第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

5.4 Dividing Polynomials5.4 多項式の割り算

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Use long division to divide polynomials.• Use synthetic division to divide polynomials.

・筆算を使って多項式を割る。・組立除法を使って多項式を割る。

The exterior of the Lincoln Memorial in Washington, D.C., is a large rectangular solid with length 61.5 meters (m), width 40 m, and height 30 m.1 We can easily find the volume using elementary geometry.

ワシントンD.C.のリンカーン記念堂の外観は、縦61.5メートル(m)、横40m、高さ30mの大きな直方体である。1 初等幾何を使えば、その体積は簡単に求まる。

National Park Service. "Lincoln Memorial Building Statistics."

http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm

. Accessed 4/3/2014

閲覧日：2014年4月3日。

\begin{matrix} V & = & l \cdot w \cdot h \\ = & 61.5 \cdot 40 \cdot 30 \\ = & 73,800 \end{matrix}

So the volume is 73,800 cubic meters $(m ³) .$ Suppose we knew the volume, length, and width. We could divide to find the height.

よって体積は73,800立方メートル $(m ³)$ である。体積と縦と横が分かっているとしよう。割り算をすれば高さが求まる。

\begin{matrix} h & = & \frac{V}{l \cdot w} \\ = & \frac{73,800}{61.5 \cdot 40} \\ = & 30 \end{matrix}

As we can confirm from the dimensions above, the height is 30 m. We can use similar methods to find any of the missing dimensions. We can also use the same method if any, or all, of the measurements contain variable expressions. For example, suppose the volume of a rectangular solid is given by the polynomial $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x .$ The length of the solid is given by $3 x;$ the width is given by $x - 2.$ To find the height of the solid, we can use polynomial division, which is the focus of this section.

上の寸法から確かめられるとおり、高さは30mである。同じような方法で、欠けているどの寸法も求められる。測った値のいくつか、あるいはすべてが変数の式であっても、同じ方法が使える。たとえば、ある直方体の体積が多項式 $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x$ で与えられているとしよう。この立体の縦は $3 x;$ 、横は $x - 2.$ で与えられている。この立体の高さを求めるには多項式の割り算が使える。それがこの節の主題である。

Using Long Division to Divide Polynomials筆算を使って多項式を割る

We are familiar with the long division algorithm for ordinary arithmetic. We begin by dividing into the digits of the dividend that have the greatest place value. We divide, multiply, subtract, include the digit in the next place value position, and repeat. For example, let’s divide 178 by 3 using long division.

ふつうの算術の割り算の筆算はよく知っている。まず、割られる数の位が最も大きい桁から割り始める。割り、掛け、引き、次の位の桁を下ろし、繰り返す。たとえば、筆算で178を3で割ってみよう。

Another way to look at the solution is as a sum of parts. This should look familiar, since it is the same method used to check division in elementary arithmetic.

この答えは、部分の和としても見られる。初等算術で割り算を検算するのと同じ方法なので、見覚えがあるはずである。

\begin{matrix} dividend & = & (divisor \cdot quotient) + remainder \\ 178 & = & (3 \cdot 59) + 1 \\ = & 177 + 1 \\ = & 178 \end{matrix}

We call this the Division Algorithm and will discuss it more formally after looking at an example.

これを除法の定理と呼ぶ。例を見たあとで、もっときちんと論じる。

Division of polynomials that contain more than one term has similarities to long division of whole numbers. We can write a polynomial dividend as the product of the divisor and the quotient added to the remainder. The terms of the polynomial division correspond to the digits (and place values) of the whole number division. This method allows us to divide two polynomials. For example, if we were to divide $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ by $x + 2$ using the long division algorithm, it would look like this:

項が二つ以上ある多項式の割り算は、整数の割り算の筆算と似ている。割られる多項式は、割る式と商の積に余りを足したものとして書ける。多項式の割り算の各項は、整数の割り算の桁(と位)に対応する。この方法で二つの多項式を割れる。たとえば、割り算の筆算で $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ を $x + 2$ で割ると、次のようになる。

A step-by-step guide demonstrating polynomial long division, illustrating each calculation and corresponding operation from setting up the problem to the final subtraction.

