第5章多項式関数と有理関数Polynomial and Rational Functions

5.1 Quadratic Functions5.1 二次関数

Learning Objectives 学習目標

In this section, you will:

この節を終えると、次のことができるようになる。

• Recognize characteristics of parabolas.• Understand how the graph of a parabola is related to its quadratic function.• Determine a quadratic function’s minimum or maximum value.• Solve problems involving a quadratic function’s minimum or maximum value.

・放物線の特徴を見分ける。・放物線のグラフが、その二次関数とどう結びつくかを理解する。・二次関数の最小値または最大値を決める。・二次関数の最小値・最大値に関わる問題を解く。

Satellite dishes. — Figure 1 An array of satellite dishes. (credit: Matthew Colvin de Valle, Flickr)図1 衛星放送用の受信皿の列。(出典: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Curved antennas, such as the ones shown in Figure 1, are commonly used to focus microwaves and radio waves to transmit television and telephone signals, as well as satellite and spacecraft communication. The cross-section of the antenna is in the shape of a parabola, which can be described by a quadratic function.

図1のような曲面を持つアンテナは、マイクロ波などの電波を集め、テレビ・電話の通信や、人工衛星・宇宙船との通信に使われる。アンテナの断面は放物線の形をしており、その形は二次関数で表せる。

In this section, we will investigate quadratic functions, which frequently model problems involving area and projectile motion. Working with quadratic functions can be less complex than working with higher degree functions, so they provide a good opportunity for a detailed study of function behavior.

この節では二次関数を調べる。二次関数は、面積や投げ上げた物の運動に関わる問題をよく表す。二次関数の扱いは、より次数の高い関数より込み入っていないので、関数のふるまいを詳しく調べるよい機会になる。

Recognizing Characteristics of Parabolas放物線の特徴を見分ける

The graph of a quadratic function is a U-shaped curve called a parabola. One important feature of the graph is that it has an extreme point, called the vertex. If the parabola opens up, the vertex represents the lowest point on the graph, or the minimum value of the quadratic function. If the parabola opens down, the vertex represents the highest point on the graph, or the maximum value. In either case, the vertex is a turning point on the graph. The graph is also symmetric with a vertical line drawn through the vertex, called the axis of symmetry. These features are illustrated in Figure 2.

二次関数のグラフは、放物線と呼ばれるU字形の曲線である。このグラフの大事な特徴の一つが、頂点と呼ばれる極端な点を持つことである。放物線が上に開いていれば、頂点はグラフのいちばん低い点、すなわち二次関数の最小値を表す。下に開いていれば、頂点はいちばん高い点、すなわち最大値を表す。どちらの場合も、頂点はグラフの折り返しの点である。またグラフは、頂点を通る縦の直線に関して対称であり、この直線を対称の軸という。これらの特徴を図2に示す。

Graph of a parabola showing where the x and y intercepts, vertex, and axis of symmetry are.

The y-intercept is the point at which the parabola crosses the y-axis. The x-intercepts are the points at which the parabola crosses the x-axis. If they exist, the x-intercepts represent the zeros, or roots, of the quadratic function, the values of $x$ at which $y = 0.$

y切片は放物線が y軸と交わる点である。x切片は放物線が x軸と交わる点である。x切片が存在すれば、それはこの二次関数の零点すなわち根、つまり $y = 0.$ となる $x$ の値を表す。

Example 1例1

Identifying the Characteristics of a Parabola放物線の特徴を見分ける

Determine the vertex, axis of symmetry, zeros, and $y -$ intercept of the parabola shown in Figure 3.

図3に示した放物線の頂点・対称の軸・零点・ $y -$ 切片を求めよ。

Graph of a parabola with a vertex at (3, 1) and a y-intercept at (0, 7).

Solution 解答

The vertex is the turning point of the graph. We can see that the vertex is at $(3, 1) .$ Because this parabola opens upward, the axis of symmetry is the vertical line that intersects the parabola at the vertex. So the axis of symmetry is $x = 3.$ This parabola does not cross the $x -$ axis, so it has no zeros. It crosses the $y -$ axis at $(0, 7)$ so this is the y-intercept.

