第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

• A polynomial function of degree two is called a quadratic function.• The graph of a quadratic function is a parabola. A parabola is a U-shaped curve that can open either up or down.• The axis of symmetry is the vertical line passing through the vertex. The zeros, or $x\text{-}$ intercepts, are the points at which the parabola crosses the $x\text{-}$ axis. The $y\text{-}$ intercept is the point at which the parabola crosses the $y\text{-}$ axis. See Example 1, Example 7, and Example 8.• Quadratic functions are often written in general form. Standard or vertex form is useful to easily identify the vertex of a parabola. Either form can be written from a graph. See Example 2.• The vertex can be found from an equation representing a quadratic function. See Example 3.• The domain of a quadratic function is all real numbers. The range varies with the function. See Example 4.• A quadratic function’s minimum or maximum value is given by the $y\text{-}$ value of the vertex.• The minimum or maximum value of a quadratic function can be used to determine the range of the function and to solve many kinds of real-world problems, including problems involving area and revenue. See Example 5 and Example 6.• The vertex and the intercepts can be identified and interpreted to solve real-world problems. See Example 9.

・2次の多項式関数を二次関数と呼ぶ。・二次関数のグラフは放物線である。放物線は、上または下に開くU字形の曲線である。・対称軸は頂点を通る縦の直線である。零点すなわち $x\text{-}$ 切片は、放物線が $x\text{-}$ 軸を横切る点である。$y\text{-}$ 切片は、放物線が $y\text{-}$ 軸を横切る点である。例1、例7、例8を見よ。・二次関数はしばしば一般形で書かれる。標準形すなわち頂点形式は、放物線の頂点を簡単に見分けるのに役立つ。どちらの形もグラフから書ける。例2を見よ。・頂点は、二次関数を表す式から求められる。例3を見よ。・二次関数の定義域は実数全体である。値域は関数によって変わる。例4を見よ。・二次関数の最小値または最大値は、頂点の $y\text{-}$ の値で与えられる。・二次関数の最小値または最大値を使えば、その関数の値域を決められ、面積や収入に関わる問題を含む、現実の多くの問題が解ける。例5と例6を見よ。・頂点と切片を見分けて読み解けば、現実の問題が解ける。例9を見よ。

• A power function is a variable base raised to a number power. See Example 1.• The behavior of a graph as the input decreases beyond bound and increases beyond bound is called the end behavior.• The end behavior depends on whether the power is even or odd. See Example 2 and Example 3.• A polynomial function is the sum of terms, each of which consists of a transformed power function with positive whole number power. See Example 4.• The degree of a polynomial function is the highest power of the variable that occurs in a polynomial. The term containing the highest power of the variable is called the leading term. The coefficient of the leading term is called the leading coefficient. See Example 5.• The end behavior of a polynomial function is the same as the end behavior of the power function represented by the leading term of the function. See Example 6 and Example 7.• A polynomial of degree $n$ will have at most $n$ x-intercepts and at most $n-1$ turning points. See Example 8, Example 9, Example 10, Example 11, and Example 12.

・累乗関数は、変数の底をある数の指数で累乗したものである。例1を見よ。・入力が限りなく小さくなるとき、また限りなく大きくなるときのグラフの特徴を、端のふるまいと呼ぶ。・端のふるまいは、指数が偶数か奇数かに依る。例2と例3を見よ。・多項式関数は項の和であり、各項は正の整数乗の累乗関数を変形したものである。例4を見よ。・多項式関数の次数は、多項式に現れる変数の最も高い指数である。変数の最も高い指数を含む項を最高次の項と呼ぶ。最高次の項の係数を最高次係数と呼ぶ。例5を見よ。・多項式関数の端のふるまいは、その関数の最高次の項が表す累乗関数の端のふるまいと同じである。例6と例7を見よ。・$n$ 次の多項式は、x切片がたかだか $n$ 個、折り返しの点がたかだか $n-1$ 個である。例8、例9、例10、例11、例12を見よ。

• Polynomial functions of degree 2 or more are smooth, continuous functions. See Example 1.• To find the zeros of a polynomial function, if it can be factored, factor the function and set each factor equal to zero. See Example 2, Example 3, and Example 4.• Another way to find the $x\text{-}$ intercepts of a polynomial function is to graph the function and identify the points at which the graph crosses the $x\text{-}$ axis. See Example 5.• The multiplicity of a zero determines how the graph behaves at the $x\text{-}$ intercepts. See Example 6.• The graph of a polynomial will cross the horizontal axis at a zero with odd multiplicity.• The graph of a polynomial will touch the horizontal axis at a zero with even multiplicity.• The end behavior of a polynomial function depends on the leading term.• The graph of a polynomial function changes direction at its turning points.• A polynomial function of degree $n$ has at most $n-1$ turning points. See Example 7.• To graph polynomial functions, find the zeros and their multiplicities, determine the end behavior, and ensure that the final graph has at most $n-1$ turning points. See Example 8 and Example 10.• Graphing a polynomial function helps to estimate local and global extremas. See Example 11.• The Intermediate Value Theorem tells us that if $f(a) \text{and} f(b)$ have opposite signs, then there exists at least one value $c$ between $a$ and $b$ for which $f\left(c\right)=0.$ See Example 9.