We have found

次が求まった。

\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5}{x + 2} = 2 x^{2} - 7 x + 18 - \frac{31}{x + 2}

すなわち

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2) (2 x^{2} - 7 x + 18) - 31

We can identify the dividend, the divisor, the quotient, and the remainder.

割られる式、割る式、商、余りを見分けられる。

Identifying the dividend, divisor, quotient and remainder of the polynomial 2x^3-3x^2+4x+5, which is the dividend.

Writing the result in this manner illustrates the Division Algorithm.

結果をこのように書くと、除法の定理が見てとれる。

The Division Algorithm 多項式の除法の関係式

The Division Algorithm states that, given a polynomial dividend $f (x)$ and a non-zero polynomial divisor $d (x)$ where the degree of $d (x)$ is less than or equal to the degree of $f (x)$ , there exist unique polynomials $q (x)$ and $r (x)$ such that

除法の定理は、割られる多項式 $f (x)$ と、0でない多項式の割る式 $d (x)$ が与えられ、 $d (x)$ の次数が $f (x)$ の次数以下であるとき、次を満たす多項式 $q (x)$ と $r (x)$ がただ一組存在する、と述べる。

f (x) = d (x) q (x) + r (x)

$q (x)$ is the quotient and $r (x)$ is the remainder. The remainder is either equal to zero or has degree strictly less than $d (x) .$

$q (x)$ が商、 $r (x)$ が余りである。余りは0に等しいか、 $d (x)$ より真に次数が小さいかのどちらかである。

If $r (x) = 0,$ then $d (x)$ divides evenly into $f (x) .$ This means that, in this case, both $d (x)$ and $q (x)$ are factors of $f (x) .$

$r (x) = 0$ なら、 $d (x)$ は $f (x)$ を割り切る。つまりこの場合、 $d (x)$ も $q (x)$ も $f (x)$ の因数である。

How To 手順

Given a polynomial and a binomial, use long division to divide the polynomial by the binomial.

多項式と二項式が与えられたとき、筆算を使って多項式を二項式で割る。

1. Set up the division problem.2. Determine the first term of the quotient by dividing the leading term of the dividend by the leading term of the divisor.3. Multiply the answer by the divisor and write it below the like terms of the dividend.4. Subtract the bottom binomial from the top binomial.5. Bring down the next term of the dividend.6. Repeat steps 2–5 until reaching the last term of the dividend.7. If the remainder is non-zero, express as a fraction using the divisor as the denominator.

1. 割り算の式を組み立てる。2. 割られる式の最高次の項を割る式の最高次の項で割って、商の最初の項を決める。3. その答えに割る式を掛け、割られる式の同類項の下に書く。4. 上の二項式から下の二項式を引く。5. 割られる式の次の項を下ろす。6. 割られる式の最後の項に達するまで、手順2〜5を繰り返す。7. 余りが0でないなら、割る式を分母にした分数として表す。

Example 1例1

Using Long Division to Divide a Second-Degree Polynomial筆算を使って2次の多項式を割る

Divide $5 x^{2} + 3 x - 2$ by $x + 1.$

$5 x^{2} + 3 x - 2$ を $x + 1.$ で割れ。

Solution 解答

This image illustrates the step-by-step process of polynomial long division, dividing (5x^2 + 3x - 2) by (x + 1) to arrive at a quotient of (5x - 2) with a remainder of 0.

The quotient is $5 x - 2.$ The remainder is 0. We write the result as

商は $5 x - 2.$ である。余りは0である。結果を次のように書く。

\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} = 5 x - 2

すなわち

5 x^{2} + 3 x - 2 = (x + 1) (5 x - 2)

Analysis 考察

This division problem had a remainder of 0. This tells us that the dividend is divided evenly by the divisor, and that the divisor is a factor of the dividend.