頂点はグラフの折り返しの点である。頂点が $(3, 1)$ にあることが分かる。この放物線は上に開いているので、対称の軸は頂点で放物線と交わる縦の直線である。よって対称の軸は $x = 3.$ である。この放物線は $x -$ 軸と交わらないので、零点は無い。 $y -$ 軸とは $(0, 7)$ で交わるので、これが y切片である。

Understanding How the Graphs of Parabolas are Related to Their Quadratic Functions放物線のグラフが二次関数とどう結びつくかを理解する

The general form of a quadratic function presents the function in the form

二次関数の一般形は、関数を次の形で表す。

f (x) = a x^{2} + b x + c

where $a, b,$ and $c$ are real numbers and $a \neq 0.$ If $a > 0,$ the parabola opens upward. If $a < 0,$ the parabola opens downward. We can use the general form of a parabola to find the equation for the axis of symmetry.

ここで $a, b$ と $c$ は実数で、 $a \neq 0.$ とする。 $a > 0$ なら放物線は上に開く。 $a < 0$ なら下に開く。放物線の一般形を使えば、対称の軸の方程式を求められる。

The axis of symmetry is defined by $x = - \frac{b}{2 a} .$ If we use the quadratic formula, $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},$ to solve $a x^{2} + b x + c = 0$ for the $x -$ intercepts, or zeros, we find the value of $x$ halfway between them is always $x = - \frac{b}{2 a},$ the equation for the axis of symmetry.

対称の軸は $x = - \frac{b}{2 a}$ で定まる。解の公式 $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ を使って $a x^{2} + b x + c = 0$ を解き、 $x -$ 切片すなわち零点を求めると、その中間にある $x$ の値はつねに $x = - \frac{b}{2 a}$ 、すなわち対称の軸の方程式になる。

Figure 4 represents the graph of the quadratic function written in general form as $y = x^{2} + 4 x + 3.$ In this form, $a = 1, b = 4,$ and $c = 3.$ Because $a > 0,$ the parabola opens upward. The axis of symmetry is $x = - \frac{4}{2 (1)} = −2.$ This also makes sense because we can see from the graph that the vertical line $x = −2$ divides the graph in half. The vertex always occurs along the axis of symmetry. For a parabola that opens upward, the vertex occurs at the lowest point on the graph, in this instance, $(−2, −1) .$ The $x -$ intercepts, those points where the parabola crosses the $x -$ axis, occur at $(−3, 0)$ and $(−1, 0) .$

図4は、一般形で $y = x^{2} + 4 x + 3.$ と書かれた二次関数のグラフを表す。この形では $a = 1, b = 4$ 、 $c = 3.$ である。 $a > 0$ なので放物線は上に開く。対称の軸は $x = - \frac{4}{2 (1)} = −2.$ である。縦の直線 $x = −2$ がグラフを半分に分けているのがグラフから見てとれるので、これも理にかなっている。頂点はつねに対称の軸の上にある。上に開く放物線では、頂点はグラフのいちばん低い点、この場合は $(−2, −1)$ に現れる。放物線が $x -$ 軸と交わる点である $x -$ 切片は、 $(−3, 0)$ と $(−1, 0)$ に現れる。

Graph of a parabola showing where the x and y intercepts, vertex, and axis of symmetry are for the function y=x^2+4x+3.

The standard form of a quadratic function presents the function in the form

二次関数の標準形は、関数を次の形で表す。

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

where $(h, k)$ is the vertex. Because the vertex appears in the standard form of the quadratic function, this form is also known as the vertex form of a quadratic function.

ここで $(h, k)$ が頂点である。二次関数の標準形には頂点が現れるので、この形を二次関数の頂点形ともいう。

As with the general form, if $a > 0,$ the parabola opens upward and the vertex is a minimum. If $a < 0,$ the parabola opens downward, and the vertex is a maximum. Figure 5 represents the graph of the quadratic function written in standard form as $y = −3 {(x + 2)}^{2} + 4.$ Since $x - h = x + 2$ in this example, $h = –2.$ In this form, $a = −3, h = −2,$ and $k = 4.$ Because $a < 0,$ the parabola opens downward. The vertex is at $(- 2, 4) .$

一般形と同じく、 $a > 0$ なら放物線は上に開き、頂点は最小値になる。 $a < 0$ なら下に開き、頂点は最大値になる。図5は、標準形で $y = −3 {(x + 2)}^{2} + 4.$ と書かれた二次関数のグラフを表す。この例では $x - h = x + 2$ なので $h = –2.$ である。この形では $a = −3, h = −2$ 、 $k = 4.$ である。 $a < 0$ なので放物線は下に開く。頂点は $(- 2, 4)$ にある。

Graph of a parabola showing where the x and y intercepts, vertex, and axis of symmetry are for the function y=-3(x+2)^2+4.