・2次以上の多項式関数は、滑らかで連続な関数である。例1を見よ。・多項式関数の零点を求めるには、因数分解できるならその関数を因数分解し、各因数を0とおく。例2、例3、例4を見よ。・多項式関数の $x\text{-}$ 切片を求めるもう一つの方法は、その関数のグラフを描いて、グラフが $x\text{-}$ 軸を横切る点を見分けることである。例5を見よ。・零点の重複度が、$x\text{-}$ 切片でのグラフの特徴を決める。例6を見よ。・多項式のグラフは、重複度が奇数の零点で横軸を横切る。・多項式のグラフは、重複度が偶数の零点で横軸に触れる。・多項式関数の端のふるまいは、最高次の項に依る。・多項式関数のグラフは、折り返しの点で向きを変える。・$n$ 次の多項式関数の折り返しの点は、たかだか $n-1$ 個である。例7を見よ。・多項式関数のグラフを描くには、零点とその重複度を求め、端のふるまいを決め、できあがったグラフの折り返しの点がたかだか $n-1$ 個であることを確かめる。例8と例10を見よ。・多項式関数のグラフを描くと、局所の極値と大域の極値を見積もるのに役立つ。例11を見よ。・中間値の定理は、$f(a) \text{および} f(b)$ の符号が逆ならば、$f\left(c\right)=0.$ となる値 $c$ が $a$ と $b$ のあいだに少なくとも一つ存在すると教えている。例9を見よ。

• Polynomial long division can be used to divide a polynomial by any polynomial with equal or lower degree. See Example 1 and Example 2.• The Division Algorithm tells us that a polynomial dividend can be written as the product of the divisor and the quotient added to the remainder.• Synthetic division is a shortcut that can be used to divide a polynomial by a binomial in the form $x-k.$ See Example 3, Example 4, and Example 5.• Polynomial division can be used to solve application problems, including area and volume. See Example 6.

・多項式の割り算の筆算を使えば、多項式を、次数が同じかそれより低いどの多項式でも割れる。例1と例2を見よ。・除法の定理は、割られる多項式が、割る式と商の積に余りを足したものとして書けると教えている。・組立除法は、多項式を $x-k$ の形の二項式で割るのに使える近道である。例3、例4、例5を見よ。・多項式の割り算を使えば、面積や体積を含む応用問題が解ける。例6を見よ。

• To find $f(k),$ determine the remainder of the polynomial $f(x)$ when it is divided by $x-k.$ This is known as the Remainder Theorem. See Example 1.• According to the Factor Theorem, $k$ is a zero of $f(x)$ if and only if $(x-k)$ is a factor of $f(x).$ See Example 2.• According to the Rational Zero Theorem, each rational zero of a polynomial function with integer coefficients will be equal to a factor of the constant term divided by a factor of the leading coefficient. See Example 3 and Example 4.• When the leading coefficient is 1, the possible rational zeros are the factors of the constant term.• Synthetic division can be used to find the zeros of a polynomial function. See Example 5.• According to the Fundamental Theorem, every polynomial function has at least one complex zero. See Example 6.• Every polynomial function with degree greater than 0 has at least one complex zero.• Allowing for multiplicities, a polynomial function will have the same number of factors as its degree. Each factor will be in the form $(x-c),$ where $c$ is a complex number. See Example 7.• The number of positive real zeros of a polynomial function is either the number of sign changes of the function or less than the number of sign changes by an even integer.• The number of negative real zeros of a polynomial function is either the number of sign changes of $f(-x)$ or less than the number of sign changes by an even integer. See Example 8.• Polynomial equations model many real-world scenarios. Solving the equations is easiest done by synthetic division. See Example 9.

・$f(k)$ を求めるには、多項式 $f(x)$ を $x-k$ で割った余りを求めればよい。これを剰余の定理という。例1を見よ。・因数定理によれば、$k$ が $f(x)$ の零点であるのは、$(x-k)$ が $f(x)$ の因数であるとき、かつそのときに限る。例2を見よ。・有理根定理によれば、整数の係数を持つ多項式関数のどの有理数の零点も、定数項の約数を最高次係数の約数で割ったものに等しい。例3と例4を見よ。・最高次係数が1のとき、ありうる有理数の零点は定数項の約数である。・組立除法を使えば、多項式関数の零点が求められる。例5を見よ。・基本定理によれば、どの多項式関数も少なくとも一つ複素数の零点を持つ。例6を見よ。・次数が0より大きい多項式関数は、どれも少なくとも一つ複素数の零点を持つ。・重複を許せば、多項式関数はその次数と同じ数の因数を持つ。各因数は $(x-c)$ の形になり、$c$ は複素数である。例7を見よ。・多項式関数の正の実の零点の数は、その関数の符号の変わる回数に等しいか、それより偶数だけ少ない。・多項式関数の負の実の零点の数は、$f(-x)$ の符号の変わる回数に等しいか、それより偶数だけ少ない。例8を見よ。・多項式の方程式は、現実の多くの筋書きのモデルになる。この方程式は、組立除法で解くのが最も楽である。例9を見よ。

