第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

The path passes through the origin and has vertex at $\left(-4,7\right),$ so $h(x)=–\frac{7}{16}{(x+4)}^2+7.$ To make the shot, $h\left(-7.5\right)$ would need to be about 4 but $h(–7.5)\approx 1.64;$ he doesn’t make it.

この軌道は原点を通り、頂点が $\left(-4,7\right)$ なので $h(x)=–\frac{7}{16}{(x+4)}^2+7.$ である。決めるには $h\left(-7.5\right)$ がおよそ4である必要があるが、$h(–7.5)\approx 1.64;$ なので入らない。

$g(x)=x^2-6x+13$ in general form; $g(x)={(x-3)}^2+4$ in standard form

一般形では $g(x)=x^2-6x+13$。標準形では $g(x)={(x-3)}^2+4$。

The domain is all real numbers. The range is $f(x)\ge \frac{8}{11},$ or $\left[\frac{8}{11},\infty \right).$

定義域は実数全体である。値域は $f(x)\ge \frac{8}{11}$、すなわち $\left[\frac{8}{11},\infty \right)$ である。

y-intercept at (0, 13), No $x\text{-}$ intercepts

y切片は (0, 13)。$x\text{-}$ 切片は無い。

$f(x)$ is a power function because it can be written as $f(x)=8x^4.$ The other functions are not power functions.

$f(x)$ は $f(x)=8x^4$ と書けるので累乗関数である。ほかの関数は累乗関数ではない。

As $x$ approaches positive or negative infinity, $f\left(x\right)$ decreases without bound: as $x\to \pm \infty , f(x)\to -\infty$ because of the negative coefficient.

$x$ が正または負の無限大に近づくと、$f\left(x\right)$ は限りなく小さくなる。係数が負なので $x\to \pm \infty , f(x)\to -\infty$ となる。

The degree is 6. The leading term is $-x^6.$ The leading coefficient is $-1.$

次数は6である。最高次の項は $-x^6$ である。最高次係数は $-1.$ である。

As $x\to \infty , f(x)\to -\infty ; as x\to -\infty , f(x)\to -\infty .$ It has the shape of an even degree power function with a negative coefficient.

$x\to \infty , f(x)\to -\infty ; as x\to -\infty , f(x)\to -\infty$ となる。係数が負の偶数次の累乗関数の形をしている。

The leading term is $0.2x^3,$ so it is a degree 3 polynomial. As $x$ approaches positive infinity, $f\left(x\right)$ increases without bound; as $x$ approaches negative infinity, $f\left(x\right)$ decreases without bound.

最高次の項は $0.2x^3$ なので、3次の多項式である。$x$ が正の無限大に近づくと $f\left(x\right)$ は限りなく大きくなり、$x$ が負の無限大に近づくと $f\left(x\right)$ は限りなく小さくなる。

y-intercept $(0,0);$ x-intercepts $(0,0),(–2,0),$ and $(5,0)$

y切片は $(0,0);$、x切片は $(0,0),(–2,0)$ と $(5,0)$

There are at most 12 $x\text{-}$ intercepts and at most 11 turning points.

$x\text{-}$ 切片はたかだか12個、折り返しの点はたかだか11個である。

The end behavior indicates an odd-degree polynomial function; there are 3 $x\text{-}$ intercepts and 2 turning points, so the degree is odd and at least 3. Because of the end behavior, we know that the lead coefficient must be negative.

端のふるまいは奇数次の多項式関数を示している。$x\text{-}$ 切片が3個、折り返しの点が2個あるので、次数は奇数で3以上である。端のふるまいから、最高次係数は負でなければならないと分かる。

The $x\text{-}$ intercepts are $(2,0),(-1,0),$ and $(5,0),$ the y-intercept is $(0,\text{2}),$ and the graph has at most 2 turning points.