この割り算の余りは0だった。これは、割られる式が割る式で割り切れること、そして割る式が割られる式の因数であることを教えている。

Example 2例2

Using Long Division to Divide a Third-Degree Polynomial筆算を使って3次の多項式を割る

Divide $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$ by $3 x - 2.$

$6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$ を $3 x - 2.$ で割れ。

Solution 解答

An image demonstrating polynomial long division, showing the step-by-step calculation of (6x^3 + 11x^2 - 31x + 15) divided by (3x - 2) which results in a quotient of (2x^2 + 5x - 7) and a remainder of 1. Each mathematical step is explained alongside it.

There is a remainder of 1. We can express the result as:

余りは1である。結果を次のように表せる。

\frac{6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15}{3 x - 2} = 2 x^{2} + 5 x - 7 + \frac{1}{3 x - 2}

Analysis 考察

We can check our work by using the Division Algorithm to rewrite the solution. Then multiply.

除法の定理を使って答えを書き直せば検算できる。そして掛ける。

(3 x - 2) (2 x^{2} + 5 x - 7) + 1 = 6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15

Notice, as we write our result,

結果を書くとき、次のようになるのに注目しよう。

• the dividend is $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$ • the divisor is $3 x - 2$ • the quotient is $2 x^{2} + 5 x - 7$ • the remainder is $1$

・割られる式は $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$ ・割る式は $3 x - 2$ ・商は $2 x^{2} + 5 x - 7$ ・余りは $1$

Try It #1やってみよう1

Divide $16 x^{3} - 12 x^{2} + 20 x - 3$ by $4 x + 5.$

$16 x^{3} - 12 x^{2} + 20 x - 3$ を $4 x + 5.$ で割れ。

Using Synthetic Division to Divide Polynomials組立除法を使って多項式を割る

As we’ve seen, long division of polynomials can involve many steps and be quite cumbersome. Synthetic division is a shorthand method of dividing polynomials for the special case of dividing by a linear factor whose leading coefficient is 1.

見てきたとおり、多項式の割り算の筆算は手順が多く、かなり面倒になりうる。組立除法は、最高次係数が1の一次因数で割るという特別な場合に使える、多項式の割り算の略式の方法である。

To illustrate the process, recall the example at the beginning of the section.

その手順を示すために、この節の初めの例を思い出そう。

Divide $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ by $x + 2$ using the long division algorithm.

割り算の筆算で $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ を $x + 2$ で割れ。

The final form of the process looked like this:

最後の形は次のようになった。

A polynomial long division problem showing (2x^3 - 3x^2 + 4x + 5) divided by (x + 2), resulting in a quotient of (2x^2 - 7x + 18) and a remainder of -31.

There is a lot of repetition in the table. If we don’t write the variables but, instead, line up their coefficients in columns under the division sign and also eliminate the partial products, we already have a simpler version of the entire problem.

この表には繰り返しが多い。変数を書かずに、代わりにその係数を割り算の記号の下に縦に揃え、部分積も省けば、それだけで問題全体のより簡単な形が得られる。

Synthetic division of the polynomial 2x^3-3x^2+4x+5 by x+2 in which it only contains the coefficients of each polynomial.

Synthetic division carries this simplification even a few more steps. Collapse the table by moving each of the rows up to fill any vacant spots. Also, instead of dividing by 2, as we would in division of whole numbers, then multiplying and subtracting the middle product, we change the sign of the “divisor” to –2, multiply and add. The process starts by bringing down the leading coefficient.

組立除法は、この簡略化をさらに数歩進める。各行を上に詰めて空いた場所を埋め、表をたたむ。また、整数の割り算のように2で割ってから掛けて途中の積を引く代わりに、「割る数」の符号を–2に変えて、掛けて足す。手順は、最高次係数を下ろすところから始まる。

We then multiply it by the “divisor” and add, repeating this process column by column, until there are no entries left. The bottom row represents the coefficients of the quotient; the last entry of the bottom row is the remainder. In this case, the quotient is $2 x^{2} - 7 x + 18$ and the remainder is $–31.$ The process will be made more clear in Example 3.

