=4.

39. y は x の2乗と z の3乗に複合的に比例し、w の平方根に反比例する。x=2、z=2、w=64 のとき y=12. となる。x=1、z=3、w=4. のときの y を求めよ。

40. y varies jointly as the square of x and of z and inversely as the square root of w and of t. When x=2, z=3, w=16, and t=3, then y=1. Find y when x=3, z=2, w=36, and t=5.

40. y は x の2乗と z の2乗に複合的に比例し、w の平方根と t の平方根に反比例する。x=2、z=3、w=16、t=3 のとき y=1. となる。x=3、z=2、w=36、t=5. のときの y を求めよ。

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a calculator to graph the equation implied by the given variation.

次の各問について、電卓を使って、与えられた比例が表す式のグラフを描け。

41. y varies directly with the square of x and when x=2,y=3.

41. y は x の2乗に正比例し、x=2,y=3. のときこうなる。

42. y varies directly as the cube of x and when x=2,y=4.

42. y は x の3乗に正比例し、x=2,y=4. のときこうなる。

43. y varies directly as the square root of x and when x=36,y=2.

43. y は x の平方根に正比例し、x=36,y=2. のときこうなる。

44. y varies inversely with x and when x=6,y=2.

44. y は x に反比例し、x=6,y=2. のときこうなる。

45. y varies inversely as the square of x and when x=1,y=4.

45. y は x の2乗に反比例し、x=1,y=4. のときこうなる。

Extensions発展問題

For the following exercises, use Kepler’s Law, which states that the square of the time, T, required for a planet to orbit the Sun varies directly with the cube of the mean distance, a, that the planet is from the Sun.

次の各問では、ケプラーの法則を使え。この法則は、惑星が太陽を一周するのに要する時間 T の2乗が、その惑星の太陽からの平均距離 a の3乗に正比例する、と述べる。

46. Using Earth’s time of 1 year and mean distance of 93 million miles, find the equation relating T and a.

46. 地球の時間1年と平均距離9300万マイルを使って、T と a を結ぶ式を求めよ。

47. Use the result from the previous exercise to determine the time required for Mars to orbit the Sun if its mean distance is 142 million miles.

47. 前問の結果を使って、火星の平均距離が1億4200万マイルであるとき、火星が太陽を一周するのに要する時間を決めよ。

48. Using Earth’s distance of 150 million kilometers, find the equation relating T and a.

48. 地球の距離1億5000万キロメートルを使って、T と a を結ぶ式を求めよ。

49. Use the result from the previous exercise to determine the time required for Venus to orbit the Sun if its mean distance is 108 million kilometers.

49. 前問の結果を使って、金星の平均距離が1億800万キロメートルであるとき、金星が太陽を一周するのに要する時間を決めよ。

50. Using Earth’s distance of 1 astronomical unit (A.U.), determine the time for Saturn to orbit the Sun if its mean distance is 9.54 A.U.

50. 地球の距離1天文単位(A.U.)を使って、土星の平均距離が9.54 A.U.であるとき、土星が太陽を一周するのに要する時間を決めよ。

Real-World Applications応用問題

For the following exercises, use the given information to answer the questions.

次の各問について、与えられた情報を使って問いに答えよ。

51. The distance s that an object falls varies directly with the square of the time, t, of the fall. If an object falls 16 feet in one second, how long for it to fall 144 feet?

51. 物体が落ちる距離 s は、落下の時間 t の2乗に正比例する。ある物体が1秒で16フィート落ちるとき、144フィート落ちるのにどれだけかかるか。

52. The velocity v of a falling object varies directly to the time, t, of the fall. If after 2 seconds, the velocity of the object is 64 feet per second, what is the velocity after 5 seconds?

52. 落ちる物体の速度 v は、落下の時間 t に正比例する。2秒後の物体の速度が毎秒64フィートのとき、5秒後の速度はいくらか。

53. The rate of vibration of a string under constant tension varies inversely with the length of the string. If a string is 24 inches long and vibrates 128 times per second, what is the length of a string that vibrates 64 times per second?