The standard form is useful for determining how the graph is transformed from the graph of $y = x^{2} .$ Figure 6 is the graph of this basic function.

標準形は、グラフが $y = x^{2}$ のグラフからどう変形されたかを決めるのに役立つ。図6がこの基本の関数のグラフである。

If $k > 0,$ the graph shifts upward, whereas if $k < 0,$ the graph shifts downward. In Figure 5, $k > 0,$ so the graph is shifted 4 units upward. If $h > 0,$ the graph shifts toward the right and if $h < 0,$ the graph shifts to the left. In Figure 5, $h < 0,$ so the graph is shifted 2 units to the left. The magnitude of $a$ indicates the stretch of the graph. If $| a | > 1,$ the point associated with a particular $x -$ value shifts farther from the x-axis, so the graph appears to become narrower, and there is a vertical stretch. But if $| a | < 1,$ the point associated with a particular $x -$ value shifts closer to the x-axis, so the graph appears to become wider, but in fact there is a vertical compression. In Figure 5, $| a | > 1,$ so the graph becomes narrower.

$k > 0$ ならグラフは上へ、 $k < 0$ なら下へ動く。図5では $k > 0$ なので、グラフは上へ4だけ動いている。 $h > 0$ ならグラフは右へ、 $h < 0$ なら左へ動く。図5では $h < 0$ なので、グラフは左へ2だけ動いている。 $a$ の大きさがグラフの伸び具合を示す。 $| a | > 1$ なら、ある $x -$ の値に対応する点は x軸からより遠くへ動くので、グラフは狭くなったように見え、縦の拡大が起きている。 $| a | < 1$ なら、ある $x -$ の値に対応する点は x軸により近づくので、グラフは広くなったように見えるが、実際には縦の縮小である。図5では $| a | > 1$ なので、グラフは狭くなる。

The standard form and the general form are equivalent methods of describing the same function. We can see this by expanding out the general form and setting it equal to the standard form.

標準形と一般形は、同じ関数を述べる同等の方法である。一般形を展開して標準形と等しいとおけば、それが分かる。

\begin{matrix} a {(x - h)}^{2} + k & = & a x^{2} + b x + c \\ a x^{2} - 2 a h x + (a h^{2} + k) & = & a x^{2} + b x + c \end{matrix}

For the linear terms to be equal, the coefficients must be equal.

一次の項が等しくなるには、係数が等しくなければならない。

–2 a h = b, so h = - \frac{b}{2 a}

This is the axis of symmetry we defined earlier. Setting the constant terms equal:

これが先に定めた対称の軸である。定数項を等しいとおくと、

\begin{matrix} a h^{2} + k & = & c \\ k & = & c - a h^{2} \\ = & c - a - {(\frac{b}{2 a})}^{2} \\ = & c - \frac{b^{2}}{4 a} \end{matrix}

In practice, though, it is usually easier to remember that k is the output value of the function when the input is $h,$ so $f (h) = k .$

ただし実際には、k は入力が $h$ のときのこの関数の出力値である、と覚えておく方がたいてい楽である。よって $f (h) = k$ となる。

Forms of Quadratic Functions 二次関数の式の形

A quadratic function is a polynomial function of degree two. The graph of a quadratic function is a parabola.

二次関数とは2次の多項式関数である。二次関数のグラフは放物線である。

The general form of a quadratic function is $f (x) = a x^{2} + b x + c$ where $a, b,$ and $c$ are real numbers and $a \neq 0.$

二次関数の一般形は $f (x) = a x^{2} + b x + c$ である。ここで $a, b$ と $c$ は実数で、 $a \neq 0.$ とする。

The standard form of a quadratic function is $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ where $a \neq 0.$

二次関数の標準形は $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ である。ここで $a \neq 0.$ とする。

The vertex $(h, k)$ is located at

頂点 $(h, k)$ は次の位置にある。

h = - \frac{b}{2 a}, k = f (h) = f (\frac{- b}{2 a})

How to 手順

Given a graph of a quadratic function, write the equation of the function in general form.

二次関数のグラフが与えられたとき、その関数の方程式を一般形で書く。

1. Identify the horizontal shift of the parabola; this value is $h .$ Identify the vertical shift of the parabola; this value is $k .$ 2. Substitute the values of the horizontal and vertical shift for $h$ and $k .$ in the function $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k .$ 3. Substitute the values of any point, other than the vertex, on the graph of the parabola for $x$ and $f (x) .$ 4. Solve for the stretch factor, $| a | .$ 5. Expand and simplify to write in general form.