$x\text{-}$ 切片は $(2,0),(-1,0)$ と $(5,0)$、y切片は $(0,\text{2})$ で、グラフの折り返しの点はたかだか2個である。

y-intercept $(0,0);$ x-intercepts $(0,0),(–5,0),(2,0),$ and $(3,0)$

y切片は $(0,0);$、x切片は $(0,0),(–5,0),(2,0)$ と $(3,0)$

The graph has a zero of –5 with multiplicity 3, a zero of -1 with multiplicity 2, and a zero of 3 with multiplicity 4.

このグラフは、重複度3の零点–5、重複度2の零点-1、重複度4の零点3を持つ。

Because $f$ is a polynomial function and since $f(1)$ is negative and $f(2)$ is positive, there is at least one real zero between $x=1$ and $x=2.$

$f$ は多項式関数で、$f(1)$ が負、$f(2)$ が正なので、$x=1$ と $x=2.$ のあいだに実の零点が少なくとも一つある。

The minimum occurs at approximately the point $(0,-6.5),$ and the maximum occurs at approximately the point $(3.5,7).$

最小値はおよそ点 $(0,-6.5)$ で、最大値はおよそ点 $(3.5,7)$ で生じる。

The zeros are 2, –2, and –4.

零点は2、–2、–4である。

There are no rational zeros.

有理数の零点は無い。

The zeros are $\text{–4, }\frac{1}{2},\text{and 1}\text{.}$

零点は $\text{–4, }\frac{1}{2},\text{and 1}$ である。

There must be 4, 2, or 0 positive real roots and 0 negative real roots. The graph shows that there are 2 positive real zeros and 0 negative real zeros.

正の実の根は4個、2個、0個のいずれかで、負の実の根は0個でなければならない。グラフから、正の実の零点が2個、負の実の零点が0個だと分かる。

3 meters by 4 meters by 7 meters

3メートル×4メートル×7メートル

End behavior: as $x\to \pm \infty , f(x)\to 0;$ Local behavior: as $x\to 0, f(x)\to \infty$ (there are no x- or y-intercepts)

端のふるまい: $x\to \pm \infty , f(x)\to 0;$。局所のふるまい: $x\to 0, f(x)\to \infty$(x切片も y切片も無い)

The function and the asymptotes are shifted 3 units right and 4 units down. As $x\to 3,f(x)\to \infty ,$ and as $x\to \pm \infty ,f(x)\to -4.$

関数と漸近線が右に3単位、下に4単位移る。$x\to 3,f(x)\to \infty$ となり、$x\to \pm \infty ,f(x)\to -4.$ となる。

The function is $f(x)=\frac{1}{{(x-3)}^2}-4.$

関数は $f(x)=\frac{1}{{(x-3)}^2}-4.$ である。

The domain is all real numbers except $x=1$ and $x=5.$

定義域は、$x=1$ と $x=5.$ を除いた実数全体である。

Removable discontinuity at $x=5.$ Vertical asymptotes: $x=0,x=1.$

$x=5.$ に取り除ける不連続。垂直漸近線: $x=0,x=1.$

Vertical asymptotes at $x=2$ and $x=–3;$ horizontal asymptote at $y=4.$

$x=2$ と $x=–3;$ に垂直漸近線、$y=4.$ に水平漸近線。

For the transformed reciprocal squared function, we find the rational form. $f(x)=\frac{1}{{(x-3)}^2}-4=\frac{1-4{(x-3)}^2}{{(x-3)}^2}=\frac{1-4(x^2-6x+9)}{(x-3)(x-3)}=\frac{-4x^2+24x-35}{x^2-6x+9}$

逆数の2乗の関数を変形したものについて、有理式の形を求める。$f(x)=\frac{1}{{(x-3)}^2}-4=\frac{1-4{(x-3)}^2}{{(x-3)}^2}=\frac{1-4(x^2-6x+9)}{(x-3)(x-3)}=\frac{-4x^2+24x-35}{x^2-6x+9}$