次にそれに「割る数」を掛けて足し、この手順を列ごとに、項が尽きるまで繰り返す。一番下の行が商の係数を表し、その最後の値が余りである。この場合、商は $2 x^{2} - 7 x + 18$ 、余りは $–31.$ である。この手順は例3でもっとはっきりする。

Synthetic Division 組立除法

Synthetic division is a shortcut that can be used when the divisor is a binomial in the form $x - k$ where $k$ is a real number. In synthetic division, only the coefficients are used in the division process.

組立除法は、割る式が $x - k$ の形の二項式( $k$ は実数)のときに使える近道である。組立除法では、割り算の手順に係数だけを使う。

How To 手順

Given two polynomials, use synthetic division to divide.

二つの多項式が与えられたとき、組立除法を使って割る。

1. Write $k$ for the divisor.2. Write the coefficients of the dividend.3. Bring the lead coefficient down.4. Multiply the lead coefficient by $k .$ Write the product in the next column.5. Add the terms of the second column.6. Multiply the result by $k .$ Write the product in the next column.7. Repeat steps 5 and 6 for the remaining columns.8. Use the bottom numbers to write the quotient. The number in the last column is the remainder. The next number from the right has degree 0, the next number has degree 1, and so on.

1. 割る式について $k$ を書く。2. 割られる式の係数を書く。3. 最高次係数を下ろす。4. 最高次係数に $k$ を掛ける。その積を次の列に書く。5. 2列目の項を足す。6. その結果に $k$ を掛ける。その積を次の列に書く。7. 残りの列について手順5と6を繰り返す。8. 一番下の数を使って商を書く。最後の列の数が余りである。その右から次の数は0次、その次は1次、というように続く。

Example 3例3

Using Synthetic Division to Divide a Second-Degree Polynomial組立除法を使って2次の多項式を割る

Use synthetic division to divide $5 x^{2} - 3 x - 36$ by $x - 3.$

組立除法を使って $5 x^{2} - 3 x - 36$ を $x - 3.$ で割れ。

Solution 解答

Begin by setting up the synthetic division. Write $k$ and the coefficients.

まず組立除法を組み立てる。 $k$ と係数を書く。

A collapsed version of the previous synthetic division.

Bring down the lead coefficient. Multiply the lead coefficient by $k .$

最高次係数を下ろす。最高次係数に $k$ を掛ける。

The set-up of the synthetic division for the polynomial 5x^2-3x-36 by x-3, which renders {5, -3, -36} by 3.

Continue by adding the numbers in the second column. Multiply the resulting number by $k .$ Write the result in the next column. Then add the numbers in the third column.

続けて2列目の数を足す。その結果に $k$ を掛ける。その結果を次の列に書く。そして3列目の数を足す。

Multiplied by the lead coefficient, 5, in the second column, and the lead coefficient is brought down to the second row.

The result is $5 x + 12.$ The remainder is 0. So $x - 3$ is a factor of the original polynomial.

結果は $5 x + 12.$ である。余りは0である。よって $x - 3$ は元の多項式の因数である。

Analysis 考察

Just as with long division, we can check our work by multiplying the quotient by the divisor and adding the remainder.

筆算のときと同じく、商に割る式を掛けて余りを足せば検算できる。

$(x - 3) (5 x + 12) + 0 = 5 x^{2} - 3 x - 36$

Example 4例4

Using Synthetic Division to Divide a Third-Degree Polynomial組立除法を使って3次の多項式を割る

Use synthetic division to divide $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ by $x + 2.$

組立除法を使って $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ を $x + 2.$ で割れ。

Solution 解答

The binomial divisor is $x + 2$ so $k = −2.$ Add each column, multiply the result by –2, and repeat until the last column is reached.

割る二項式は $x + 2$ なので $k = −2.$ である。各列を足し、その結果に–2を掛け、最後の列に達するまで繰り返す。

Synthetic division of 4x^3+10x^2-6x-20 divided by x+2.