1. 放物線の横の平行移動を見分ける。この値が $h$ である。縦の平行移動を見分ける。この値が $k$ である。2. 横と縦の平行移動の値を、関数 $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ の $h$ と $k$ に代入する。3. 放物線のグラフ上の、頂点以外のどれか一点の値を $x$ と $f (x)$ に代入する。4. 拡大の係数 $| a |$ について解く。5. 展開して簡単にし、一般形で書く。

Example 2例2

Writing the Equation of a Quadratic Function from the Graphグラフから二次関数の方程式を書く

Write an equation for the quadratic function $g$ in Figure 7 as a transformation of $f (x) = x^{2},$ and then expand the formula, and simplify terms to write the equation in general form.

図7の二次関数 $g$ の方程式を、 $f (x) = x^{2}$ の変形として書け。そのうえで式を展開し、項を簡単にして方程式を一般形で書け。

Graph of a parabola with its vertex at (-2, -3).

Solution 解答

We can see the graph of g is the graph of $f (x) = x^{2}$ shifted to the left 2 and down 3, giving a formula in the form $g (x) = a {(x - (−2))}^{2} - 3 = a {(x + 2)}^{2} - 3.$

g のグラフは $f (x) = x^{2}$ のグラフを左へ2、下へ3だけ動かしたものだと分かるので、 $g (x) = a {(x - (−2))}^{2} - 3 = a {(x + 2)}^{2} - 3.$ の形の式になる。

Substituting the coordinates of a point on the curve, such as $(0, −1),$ we can solve for the stretch factor.

曲線上の点、たとえば $(0, −1)$ の座標を代入すれば、拡大の係数について解ける。

\begin{matrix} - 1 & = & a {(0 + 2)}^{2} - 3 \\ 2 & = & 4 a \\ a & = & \frac{1}{2} \end{matrix}

In standard form, the algebraic model for this graph is $(g) x = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$

標準形では、このグラフの式は $(g) x = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$ である。

To write this in general polynomial form, we can expand the formula and simplify terms.

これを多項式の一般形で書くには、式を展開して項を簡単にすればよい。

\begin{matrix} g (x) & = & \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3 \\ = & \frac{1}{2} (x + 2) (x + 2) - 3 \\ = & \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 - 3 \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1 \end{matrix}

Notice that the horizontal and vertical shifts of the basic graph of the quadratic function determine the location of the vertex of the parabola; the vertex is unaffected by stretches and compressions.

二次関数の基本のグラフの横と縦の平行移動が、放物線の頂点の位置を決めることに注意せよ。頂点は拡大や縮小の影響を受けない。

Analysis 考察

We can check our work using the table feature on a graphing utility. First enter $Y1 = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$ Next, select $TBLSET,$ then use $TblStart = - 6$ and $Δ Tbl = 2,$ and select $TABLE .$ See Table 1.

グラフ作成ツールの表の機能を使えば、答えを確かめられる。まず $Y1 = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$ を入れる。次に $TBLSET,$ を選び、 $TblStart = - 6$ と $Δ Tbl = 2,$ を使って $TABLE$ を選ぶ。表1を見よ。

$x$	–6	–4	–2	0	2
$y$	5	–1	–3	–1	5

The ordered pairs in the table correspond to points on the graph.

表の順序対はグラフ上の点に対応する。

Try It #1やってみよう1

A coordinate grid has been superimposed over the quadratic path of a basketball in Figure 8. Assume that the point (–4, 7) is the highest point of the basketball’s trajectory. Find an equation for the path of the ball. Does the shooter make the basket?

図8では、バスケットボールの二次の軌道の上に座標の格子が重ねてある。点 (–4, 7) がボールの軌道のいちばん高い点だとする。ボールの通り道の方程式を求めよ。この投げ手はゴールを決めるか。

Stop motioned picture of a boy throwing a basketball into a hoop to show the parabolic curve it makes. — Figure 8 (credit: modification of work by Dan Meyer)図8 (出典: Dan Meyer の作品を改変)

How To 手順

Given a quadratic function in general form, find the vertex of the parabola.