Because the numerator is the same degree as the denominator we know that as $x\to \pm \infty , f(x)\to -4; \text{so} y=–4$ is the horizontal asymptote. Next, we set the denominator equal to zero, and find that the vertical asymptote is $x=3,$ because as $x\to 3,f(x)\to \infty .$ We then set the numerator equal to 0 and find the x-intercepts are at $(2.5,0)$ and $(3.5,0).$ Finally, we evaluate the function at 0 and find the y-intercept to be at $\left(0,\frac{-35}{9}\right).$

分子の次数が分母と同じなので、$x\to \pm \infty , f(x)\to -4; \text{so} y=–4$ が水平漸近線だと分かる。次に分母を0とおくと、$x\to 3,f(x)\to \infty$ なので垂直漸近線は $x=3$ だと分かる。そして分子を0とおくと、x切片は $(2.5,0)$ と $(3.5,0)$ だと分かる。最後に0でこの関数の値を求めると、y切片は $\left(0,\frac{-35}{9}\right)$ だと分かる。

Horizontal asymptote at $y=\frac{1}{2}.$ Vertical asymptotes at $x=1 \text{and} x=3.$ y-intercept at $\left(0,\frac{4}{3}.\right)$

$y=\frac{1}{2}$ に水平漸近線、$x=1 \text{および} x=3.$ に垂直漸近線、$\left(0,\frac{4}{3}.\right)$ に y切片。

x-intercepts at $(2,0) \text{and }(–2,0).$ $(–2,0)$ is a zero with multiplicity 2, and the graph bounces off the x-axis at this point. $(2,0)$ is a single zero and the graph crosses the axis at this point.

x切片は $(2,0) \text{および}(–2,0)$。$(–2,0)$ は重複度2の零点で、この点でグラフは x軸から跳ね返る。$(2,0)$ は単純零点で、この点でグラフは軸を横切る。

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=f^{-1}\left(\frac{x+5}{3}\right)=3\left(\frac{x+5}{3}\right)-5=\left(x-5\right)+5=x$ and $f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=f\left(3x-5\right)=\frac{\left(3x-5\right)+5}{3}=\frac{3x}{3}=x$

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=f^{-1}\left(\frac{x+5}{3}\right)=3\left(\frac{x+5}{3}\right)-5=\left(x-5\right)+5=x$ と $f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=f\left(3x-5\right)=\frac{\left(3x-5\right)+5}{3}=\frac{3x}{3}=x$

When written in that form, the vertex can be easily identified.

その形で書くと、頂点が簡単に見分けられる。

If $a=0$ then the function becomes a linear function.

$a=0$ なら、この関数は一次関数になる。

If possible, we can use factoring. Otherwise, we can use the quadratic formula.

できるなら因数分解が使える。そうでなければ解の公式が使える。

$g(x)={(x+1)}^2-4,$ Vertex $\left(-1,-4\right)$

$g(x)={(x+1)}^2-4$。頂点は $\left(-1,-4\right)$。

$f(x)={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{33}{4},$ Vertex $\left(-\frac{5}{2},-\frac{33}{4}\right)$

$f(x)={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{33}{4}$。頂点は $\left(-\frac{5}{2},-\frac{33}{4}\right)$。

$f(x)=3{(x-1)}^2-12,$ Vertex $(1,-12)$

$f(x)=3{(x-1)}^2-12$。頂点は $(1,-12)$。

$f(x)=3{\left(x-\frac{5}{6}\right)}^2-\frac{37}{12},$ Vertex $\left(\frac{5}{6},-\frac{37}{12}\right)$

$f(x)=3{\left(x-\frac{5}{6}\right)}^2-\frac{37}{12}$。頂点は $\left(\frac{5}{6},-\frac{37}{12}\right)$。

Minimum is $-\frac{17}{2}$ and occurs at $\frac{5}{2}.$ Axis of symmetry is $x=\frac{5}{2}.$

最小値は $-\frac{17}{2}$ で、$\frac{5}{2}$ のときに生じる。対称軸は $x=\frac{5}{2}$ である。

Minimum is $-\frac{17}{16}$ and occurs at $-\frac{1}{8}.$ Axis of symmetry is $x=-\frac{1}{8}.$