The result is $4 x^{2} + 2 x - 10.$ The remainder is 0. Thus, $x + 2$ is a factor of $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$

結果は $4 x^{2} + 2 x - 10.$ である。余りは0である。したがって $x + 2$ は $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$ の因数である。

Analysis 考察

The graph of the polynomial function $f (x) = 4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ in Figure 2 shows a zero at $x = k = −2.$ This confirms that $x + 2$ is a factor of $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$

図2の多項式関数 $f (x) = 4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ のグラフは、 $x = k = −2.$ に零点があることを示している。これで $x + 2$ が $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$ の因数であることが確かめられる。

Example 5例5

Using Synthetic Division to Divide a Fourth-Degree Polynomial組立除法を使って4次の多項式を割る

Use synthetic division to divide $- 9 x^{4} + 10 x^{3} + 7 x^{2} - 6$ by $x - 1.$

組立除法を使って $- 9 x^{4} + 10 x^{3} + 7 x^{2} - 6$ を $x - 1.$ で割れ。

Solution 解答

Notice there is no x-term. We will use a zero as the coefficient for that term.

x の項が無いことに注目しよう。その項の係数として0を使う。

A synthetic division problem is shown, with the divisor 1. The dividend's coefficients are -9, 10, 7, 0, -6. The result of the division is a quotient with coefficients -9, 1, 8, 8 and a remainder of 2.

The result is $- 9 x^{3} + x^{2} + 8 x + 8 + \frac{2}{x - 1} .$

結果は $- 9 x^{3} + x^{2} + 8 x + 8 + \frac{2}{x - 1}$ である。

Try It #2やってみよう2

Use synthetic division to divide $3 x^{4} + 18 x^{3} - 3 x + 40$ by $x + 7.$

組立除法を使って $3 x^{4} + 18 x^{3} - 3 x + 40$ を $x + 7.$ で割れ。

Using Polynomial Division to Solve Application Problems多項式の割り算を使って応用問題を解く

Polynomial division can be used to solve a variety of application problems involving expressions for area and volume. We looked at an application at the beginning of this section. Now we will solve that problem in the following example.

多項式の割り算は、面積や体積の式を含むさまざまな応用問題を解くのに使える。この節の初めに応用例を見た。それを次の例で解く。

Example 6例6

Using Polynomial Division in an Application Problem応用問題で多項式の割り算を使う

The volume of a rectangular solid is given by the polynomial $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x .$ The length of the solid is given by $3 x$ and the width is given by $x - 2.$ Find the height, $h,$ of the solid.

ある直方体の体積が多項式 $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x$ で与えられている。この立体の縦は $3 x$ 、横は $x - 2.$ で与えられている。この立体の高さ $h$ を求めよ。

Solution 解答

There are a few ways to approach this problem. We need to divide the expression for the volume of the solid by the expressions for the length and width. Let us create a sketch as in Figure 3.

この問題への近づき方はいくつかある。立体の体積の式を、縦と横の式で割ればよい。図3のような絵を描こう。

Graph of f(x)=4x^3+10x^2-6x-20 with a close up on x+2.

We can now write an equation by substituting the known values into the formula for the volume of a rectangular solid.

分かっている値を直方体の体積の公式に代入すれば、方程式が書ける。

\begin{matrix} V & = & l \cdot w \cdot h \\ 3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x & = & 3 x \cdot (x - 2) \cdot h \end{matrix}

To solve for $h,$ first divide both sides by $3 x .$

$h$ について解くために、まず両辺を $3 x$ で割る。

\begin{matrix} \frac{3 x \cdot (x - 2) \cdot h}{3 x} & = & \frac{3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x}{3 x} \\ (x - 2) h & = & x^{3} - x^{2} - 11 x + 18 \end{matrix}

Now solve for $h$ using synthetic division.

次に組立除法を使って $h$ について解く。

h = \frac{x^{3} - x^{2} - 11 x + 18}{x - 2}

Synthetic division for the polynomial x^3 - x^2 - 11x + 18 divided by x - 2, showing a quotient of x^2 + x - 9 and a remainder of 0.