• We can use arrow notation to describe local behavior and end behavior of the toolkit functions $f(x)=\frac{1}{x}$ and $f(x)=\frac{1}{x^2}.$ See Example 1.• A function that levels off at a horizontal value has a horizontal asymptote. A function can have more than one vertical asymptote. See Example 2.• Application problems involving rates and concentrations often involve rational functions. See Example 3.• The domain of a rational function includes all real numbers except those that cause the denominator to equal zero. See Example 4.• The vertical asymptotes of a rational function will occur where the denominator of the function is equal to zero and the numerator is not zero. See Example 5.• A removable discontinuity might occur in the graph of a rational function if an input causes both numerator and denominator to be zero. See Example 6.• A rational function’s end behavior will mirror that of the ratio of the leading terms of the numerator and denominator functions. See Example 7, Example 8, Example 9, and Example 10.• Graph rational functions by finding the intercepts, behavior at the intercepts and asymptotes, and end behavior. See Example 11.• If a rational function has x-intercepts at $x=x_1,x_2,\dots ,x_n,$ vertical asymptotes at $x=v_1,v_2,\dots ,v_m,$ and no $x_i=\text{any }{v}_j,$ then the function can be written in the form

・矢印の記法を使えば、基本関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ と $f(x)=\frac{1}{x^2}$ の局所のふるまいと端のふるまいを述べられる。例1を見よ。・ある横の値で水平に落ち着く関数は、水平漸近線を持つ。関数は垂直漸近線を二本以上持ちうる。例2を見よ。・割合や濃度を含む応用問題は、しばしば有理関数を伴う。例3を見よ。・有理関数の定義域は、分母を0にするものを除いた実数全体である。例4を見よ。・有理関数の垂直漸近線は、その関数の分母が0に等しく、分子が0でないところに現れる。例5を見よ。・ある入力が分子と分母の両方を0にするなら、有理関数のグラフに取り除ける不連続が現れることがある。例6を見よ。・有理関数の端のふるまいは、分子と分母の関数の最高次の項どうしの比のそれを写す。例7、例8、例9、例10を見よ。・切片、切片と漸近線でのふるまい、端のふるまいを求めれば、有理関数のグラフが描ける。例11を見よ。・ある有理関数が $x=x_1,x_2,\dots ,x_n$ に x切片、$x=v_1,v_2,\dots ,v_m$ に垂直漸近線を持ち、$x_i=\text{any }{v}_j$ が無いなら、その関数は次の形で書ける。

See Example 12.

例12を見よ。

• The inverse of a quadratic function is a square root function.• If $f^{-1}$ is the inverse of a function $f,$ then $f$ is the inverse of the function $f^{-1}.$ See Example 1.• While it is not possible to find an inverse of most polynomial functions, some basic polynomials are invertible. See Example 2.• To find the inverse of certain functions, we must restrict the function to a domain on which it will be one-to-one. See Example 3 and Example 4.• When finding the inverse of a radical function, we need a restriction on the domain of the answer. See Example 5 and Example 7.• Inverse and radical and functions can be used to solve application problems. See Example 6 and Example 8.

・二次関数の逆関数は平方根の関数である。・$f^{-1}$ が関数 $f$ の逆関数なら、$f$ は関数 $f^{-1}$ の逆関数である。例1を見よ。・ほとんどの多項式関数の逆関数は求められないが、基本的な多項式のいくつかは逆関数を持つ。例2を見よ。・ある種の関数の逆関数を求めるには、その関数を一対一になる定義域に制限しなければならない。例3と例4を見よ。・無理関数の逆関数を求めるときは、答えの定義域に制限が要る。例5と例7を見よ。・逆関数と無理関数を使えば、応用問題が解ける。例6と例8を見よ。

• A relationship where one quantity is a constant multiplied by another quantity is called direct variation. See Example 1.• Two variables that are directly proportional to one another will have a constant ratio.• A relationship where one quantity is a constant divided by another quantity is called inverse variation. See Example 2.• Two variables that are inversely proportional to one another will have a constant multiple. See Example 3.• In many problems, a variable varies directly or inversely with multiple variables. We call this type of relationship joint variation. See Example 4.

・一方の量がもう一方の量の定数倍になっている関係を、正比例という。例1を見よ。・互いに正比例する二つの変数は、一定の比を持つ。・一方の量が定数をもう一方の量で割ったものになっている関係を、反比例という。例2を見よ。・互いに反比例する二つの変数は、一定の倍数を持つ。例3を見よ。・多くの問題で、ある変数が複数の変数に正比例または反比例する。この種の関係を複合比例という。例4を見よ。