最小値は $-\frac{17}{16}$ で、$-\frac{1}{8}$ のときに生じる。対称軸は $x=-\frac{1}{8}$ である。

Minimum is $-\frac{7}{2}$ and occurs at $\mathrm{-3.}$ Axis of symmetry is $x=\mathrm{-3.}$

最小値は $-\frac{7}{2}$ で、$\mathrm{-3.}$ のときに生じる。対称軸は $x=\mathrm{-3.}$ である。

Domain is $\left(-\infty ,\infty \right).$ Range is $[2,\infty ).$

定義域は $\left(-\infty ,\infty \right)$、値域は $[2,\infty )$ である。

Domain is $\left(-\infty ,\infty \right).$ Range is $[\mathrm{-5},\infty ).$

定義域は $\left(-\infty ,\infty \right)$、値域は $[\mathrm{-5},\infty )$ である。

Domain is $\left(-\infty ,\infty \right).$ Range is $[\mathrm{-12},\infty ).$

定義域は $\left(-\infty ,\infty \right)$、値域は $[\mathrm{-12},\infty )$ である。

Vertex: (3, −10), axis of symmetry: x = 3, intercepts: $(3+\sqrt{10},0)$ and $(3-\sqrt{10},0)$

頂点: (3, −10)、対称軸: x = 3、切片: $(3+\sqrt{10},0)$ と $(3-\sqrt{10},0)$

Vertex: $(\frac{7}{2},-\frac{37}{4})$, axis of symmetry: $x=\frac{7}{2}$, y-intercept: $(0,3)$, x-intercepts: $(\frac{7+\sqrt{37}}{2},0),(\frac{7-\sqrt{37}}{2},0)$

頂点: $(\frac{7}{2},-\frac{37}{4})$、対称軸: $x=\frac{7}{2}$、y切片: $(0,3)$、x切片: $(\frac{7+\sqrt{37}}{2},0),(\frac{7-\sqrt{37}}{2},0)$

Vertex: $(\frac{3}{2},-12)$, axis of symmetry: $x=\frac{3}{2}$, intercept: $(\frac{3+2\sqrt{3}}{2},0)$ and $(\frac{3-2\sqrt{3}}{2},0)$

頂点: $(\frac{3}{2},-12)$、対称軸: $x=\frac{3}{2}$、切片: $(\frac{3+2\sqrt{3}}{2},0)$ と $(\frac{3-2\sqrt{3}}{2},0)$

The graph is shifted to the right or left (a horizontal shift).

グラフが右または左に移る(横の移動)。

The suspension bridge has 1,000 feet distance from the center.

この吊り橋は中心から1,000フィートの距離である。

Domain is $(-\infty ,\infty ).$ Range is $(-\infty ,2].$

定義域は $(-\infty ,\infty )$、値域は $(-\infty ,2]$ である。

Domain: $(-\infty ,\infty )$ ; range: $[100,\infty )$

定義域: $(-\infty ,\infty )$、値域: $[100,\infty )$

75 feet by 50 feet

75フィート×50フィート

3 and 3; product is 9

3と3。積は9。

The revenue reaches the maximum value when 1800 thousand phones are produced.

携帯電話を180万台作るとき、収入が最大の値に達する。

2.449 seconds

2.449秒

41 trees per acre

1エーカーあたり41本

The coefficient of the power function is the real number that is multiplied by the variable raised to a power. The degree is the highest power appearing in the function.

累乗関数の係数は、累乗した変数に掛かる実数である。次数は、その関数に現れる最も高い指数である。

As $x$ decreases without bound, so does $f\left(x\right).$ As $x$ increases without bound, so does $f\left(x\right).$

$x$ が限りなく小さくなると $f\left(x\right)$ も限りなく小さくなる。$x$ が限りなく大きくなると $f\left(x\right)$ も限りなく大きくなる。

The polynomial function is of even degree and leading coefficient is negative.