53. 一定の張力をかけた弦の振動数は、弦の長さに反比例する。長さ24インチの弦が毎秒128回振動するとき、毎秒64回振動する弦の長さはいくらか。

54. The volume of a gas held at constant temperature varies indirectly as the pressure of the gas. If the volume of a gas is 1200 cubic centimeters when the pressure is 200 millimeters of mercury, what is the volume when the pressure is 300 millimeters of mercury?

54. 温度を一定に保った気体の体積は、その気体の圧力に反比例する。圧力が水銀柱200ミリメートルのとき気体の体積が1200立方センチメートルなら、圧力が水銀柱300ミリメートルのときの体積はいくらか。

55. The weight of an object above the surface of Earth varies inversely with the square of the distance from the center of Earth. If a body weighs 50 pounds when it is 3960 miles from Earth’s center, what would it weigh it were 3970 miles from Earth’s center?

55. 地表より上にある物体の重さは、地球の中心からの距離の2乗に反比例する。ある物体が地球の中心から3960マイルのところで50ポンドの重さなら、地球の中心から3970マイルのところでは何ポンドになるか。

56. The intensity of light measured in foot-candles varies inversely with the square of the distance from the light source. Suppose the intensity of a light bulb is 0.08 foot-candles at a distance of 3 meters. Find the intensity level at 8 meters.

56. フートキャンドルで測った光の強さは、光源からの距離の2乗に反比例する。ある電球の強さが3メートルの距離で0.08フートキャンドルだとする。8メートルでの強さを求めよ。

57. The current in a circuit varies inversely with its resistance measured in ohms. When the current in a circuit is 40 amperes, the resistance is 10 ohms. Find the current if the resistance is 12 ohms.

57. 回路の電流は、オームで測ったその抵抗に反比例する。回路の電流が40アンペアのとき、抵抗は10オームである。抵抗が12オームのときの電流を求めよ。

58. The force exerted by the wind on a plane surface varies jointly with the square of the velocity of the wind and with the area of the plane surface. If the area of the surface is 40 square feet surface and the wind velocity is 20 miles per hour, the resulting force is 15 pounds. Find the force on a surface of 65 square feet with a velocity of 30 miles per hour.

58. 風が平らな面に及ぼす力は、風の速度の2乗とその平らな面の面積に複合的に比例する。面の面積が40平方フィート、風の速度が毎時20マイルのとき、生じる力は15ポンドである。面積65平方フィートの面に速度毎時30マイルの風が及ぼす力を求めよ。

59. The horsepower (hp) that a shaft can safely transmit varies jointly with its speed (in revolutions per minute (rpm) and the cube of the diameter. If the shaft of a certain material 3 inches in diameter can transmit 45 hp at 100 rpm, what must the diameter be in order to transmit 60 hp at 150 rpm?

59. 軸が安全に伝えられる馬力(hp)は、その回転数(毎分回転数(rpm))と直径の3乗に複合的に比例する。ある材料でできた直径3インチの軸が100 rpm で45 hp を伝えられるとき、150 rpm で60 hp を伝えるには直径をいくらにしなければならないか。

60. The kinetic energy K of a moving object varies jointly with its mass m and the square of its velocity v. If an object weighing 40 kilograms with a velocity of 15 meters per second has a kinetic energy of 1000 joules, find the kinetic energy if the velocity is increased to 20 meters per second.

60. 動いている物体の運動エネルギー K は、その質量 m と速度 v の2乗に複合的に比例する。質量40キログラム、速度毎秒15メートルの物体の運動エネルギーが1000ジュールのとき、速度を毎秒20メートルに上げたときの運動エネルギーを求めよ。

Key Terms重要語

arrow notation a way to represent symbolically the local and end behavior of a function by using arrows to indicate that an input or output approaches a value

矢印の記法 入力や出力がある値に近づくことを矢印で示して、関数の局所のふるまいと端のふるまいを記号で表す書き方

axis of symmetry a vertical line drawn through the vertex of a parabola, that opens up or down, around which the parabola is symmetric; it is defined by x=−b 2a .