The quotient is $x^{2} + x - 9$ and the remainder is 0. The height of the solid is $x^{2} + x - 9.$

商は $x^{2} + x - 9$ 、余りは0である。この立体の高さは $x^{2} + x - 9.$ である。

Try It #3やってみよう3

The area of a rectangle is given by $3 x^{3} + 14 x^{2} - 23 x + 6.$ The width of the rectangle is given by $x + 6.$ Find an expression for the length of the rectangle.

ある長方形の面積が $3 x^{3} + 14 x^{2} - 23 x + 6.$ で与えられている。この長方形の横は $x + 6.$ で与えられている。この長方形の縦を表す式を求めよ。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with polynomial division.

多項式の割り算についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Dividing a Trinomial by a Binomial Using Long Division• Dividing a Polynomial by a Binomial Using Long Division • Ex 2: Dividing a Polynomial by a Binomial Using Synthetic Division• Ex 4: Dividing a Polynomial by a Binomial Using Synthetic Division

・筆算を使って三項式を二項式で割る・筆算を使って多項式を二項式で割る・例2: 組立除法を使って多項式を二項式で割る・例4: 組立除法を使って多項式を二項式で割る

Verbal言葉で答える問題

1. If division of a polynomial by a binomial results in a remainder of zero, what can be conclude?

1. 多項式を二項式で割った余りが0になるとき、何が結論できるか。

2. If a polynomial of degree $n$ is divided by a binomial of degree 1, what is the degree of the quotient?

2. $n$ 次の多項式を1次の二項式で割ると、商は何次になるか。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, use long division to divide. Specify the quotient and the remainder.

次の各問について、筆算を使って割れ。商と余りを答えよ。

3. $(x^{2} + 5 x - 1) \div (x - 1)$

4. $(2 x^{2} - 9 x - 5) \div (x - 5)$

5. $(3 x^{2} + 23 x + 14) \div (x + 7)$

6. $(4 x^{2} - 10 x + 6) \div (4 x + 2)$

7. $(6 x^{2} - 25 x - 25) \div (6 x + 5)$

8. $(- x^{2} - 1) \div (x + 1)$

9. $(2 x^{2} - 3 x + 2) \div (x + 2)$

10. $(x^{3} - 126) \div (x - 5)$

11. $(3 x^{2} - 5 x + 4) \div (3 x + 1)$

12. $(x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 6) \div (x - 2)$

13. $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 15) \div (x + 3)$

For the following exercises, use synthetic division to find the quotient. Ensure the equation is in the form required by synthetic division. (Hint: divide the dividend and divisor by the coefficient of the linear term in the divisor.)

次の各問について、組立除法を使って商を求めよ。式が組立除法に必要な形になっていることを確かめよ。(ヒント: 割られる式と割る式を、割る式の一次の項の係数で割る。)

14. $(3 x^{3} + 2 x^{2} - x + 4) \div (x - 3)$

15. $(2 x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 6) \div (x - 4)$

16. $(6 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 15) \div (x + 1)$

17. $(4 x^{3} - 12 x^{2} - 5 x - 1) \div (2 x + 1)$

18. $(9 x^{3} - 9 x^{2} + 18 x + 5) \div (3 x - 1)$

19. $(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4) \div (x + 3)$

20. $(- 6 x^{3} + x^{2} - 4) \div (2 x - 3)$

21. $(2 x^{3} + 7 x^{2} - 13 x - 3) \div (2 x - 3)$

22. $(3 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 3) \div (x + 2)$

23. $(4 x^{3} - 5 x^{2} + 13) \div (x + 4)$

24. $(x^{3} - 3 x + 2) \div (x + 2)$

25. $(x^{3} - 21 x^{2} + 147 x - 343) \div (x - 7)$

26. $(x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) \div (x - 5)$

27. $(9 x^{3} - x + 2) \div (3 x - 1)$

28. $(6 x^{3} - x^{2} + 5 x + 2) \div (3 x + 1)$

29. $(x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1) \div (x + 1)$

30. $(x^{4} - 3 x^{2} + 1) \div (x - 1)$

31. $(x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6) \div (x + 3)$

32. $(x^{4} - 10 x^{3} + 37 x^{2} - 60 x + 36) \div (x - 2)$

33. $(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16) \div (x - 2)$

34. $(x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10) \div (x + 5)$

35. $(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) \div (x - 3)$

36. $(4 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 2) \div (2 x - 1)$

37. $(4 x^{4} + 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 2) \div (2 x + 1)$

