プリンピキア

第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

5.3 多項式関数のグラフ

Understanding the Relationship between Degree and Turning Points次数と折り返しの点の関係を理解する

In addition to the end behavior, recall that we can analyze a polynomial function’s local behavior. It may have a turning point where the graph changes from increasing to decreasing (rising to falling) or decreasing to increasing (falling to rising). Look at the graph of the polynomial function f(x)=x 4 −x 3 −4x 2 +4x in Figure 12. The graph has three turning points.

端のふるまいに加えて、多項式関数の局所のふるまいも調べられるのを思い出そう。グラフが増加から減少に(上がりから下がりに)、あるいは減少から増加に(下がりから上がりに)変わる折り返しの点があるかもしれない。図12の多項式関数 f(x)=x 4 −x 3 −4x 2 +4x のグラフを見よ。このグラフには折り返しの点が三つある。

Graph of an odd-degree polynomial with a negative leading coefficient. Note that as x goes to positive infinity, f(x) goes to negative infinity, and as x goes to negative infinity, f(x) goes to positive infinity.

This function f is a 4th degree polynomial function and has 3 turning points. The maximum number of turning points of a polynomial function is always one less than the degree of the function.

この関数 f は4次の多項式関数で、折り返しの点が3個ある。多項式関数の折り返しの点の最大の数は、つねにその関数の次数より一つ少ない。

Interpreting Turning Points 極値の読み取り

A turning point is a point of the graph where the graph changes from increasing to decreasing (rising to falling) or decreasing to increasing (falling to rising).

折り返しの点とは、グラフが増加から減少に(上がりから下がりに)、あるいは減少から増加に(下がりから上がりに)変わる、グラフ上の点である。

A polynomial of degree n will have at most n−1 turning points.

n 次の多項式の折り返しの点は、たかだか n−1 個である。

Example 7例7

Finding the Maximum Number of Turning Points Using the Degree of a Polynomial Function多項式関数の次数を使って、折り返しの点の最大の数を求める

Find the maximum number of turning points of each polynomial function.

次の各多項式関数について、折り返しの点の最大の数を求めよ。

ⓐf(x)=−x 3 +4x 5 −3x 2 +1ⓑf(x)=−( x−1 ) 2 ( 1+2x 2 )

Solution 解答

ⓐFirst, rewrite the polynomial function in descending order: f(x)=4x 5 −x 3 −3x 2 +1 Identify the degree of the polynomial function. This polynomial function is of degree 5. The maximum number of turning points is 5−1=4.ⓑFirst, identify the leading term of the polynomial function if the function were expanded. Then, identify the degree of the polynomial function. This polynomial function is of degree 4. The maximum number of turning points is 4−1=3.

ⓐまず、多項式関数を次数の高い順に書き直す: f(x)=4x 5 −x 3 −3x 2 +1。この多項式関数の次数を見分ける。この多項式関数は5次である。折り返しの点の最大の数は 5−1=4. である。ⓑまず、この関数を展開したとしたときの最高次の項を見分ける。次に、この多項式関数の次数を見分ける。この多項式関数は4次である。折り返しの点の最大の数は 4−1=3. である。