一般形の二次関数が与えられたとき、放物線の頂点を求める。

1. Identify $a, b, and c .$ 2. Find $h,$ the x-coordinate of the vertex, by substituting $a$ and $b$ into $h = - \frac{b}{2 a} .$ 3. Find $k,$ the y-coordinate of the vertex, by evaluating $k = f (h) = f (- \frac{b}{2 a}) .$

1. $a, b, および c$ を見分ける。2. $a$ と $b$ を $h = - \frac{b}{2 a}$ に代入して、頂点の x座標 $h$ を求める。3. $k = f (h) = f (- \frac{b}{2 a})$ の値を求めて、頂点の y座標 $k$ を求める。

Example 3例3

Finding the Vertex of a Quadratic Function二次関数の頂点を求める

Find the vertex of the quadratic function $f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 7.$ Rewrite the quadratic in standard form (vertex form).

二次関数 $f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 7.$ の頂点を求めよ。この二次関数を標準形(頂点形)で書き直せ。

Solution 解答

$\begin{matrix} The horizontal coordinate of the vertex will be at \\ h & = & - \frac{b}{2 a} \\ = & - \frac{−6}{2 (2)} \\ = & \frac{6}{4} \\ = & \frac{3}{2} \\ The vertical coordinate of the vertex will be at \\ k & = & f (h) \\ = & f (\frac{3}{2}) \\ = & 2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 7 \\ = & \frac{5}{2} \end{matrix}$

Rewriting into standard form, the stretch factor will be the same as the $a$ in the original quadratic. First, find the horizontal coordinate of the vertex. Then find the vertical coordinate of the vertex. Substitute the values into standard form, using the " $a$ " from the general form.

標準形に書き直すとき、拡大の係数はもとの二次関数の $a$ と同じになる。まず頂点の横の座標を求める。次に頂点の縦の座標を求める。一般形の「 $a$ 」を使って、その値を標準形に代入する。

\begin{matrix} f (x) & = & a x^{2} + b x + c \\ f (x) & = & 2 x^{2} - 6 x + 7 \end{matrix}

The standard form of a quadratic function prior to writing the function then becomes the following:

関数を書く前の二次関数の標準形は、次のようになる。

f (x) = 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2}

Analysis 考察

One reason we may want to identify the vertex of the parabola is that this point will inform us where the maximum or minimum value of the output occurs, $k,$ and where it occurs, $x .$

放物線の頂点を見分けたい理由の一つは、この点が出力の最大値または最小値 $k$ と、それが起きる場所 $x$ を教えてくれることである。

Try It #2やってみよう2

Given the equation $g (x) = 13 + x^{2} - 6 x,$ write the equation in general form and then in standard form.

方程式 $g (x) = 13 + x^{2} - 6 x$ が与えられたとき、この方程式を一般形で、そのうえで標準形で書け。

Finding the Domain and Range of a Quadratic Function二次関数の定義域と値域を求める

Any number can be the input value of a quadratic function. Therefore, the domain of any quadratic function is all real numbers. Because parabolas have a maximum or a minimum point, the range is restricted. Since the vertex of a parabola will be either a maximum or a minimum, the range will consist of all y-values greater than or equal to the y-coordinate at the turning point or less than or equal to the y-coordinate at the turning point, depending on whether the parabola opens up or down.

どんな数も二次関数の入力値になりうる。よってどんな二次関数の定義域も実数全体である。放物線には最大の点か最小の点があるので、値域には制限がある。放物線の頂点は最大か最小のどちらかなので、放物線が上に開くか下に開くかに応じて、値域は折り返しの点の y座標以上の y の値すべてか、その y座標以下の y の値すべてになる。

Domain and Range of a Quadratic Function 二次関数の定義域と値域

The domain of any quadratic function is all real numbers unless the context of the function presents some restrictions.

関数の文脈に何か制限が無い限り、どんな二次関数の定義域も実数全体である。

The range of a quadratic function written in general form $f (x) = a x^{2} + b x + c$ with a positive $a$ value is $f (x) \geq f (- \frac{b}{2 a}),$ or $[f (- \frac{b}{2 a}), \infty);$ the range of a quadratic function written in general form with a negative $a$ value is $f (x) \leq f (- \frac{b}{2 a}),$ or $(- \infty, f (- \frac{b}{2 a})] .$

一般形 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ で書かれ $a$ の値が正である二次関数の値域は $f (x) \geq f (- \frac{b}{2 a})$ すなわち $[f (- \frac{b}{2 a}), \infty);$ である。一般形で書かれ $a$ の値が負である二次関数の値域は $f (x) \leq f (- \frac{b}{2 a})$ すなわち $(- \infty, f (- \frac{b}{2 a})]$ である。

The range of a quadratic function written in standard form $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ with a positive $a$ value is $f (x) \geq k;$ the range of a quadratic function written in standard form with a negative $a$ value is $f (x) \leq k .$

標準形 $f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$ で書かれ $a$ の値が正である二次関数の値域は $f (x) \geq k;$ である。標準形で書かれ $a$ の値が負である二次関数の値域は $f (x) \leq k$ である。

How To 手順

Given a quadratic function, find the domain and range.

