第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

Using Factoring to Find Zeros of Polynomial Functions因数分解を使って多項式関数の零点を求める

Recall that if $f$ is a polynomial function, the values of $x$ for which $f (x) = 0$ are called zeros of $f .$ If the equation of the polynomial function can be factored, we can set each factor equal to zero and solve for the zeros.

$f$ が多項式関数のとき、 $f (x) = 0$ となる $x$ の値を $f$ の零点と呼んだのを思い出そう。多項式関数の方程式が因数分解できるなら、各因数を0とおいて解けば零点が求まる。

We can use this method to find $x -$ intercepts because at the $x -$ intercepts we find the input values when the output value is zero. For general polynomials, this can be a challenging prospect. While quadratics can be solved using the relatively simple quadratic formula, the corresponding formulas for cubic and fourth-degree polynomials are not simple enough to remember, and formulas do not exist for general higher-degree polynomials. Consequently, we will limit ourselves to three cases:

この方法で $x -$ 切片を求められる。 $x -$ 切片では、出力値が0になる入力値を求めているからである。一般の多項式では、これは骨の折れる仕事になりうる。二次方程式は比較的単純な解の公式で解けるが、三次や四次の多項式に対応する公式は覚えられるほど単純ではないし、一般により高次の多項式には公式が存在しない。よって次の三つの場合に限ることにする。

1. The polynomial can be factored using known methods: greatest common factor and trinomial factoring.2. The polynomial is given in factored form.3. Technology is used to determine the intercepts.

1. 既知の方法、すなわち最大公約因数と三項式の因数分解で、その多項式を因数分解できる場合。2. 多項式が因数分解された形で与えられている場合。3. 機器を使って切片を決める場合。

How To 手順

Given a polynomial function $f,$ find the x-intercepts by factoring.

多項式関数 $f$ が与えられたとき、因数分解して x切片を求める。

1. Set $f (x) = 0.$ 2. If the polynomial function is not given in factored form: Factor out any common monomial factors. Factor any factorable binomials or trinomials.3. Set each factor equal to zero and solve to find the $x -$ intercepts.

1. $f (x) = 0.$ とおく。2. 多項式関数が因数分解された形で与えられていないなら、共通の単項式の因数をくくり出す。因数分解できる二項式や三項式を因数分解する。3. 各因数を0とおいて解き、 $x -$ 切片を求める。

Example 2例2

Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring因数分解して多項式関数の x切片を求める

Find the x-intercepts of $f (x) = x^{6} - 3 x^{4} + 2 x^{2} .$

$f (x) = x^{6} - 3 x^{4} + 2 x^{2}$ の x切片を求めよ。

Solution 解答

We can attempt to factor this polynomial to find solutions for $f (x) = 0.$

この多項式を因数分解して、 $f (x) = 0.$ の解を求めてみられる。

\begin{matrix} x^{6} - 3 x^{4} + 2 x^{2} & = & 0 & \begin{matrix} Factor out the greatest \\ common factor . \end{matrix} \\ x^{2} (x^{4} - 3 x^{2} + 2) & = & 0 & Factor the trinomial . \\ x^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} - 2) & = & 0 & Set each factor equal to zero . \end{matrix}

\begin{matrix} (x^{2} - 1) & = & 0 & (x^{2} - 2) & = & 0 \\ x^{2} & = & 0 & or & x^{2} & = & 1 & or & x^{2} & = & 2 \\ x & = & 0 & x & = & ±1 & x & = & \pm \sqrt{2} \end{matrix}

This gives us five x-intercepts: $(0, 0), (1, 0), (−1, 0), (\sqrt{2}, 0),$ and $(- \sqrt{2}, 0) .$ See Figure 3. We can see that this is an even function because it is symmetric about the y-axis.

これで x切片が五つ得られる。 $(0, 0), (1, 0), (−1, 0), (\sqrt{2}, 0)$ と $(- \sqrt{2}, 0)$ である。図3を見よ。y軸に関して対称なので、これは偶関数だと分かる。

Four graphs where the first graph is of an even-degree polynomial, the second graph is of an absolute function, the third graph is an odd-degree polynomial, and the fourth graph is a disjoint function.

Example 3例3

Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function by Factoring因数分解して多項式関数の x切片を求める

Find the x-intercepts of $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - x + 5.$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - x + 5.$ の x切片を求めよ。

Solution 解答

Find solutions for $f (x) = 0$ by factoring.