この多項式関数は偶数次で、最高次係数は負である。

Power function

累乗関数

Neither

どちらでもない

Neither

どちらでもない

Degree = 2, Coefficient = –2

次数 = 2、係数 = –2

Degree =4, Coefficient = –2

次数 = 4、係数 = –2

As $x\to \infty$, $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to -\infty ,f(x)\to \infty$

$x\to \infty$ のとき $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to -\infty ,f(x)\to \infty$

As $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$

$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$

As $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$

$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$

As $x\to \infty$, $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to -\infty ,f(x)\to -\infty$

$x\to \infty$ のとき $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to -\infty ,f(x)\to -\infty$

y-intercept is $(0,12),$ t-intercepts are $(1,0);(–2,0);\text{and }(3,0).$

y切片は $(0,12)$、t切片は $(1,0);(–2,0);\text{および}(3,0)$

y-intercept is $(0,-16).$ x-intercepts are $(2,0)$ and $(-2,0).$

y切片は $(0,-16)$、x切片は $(2,0)$ と $(-2,0)$

y-intercept is $(0,0).$ x-intercepts are $(0,0),(4,0),$ and $\left(-2, 0\right).$

y切片は $(0,0)$、x切片は $(0,0),(4,0)$ と $\left(-2, 0\right)$

Yes. Number of turning points is 2. Least possible degree is 3.

はい。折り返しの点の数は2。ありうる最小の次数は3。

Yes. Number of turning points is 1. Least possible degree is 2.

はい。折り返しの点の数は1。ありうる最小の次数は2。

Yes. Number of turning points is 0. Least possible degree is 1.

はい。折り返しの点の数は0。ありうる最小の次数は1。

Yes. Number of turning points is 0. Least possible degree is 1.

はい。折り返しの点の数は0。ありうる最小の次数は1。

As $x\to -\infty$, $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

As $x\to -\infty$, $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$

$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$

The $y\text{-}$ intercept is $\left(0, 0\right).$ The $x\text{-}$ intercepts are $\left(0, 0\right),\left(2, 0\right).$ As $x\to -\infty$, $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

$y\text{-}$ 切片は $\left(0, 0\right)$。$x\text{-}$ 切片は $\left(0, 0\right),\left(2, 0\right)$。$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$。

The $y\text{-}$ intercept is $\left(0,0\right)$ . The $x\text{-}$ intercepts are $\left(0, 0\right),\left(5, 0\right),\left(7, 0\right).$ As $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

$y\text{-}$ 切片は $\left(0,0\right)$。$x\text{-}$ 切片は $\left(0, 0\right),\left(5, 0\right),\left(7, 0\right)$。$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$。

The $y\text{-}$ intercept is $\left(0, 0\right).$ The $x\text{-}$ intercept is $\left(-4, 0\right),\left(0, 0\right),\left(4, 0\right).$ $Asx\to -\infty$, $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

$y\text{-}$ 切片は $\left(0, 0\right)$。$x\text{-}$ 切片は $\left(-4, 0\right),\left(0, 0\right),\left(4, 0\right)$。$Asx\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$。

The $y\text{-}$ intercept is $\left(0, -81\right).$ The $x\text{-}$ intercept are $\left(3, 0\right),\left(-3, 0\right).$ As $x\to -\infty$, $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

$y\text{-}$ 切片は $\left(0, -81\right)$。$x\text{-}$ 切片は $\left(3, 0\right),\left(-3, 0\right)$。$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$。

The $y\text{-}$ intercept is $\left(0, 0\right).$ The $x\text{-}$ intercepts are $\left(-3, 0\right),\left(0, 0\right),\left(5, 0\right).$ As $x\to -\infty$, $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$

$y\text{-}$ 切片は $\left(0, 0\right)$。$x\text{-}$ 切片は $\left(-3, 0\right),\left(0, 0\right),\left(5, 0\right)$。$x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$。

The $x\text{-}$ intercept is where the graph of the function crosses the $x\text{-}$ axis, and the zero of the function is the input value for which $f(x)=0.$

$x\text{-}$ 切片はその関数のグラフが $x\text{-}$ 軸を横切るところであり、その関数の零点は $f(x)=0.$ となる入力値である。

If we evaluate the function at $a$ and at $b$ and the sign of the function value changes, then we know a zero exists between $a$ and $b.$

$a$ と $b$ で関数の値を求め、関数の値の符号が変われば、$a$ と $b$ のあいだに零点があると分かる。

There will be a factor raised to an even power.