対称軸 上または下に開く放物線の頂点を通る縦の直線。放物線はこれに関して対称である。x=−b 2a で定まる

coefficient a nonzero real number multiplied by a variable raised to an exponent

係数 指数を持つ変数に掛かる0でない実数

constant of variation the non-zero value k that helps define the relationship between variables in direct or inverse variation

比例定数 正比例や反比例で、変数どうしの関係を定めるのに役立つ0でない値 k

continuous function a function whose graph can be drawn without lifting the pen from the paper because there are no breaks in the graph

連続な関数 グラフに切れ目が無いので、紙から筆を離さずにグラフを描ける関数

degree the highest power of the variable that occurs in a polynomial

次数 多項式に現れる変数の最も高い指数

Descartes’ Rule of Signs a rule that determines the maximum possible numbers of positive and negative real zeros based on the number of sign changes of f(x) and f(−x)

デカルトの符号法則 f(x) と f(−x) の符号の変わる回数から、正と負の実の零点のありうる最大の数を決める法則

direct variation the relationship between two variables that are a constant multiple of each other; as one quantity increases, so does the other

正比例 互いに定数倍になっている二つの変数の関係。一方の量が増えると、もう一方も増える

Division Algorithm given a polynomial dividend f(x) and a non-zero polynomial divisor d(x) where the degree of d(x) is less than or equal to the degree of f(x) , there exist unique polynomials q(x) and r(x) such that f(x)=d(x)q(x)+r(x) where q(x) is the quotient and r(x) is the remainder. The remainder is either equal to zero or has degree strictly less than d(x).

除法の定理 割られる多項式 f(x) と、0でない多項式の割る式 d(x) が与えられ、d(x) の次数が f(x) の次数以下であるとき、f(x)=d(x)q(x)+r(x) を満たす多項式 q(x) と r(x) がただ一組存在する。ここで q(x) は商、r(x) は余りである。余りは0に等しいか、d(x) より真に次数が小さい

end behavior the behavior of the graph of a function as the input decreases without bound and increases without bound

端のふるまい 入力が限りなく小さくなるとき、また限りなく大きくなるときの、関数のグラフの特徴

Factor Theorem k is a zero of polynomial function f(x) if and only if (x−k) is a factor of f(x)

因数定理 k が多項式関数 f(x) の零点であるのは、(x−k) が f(x) の因数であるとき、かつそのときに限る

Fundamental Theorem of Algebra a polynomial function with degree greater than 0 has at least one complex zero

代数学の基本定理 次数が0より大きい多項式関数は、少なくとも一つ複素数の零点を持つ

general form of a quadratic function the function that describes a parabola, written in the form f(x)=ax 2 +bx+c, where a,b, and c are real numbers and a≠0.

二次関数の一般形 放物線を述べる関数。f(x)=ax 2 +bx+c の形で書かれ、a,b と c は実数、a≠0. である

global maximum highest turning point on a graph; f(a) where f(a)≥f(x) for all x.

大域の最大値 グラフで最も高い折り返しの点。すべての x について f(a)≥f(x) となる f(a)

global minimum lowest turning point on a graph; f(a) where f(a)≤f(x) for all x.

大域の最小値 グラフで最も低い折り返しの点。すべての x について f(a)≤f(x) となる f(a)

horizontal asymptote a horizontal line y=b where the graph approaches the line as the inputs increase or decrease without bound.

水平漸近線 入力が限りなく大きく、あるいは小さくなるときにグラフが近づく、横の直線 y=b

Intermediate Value Theorem for two numbers a and b in the domain of f, if a<b and f( a )≠f( b ), then the function f takes on every value between f( a ) and f( b ) ; specifically, when a polynomial function changes from a negative value to a positive value, the function must cross the x- axis

中間値の定理 f の定義域の二つの数 a と b について、a<b かつ f( a )≠f( b ) ならば、関数 f は f( a ) と f( b ) のあいだのすべての値をとる。とくに、多項式関数が負の値から正の値に変わるとき、その関数は x- 軸を必ず横切る

inverse variation the relationship between two variables in which the product of the variables is a constant

反比例 変数どうしの積が定数になる、二つの変数の関係

inversely proportional a relationship where one quantity is a constant divided by the other quantity; as one quantity increases, the other decreases

逆比例する 一方の量が定数をもう一方の量で割ったものになっている関係。一方の量が増えると、もう一方は減る

invertible function any function that has an inverse function

可逆な関数 逆関数を持つ関数

joint variation a relationship where a variable varies directly or inversely with multiple variables