For the following exercises, use synthetic division to determine whether the first expression is a factor of the second. If it is, indicate the factorization.

次の各問について、組立除法を使って、最初の式が二番目の式の因数かどうかを判定せよ。因数なら、その因数分解を示せ。

38. $x - 2, 4 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 4$

39. $x - 2, 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x + 10$

40. $x + 3, - 4 x^{3} + 5 x^{2} + 8$

41. $x - 2, 4 x^{4} - 15 x^{2} - 4$

42. $x - \frac{1}{2}, 2 x^{4} - x^{3} + 2 x - 1$

43. $x + \frac{1}{3}, 3 x^{4} + x^{3} - 3 x + 1$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, use the graph of the third-degree polynomial and one factor to write the factored form of the polynomial suggested by the graph. The leading coefficient is one.

次の各問について、3次多項式のグラフと因数の一つを使って、そのグラフが示す多項式を因数分解した形で書け。最高次係数は1とする。

44. Factor is $x^{2} - x + 3$

44. 因数は $x^{2} - x + 3$

Graph of a polynomial that has a x-intercept at -1.

45. Factor is $(x^{2} + 2 x + 4)$

45. 因数は $(x^{2} + 2 x + 4)$

46. Factor is $x^{2} + 2 x + 5$

46. 因数は $x^{2} + 2 x + 5$

Graph of a polynomial that has a x-intercept at 2.

47. Factor is $x^{2} + x + 1$

47. 因数は $x^{2} + x + 1$

Graph of a polynomial that has a x-intercept at 5.

48. Factor is $x^{2} + 2 x + 2$

48. 因数は $x^{2} + 2 x + 2$

Graph of a polynomial that has a x-intercept at -3.

For the following exercises, use synthetic division to find the quotient and remainder.

次の各問について、組立除法を使って商と余りを求めよ。

49. $\frac{4 x^{3} - 33}{x - 2}$

50. $\frac{2 x^{3} + 25}{x + 3}$

51. $\frac{3 x^{3} + 2 x - 5}{x - 1}$

52. $\frac{- 4 x^{3} - x^{2} - 12}{x + 4}$

53. $\frac{x^{4} - 22}{x + 2}$

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a calculator with CAS to answer the questions.

次の各問について、CAS付きの電卓を使って答えよ。

54. Consider $\frac{x^{k} - 1}{x - 1}$ with $k = 1, 2, 3.$ What do you expect the result to be if $k = 4 ?$

54. $k = 1, 2, 3.$ として $\frac{x^{k} - 1}{x - 1}$ を考えよ。 $k = 4 ?$ のとき、結果はどうなると見込まれるか。

55. Consider $\frac{x^{k} + 1}{x + 1}$ for $k = 1, 3, 5.$ What do you expect the result to be if $k = 7 ?$

55. $k = 1, 3, 5.$ について $\frac{x^{k} + 1}{x + 1}$ を考えよ。 $k = 7 ?$ のとき、結果はどうなると見込まれるか。

56. Consider $\frac{x^{4} - k^{4}}{x - k}$ for $k = 1, 2, 3.$ What do you expect the result to be if $k = 4 ?$

56. $k = 1, 2, 3.$ について $\frac{x^{4} - k^{4}}{x - k}$ を考えよ。 $k = 4 ?$ のとき、結果はどうなると見込まれるか。