因数分解して $f (x) = 0$ の解を求める。

\begin{matrix} x^{3} - 5 x^{2} - x + 5 & = & 0 & Factor by grouping . \\ x^{2} (x - 5) - (x - 5) & = & 0 & Factor out the common factor . \\ (x^{2} - 1) (x - 5) & = & 0 & Factor the difference of squares . \\ (x + 1) (x - 1) (x - 5) & = & 0 & Set each factor equal to zero . \end{matrix}

\begin{matrix} x + 1 & = & 0 & or & x - 1 & = & 0 & or & x - 5 & = & 0 \\ x & = & −1 & x & = & 1 & x & = & 5 \end{matrix}

There are three x-intercepts: $(−1, 0), (1, 0),$ and $(5, 0) .$ See Figure 4.

x切片は三つ、 $(−1, 0), (1, 0)$ と $(5, 0)$ である。図4を見よ。

Graph of f(x)=x^6-3x^4+2x^2 with its five intercepts, (-sqrt(2), 0), (-1, 0), (0, 0), (1, 0), and (sqrt(2), 0).

Example 4例4

Finding the y- and x-Intercepts of a Polynomial in Factored Form因数分解された形の多項式の y切片と x切片を求める

Find the y- and x-intercepts of $g (x) = {(x - 2)}^{2} (2 x + 3) .$

$g (x) = {(x - 2)}^{2} (2 x + 3)$ の y切片と x切片を求めよ。

Solution 解答

The y-intercept can be found by evaluating $g (0) .$

y切片は $g (0)$ の値を求めれば得られる。

\begin{matrix} g (0) & = & {(0 - 2)}^{2} (2 (0) + 3) \\ = & 12 \end{matrix}

So the y-intercept is $(0, 12) .$

よって y切片は $(0, 12)$ である。

The x-intercepts can be found by solving $g (x) = 0.$

x切片は $g (x) = 0.$ を解けば得られる。

{(x - 2)}^{2} (2 x + 3) = 0

\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} & = & 0 & (2 x + 3) & = & 0 \\ x - 2 & = & 0 & or & x & = & - \frac{3}{2} \\ x & = & 2 \end{matrix}

So the x-intercepts are $(2, 0)$ and $(- \frac{3}{2}, 0) .$

よって x切片は $(2, 0)$ と $(- \frac{3}{2}, 0)$ である。

Analysis 考察

We can always check that our answers are reasonable by using a graphing calculator to graph the polynomial as shown in Figure 5.

図5のようにグラフ電卓でこの多項式のグラフを描けば、答えが理にかなっているかをいつでも確かめられる。

Graph of f(x)=x^3-5x^2-x+5 with its three intercepts (-1, 0), (1, 0), and (5, 0).

Example 5例5

Finding the x-Intercepts of a Polynomial Function Using a Graphグラフを使って多項式関数の x切片を求める

Find the x-intercepts of $h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6.$

$h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6.$ の x切片を求めよ。

Solution 解答

This polynomial is not in factored form, has no common factors, and does not appear to be factorable using techniques previously discussed. Fortunately, we can use technology to find the intercepts. Keep in mind that some values make graphing difficult by hand. In these cases, we can take advantage of graphing utilities.

この多項式は因数分解された形ではなく、共通の因数も無く、これまでに述べた手法では因数分解できそうにない。幸い、機器を使えば切片を求められる。手で描くのが難しくなる値もあることを覚えておこう。そうした場合はグラフ作成ツールを活かせばよい。

Looking at the graph of this function, as shown in Figure 6, it appears that there are x-intercepts at $x = −3, −2,$ and $1.$

図6に示したこの関数のグラフを見ると、x切片は $x = −3, −2$ と $1.$ にあるように見える。

Graph of g(x)=(x-2)^2(2x+3) with its two x-intercepts (2, 0) and (-3/2, 0) and its y-intercept (0, 12).

We can check whether these are correct by substituting these values for $x$ and verifying that

これらの値を $x$ に代入して、次が成り立つのを確かめれば、正しいかどうか検算できる。

h (- 3) = h (- 2) = h (1) = 0

Since $h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6,$ we have:

$h (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ なので、次が得られる。

\begin{matrix} h (−3) & = & {(−3)}^{3} + 4 {(−3)}^{2} + (−3) - 6 = −27 + 36 - 3 - 6 = 0 \\ h (−2) & = & {(−2)}^{3} + 4 {(−2)}^{2} + (−2) - 6 = −8 + 16 - 2 - 6 = 0 \\ h (1) & = & {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} + (1) - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0 \end{matrix}

Each x-intercept corresponds to a zero of the polynomial function and each zero yields a factor, so we can now write the polynomial in factored form.

どの x切片もこの多項式関数の零点に対応し、どの零点も因数を一つ生むので、これでこの多項式を因数分解された形で書ける。

\begin{matrix} h (x) & = & x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 \\ = & (x + 3) (x + 2) (x - 1) \end{matrix}

Try It #1やってみよう1

Find the y- and x-intercepts of the function $f (x) = x^{4} - 19 x^{2} + 30 x .$

関数 $f (x) = x^{4} - 19 x^{2} + 30 x$ の y切片と x切片を求めよ。