複合比例 ある変数が複数の変数に正比例または反比例する関係

leading coefficient the coefficient of the leading term

最高次係数 最高次の項の係数

leading term the term containing the highest power of the variable

最高次の項 変数の最も高い指数を含む項

Linear Factorization Theorem allowing for multiplicities, a polynomial function will have the same number of factors as its degree, and each factor will be in the form (x−c) , where c is a complex number

一次因数分解定理 重複を許せば、多項式関数はその次数と同じ数の因数を持ち、各因数は (x−c) の形になる。ここで c は複素数である

multiplicity the number of times a given factor appears in the factored form of the equation of a polynomial; if a polynomial contains a factor of the form (x−h) p , x=h is a zero of multiplicity p.

重複度 多項式の方程式を因数分解した形で、ある因数が現れる回数。多項式が (x−h) p の形の因数を含むとき、x=h は重複度 p の零点である

polynomial function a function that consists of either zero or the sum of a finite number of non-zero terms, each of which is a product of a number, called the coefficient of the term, and a variable raised to a non-negative integer power.

多項式関数 0であるか、有限個の0でない項の和である関数。各項は、その項の係数と呼ばれる数と、0以上の整数乗した変数の積である

power function a function that can be represented in the form f(x)=kx p where k is a constant, the base is a variable, and the exponent, p , is a constant

累乗関数 f(x)=kx p の形で表せる関数。k は定数、底は変数、指数 p は定数である

rational function a function that can be written as the ratio of two polynomials

有理関数 二つの多項式の比として書ける関数

Rational Zero Theorem the possible rational zeros of a polynomial function have the form p q where p is a factor of the constant term and q is a factor of the leading coefficient.

有理根定理 多項式関数のありうる有理数の零点は p q の形をしている。ここで p は定数項の約数、q は最高次係数の約数である

Remainder Theorem if a polynomial f(x) is divided by x−k , then the remainder is equal to the value f(k)

剰余の定理 多項式 f(x) を x−k で割ると、余りは値 f(k) に等しい

removable discontinuity a single point at which a function is undefined that, if filled in, would make the function continuous; it appears as a hole on the graph of a function

取り除ける不連続 関数が定義されない一点で、そこを埋めれば関数が連続になるもの。関数のグラフでは穴として現れる

roots in a given function, the values of x at which y=0, also called zeros

根 ある関数で、y=0 となる x の値。零点ともいう

smooth curve a graph with no sharp corners

滑らかな曲線 鋭い角の無いグラフ

standard form of a quadratic function the function that describes a parabola, written in the form f(x)=a(x−h) 2 +k, where ( h,k ) is the vertex

二次関数の標準形 放物線を述べる関数。f(x)=a(x−h) 2 +k の形で書かれ、( h,k ) が頂点である

synthetic division a shortcut method that can be used to divide a polynomial by a binomial of the form x−k

組立除法 多項式を x−k の形の二項式で割るのに使える近道の方法

term of a polynomial function any a i x i of a polynomial function in the form f(x)=a n x n +...+a 2 x 2 +a 1 x+a 0

多項式関数の項 f(x)=a n x n +...+a 2 x 2 +a 1 x+a 0 の形の多項式関数における a i x i

turning point the location at which the graph of a function changes direction

折り返しの点 関数のグラフが向きを変える場所

varies directly a relationship where one quantity is a constant multiplied by the other quantity

正比例する 一方の量がもう一方の量の定数倍になっている関係

varies inversely a relationship where one quantity is a constant divided by the other quantity

反比例する 一方の量が定数をもう一方の量で割ったものになっている関係

vertex the point at which a parabola changes direction, corresponding to the minimum or maximum value of the quadratic function

頂点 放物線が向きを変える点。二次関数の最小値または最大値に対応する

vertex form of a quadratic function another name for the standard form of a quadratic function

二次関数の頂点形式 二次関数の標準形の別名

vertical asymptote a vertical line x=a where the graph tends toward positive or negative infinity as the inputs approach a

垂直漸近線 入力が a に近づくときにグラフが正または負の無限大に向かう、縦の直線 x=a

zeros in a given function, the values of x at which y=0, also called roots

零点 ある関数で、y=0 となる x の値。根ともいう