57. Consider $\frac{x^{k}}{x + 1}$ with $k = 1, 2, 3.$ What do you expect the result to be if $k = 4 ?$

57. $k = 1, 2, 3.$ として $\frac{x^{k}}{x + 1}$ を考えよ。 $k = 4 ?$ のとき、結果はどうなると見込まれるか。

58. Consider $\frac{x^{k}}{x - 1}$ with $k = 1, 2, 3.$ What do you expect the result to be if $k = 4 ?$

58. $k = 1, 2, 3.$ として $\frac{x^{k}}{x - 1}$ を考えよ。 $k = 4 ?$ のとき、結果はどうなると見込まれるか。

Extensions発展問題

For the following exercises, use synthetic division to determine the quotient involving a complex number.

次の各問について、組立除法を使って、複素数を含む商を求めよ。

59. $\frac{x + 1}{x - i}$

60. $\frac{x^{2} + 1}{x - i}$

61. $\frac{x + 1}{x + i}$

62. $\frac{x^{2} + 1}{x + i}$

63. $\frac{x^{3} + 1}{x - i}$

Real-World Applications応用問題

For the following exercises, use the given length and area of a rectangle to express the width algebraically.

次の各問について、与えられた長方形の縦と面積から、横を代数的に表せ。

64. Length is $x + 5,$ area is $2 x^{2} + 9 x - 5.$

64. 縦は $x + 5$ 、面積は $2 x^{2} + 9 x - 5.$

65. Length is $2 x + 5,$ area is $4 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 15$

65. 縦は $2 x + 5$ 、面積は $4 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 15$

66. Length is $3 x - 4,$ area is $6 x^{4} - 8 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 4$

66. 縦は $3 x - 4$ 、面積は $6 x^{4} - 8 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 4$

For the following exercises, use the given volume of a box and its length and width to express the height of the box algebraically.

次の各問について、与えられた箱の体積と縦と横から、その箱の高さを代数的に表せ。

67. Volume is $12 x^{3} + 20 x^{2} - 21 x - 36,$ length is $2 x + 3,$ width is $3 x - 4.$

67. 体積は $12 x^{3} + 20 x^{2} - 21 x - 36$ 、縦は $2 x + 3$ 、横は $3 x - 4.$

68. Volume is $18 x^{3} - 21 x^{2} - 40 x + 48,$ length is $3 x - 4,$ width is $3 x - 4.$

68. 体積は $18 x^{3} - 21 x^{2} - 40 x + 48$ 、縦は $3 x - 4$ 、横は $3 x - 4.$

69. Volume is $10 x^{3} + 27 x^{2} + 2 x - 24,$ length is $5 x - 4,$ width is $2 x + 3.$

69. 体積は $10 x^{3} + 27 x^{2} + 2 x - 24$ 、縦は $5 x - 4$ 、横は $2 x + 3.$

70. Volume is $10 x^{3} + 30 x^{2} - 8 x - 24,$ length is $2,$ width is $x + 3.$

70. 体積は $10 x^{3} + 30 x^{2} - 8 x - 24$ 、縦は $2$ 、横は $x + 3.$

For the following exercises, use the given volume and radius of a cylinder to express the height of the cylinder algebraically.

次の各問について、与えられた円柱の体積と半径から、その円柱の高さを代数的に表せ。

71. Volume is $π (25 x^{3} - 65 x^{2} - 29 x - 3),$ radius is $5 x + 1.$

71. 体積は $π (25 x^{3} - 65 x^{2} - 29 x - 3)$ 、半径は $5 x + 1.$

72. Volume is $π (4 x^{3} + 12 x^{2} - 15 x - 50),$ radius is $2 x + 5.$

72. 体積は $π (4 x^{3} + 12 x^{2} - 15 x - 50)$ 、半径は $2 x + 5.$

73. Volume is $π (3 x^{4} + 24 x^{3} + 46 x^{2} - 16 x - 32),$ radius is $x + 4.$

73. 体積は $π (3 x^{4} + 24 x^{3} + 46 x^{2} - 16 x - 32)$ 、半径は $x + 4.$