偶数乗した因数がある。

$f\left(2\right)=–10$ and $f\left(4\right)=28.$ Sign change confirms.

$f\left(2\right)=–10$ と $f\left(4\right)=28.$。符号の変化が確かめる。

$f\left(1\right)=3$ and $f\left(3\right)=–77.$ Sign change confirms.

$f\left(1\right)=3$ と $f\left(3\right)=–77.$。符号の変化が確かめる。

$f\left(0.01\right)=1.000001$ and $f\left(0.1\right)=–\mathrm{7.999.}$ Sign change confirms.

$f\left(0.01\right)=1.000001$ と $f\left(0.1\right)=–\mathrm{7.999.}$。符号の変化が確かめる。

0 with multiplicity 2, $-\frac{3}{2}$ with multiplicity 5, 4 with multiplicity 2

重複度2の0、重複度5の $-\frac{3}{2}$、重複度2の4

0 with multiplicity 2, –2 with multiplicity 2

重複度2の0、重複度2の–2

$-\frac{2}{3}$ with multiplicity 5, 5 with multiplicity 2

重複度5の $-\frac{2}{3}$、重複度2の5

0 with multiplicity 4, 2 with multiplicity 1, −1 with multiplicity 1

重複度4の0、重複度1の2、重複度1の−1

$\frac{3}{2}$ with multiplicity 2, 0 with multiplicity 3

重複度2の $\frac{3}{2}$、重複度3の0

x-intercepts, $\left(\mathrm{1,\; 0}\right)$ with multiplicity 2, $\left(–4, 0\right)$ with multiplicity 1, $y\text{-}$ intercept $(0, 4).$ As $x\to -\infty ,f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty .$

x切片は、重複度2の $\left(\mathrm{1,\; 0}\right)$ と重複度1の $\left(–4, 0\right)$。$y\text{-}$ 切片は $(0, 4).$。$x\to -\infty ,f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$ となる。

x-intercepts $(3,0)$ with multiplicity 3, $(2,0)$ with multiplicity 2, $y\text{-}$ intercept $(0,–108).$ As $x\to -\infty ,f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty .$

x切片は、重複度3の $(3,0)$ と重複度2の $(2,0)$。$y\text{-}$ 切片は $(0,–108)$。$x\to -\infty ,f(x)\to -\infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to \infty$ となる。

x-intercepts $\left(0, 0\right),\left(–2, 0\right),\left(4,0\right)$ with multiplicity 1, $y\text{-}$ intercept $(0, 0).$ As $x\to -\infty ,f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty .$

x切片は、重複度1の $\left(0, 0\right),\left(–2, 0\right),\left(4,0\right)$。$y\text{-}$ 切片は $(0, 0)$。$x\to -\infty ,f(x)\to \infty ,\text{as}x\to \infty ,f(x)\to -\infty$ となる。

–4, –2, 1, 3 with multiplicity 1

–4、–2、1、3。いずれも重複度1。

–2, 3 each with multiplicity 2

–2、3。いずれも重複度2。

local max $\left(–\text{.58, –}.62\right),$ local min $\left(\text{.58, –1}\text{.38}\right)$

局所の最大 $\left(–\text{.58, –}.62\right)$、局所の最小 $\left(\text{.58, –1}\text{.38}\right)$

global min $\left(–\text{.63, –}\text{.47}\right)$

大域の最小 $\left(–\text{.63, –}\text{.47}\right)$

global min $\text{(}\text{.75, }\text{.89)}$

大域の最小 $\text{(}\text{.75, }\text{.89)}$

The binomial is a factor of the polynomial.

その二項式はその多項式の因数である。