二次関数が与えられたとき、その定義域と値域を求める。

1. Identify the domain of any quadratic function as all real numbers.2. Determine whether $a$ is positive or negative. If $a$ is positive, the parabola has a minimum. If $a$ is negative, the parabola has a maximum.3. Determine the maximum or minimum value of the parabola, $k .$ 4. If the parabola has a minimum, the range is given by $f (x) \geq k,$ or $[k, \infty) .$ If the parabola has a maximum, the range is given by $f (x) \leq k,$ or $(- \infty, k] .$

1. どんな二次関数でも、定義域は実数全体だと分かる。2. $a$ が正か負かを決める。 $a$ が正なら放物線は最小値を持つ。 $a$ が負なら最大値を持つ。3. 放物線の最大値または最小値 $k$ を決める。4. 放物線が最小値を持つなら、値域は $f (x) \geq k$ すなわち $[k, \infty)$ で与えられる。最大値を持つなら、値域は $f (x) \leq k$ すなわち $(- \infty, k]$ で与えられる。

Example 4例4

Finding the Domain and Range of a Quadratic Function二次関数の定義域と値域を求める

Find the domain and range of $f (x) = - 5 x^{2} + 9 x - 1.$

$f (x) = - 5 x^{2} + 9 x - 1.$ の定義域と値域を求めよ。

Solution 解答

As with any quadratic function, the domain is all real numbers.

どんな二次関数とも同じく、定義域は実数全体である。

Because $a$ is negative, the parabola opens downward and has a maximum value. We need to determine the maximum value. We can begin by finding the $x -$ value of the vertex.

$a$ が負なので、放物線は下に開き最大値を持つ。その最大値を決める必要がある。まず頂点の $x -$ の値を求めるところから始められる。

\begin{matrix} h & = & - \frac{b}{2 a} \\ = & - \frac{9}{2 (−5)} \\ = & \frac{9}{10} \end{matrix}

The maximum value is given by $f (h) .$

最大値は $f (h)$ で与えられる。

\begin{matrix} f (\frac{9}{10}) & = & -5 {(\frac{9}{10})}^{2} + 9 (\frac{9}{10}) - 1 \\ = & \frac{61}{20} \end{matrix}

The range is $f (x) \leq \frac{61}{20},$ or $(- \infty, \frac{61}{20}] .$

値域は $f (x) \leq \frac{61}{20}$ すなわち $(- \infty, \frac{61}{20}]$ である。

Try It #3やってみよう3

Find the domain and range of $f (x) = 2 {(x - \frac{4}{7})}^{2} + \frac{8}{11} .$

$f (x) = 2 {(x - \frac{4}{7})}^{2} + \frac{8}{11}$ の定義域と値域を求めよ。

Determining the Maximum and Minimum Values of Quadratic Functions二次関数の最大値と最小値を決める

The output of the quadratic function at the vertex is the maximum or minimum value of the function, depending on the orientation of the parabola. We can see the maximum and minimum values in Figure 9.

頂点での二次関数の出力が、放物線の向きに応じてこの関数の最大値または最小値になる。図9に最大値と最小値を示す。

Two graphs where the first graph shows the maximum value for f(x)=(x-2)^2+1 which occurs at (2, 1) and the second graph shows the minimum value for g(x)=-(x+3)^2+4 which occurs at (-3, 4).

There are many real-world scenarios that involve finding the maximum or minimum value of a quadratic function, such as applications involving area and revenue.

二次関数の最大値や最小値を求める現実の場面は数多くあり、面積や収入に関わる応用がその例である。

Example 5例5

Finding the Maximum Value of a Quadratic Function二次関数の最大値を求める

A backyard farmer wants to enclose a rectangular space for a new garden within her fenced backyard. She has purchased 80 feet of wire fencing to enclose three sides, and she will use a section of the backyard fence as the fourth side.

裏庭で農作業をする人が、柵に囲まれた裏庭の中に新しい菜園のための長方形の場所を囲いたい。三辺を囲うために80フィートの針金の柵を買った。四辺目には裏庭の柵の一部を使う。

ⓐFind a formula for the area enclosed by the fence if the sides of fencing perpendicular to the existing fence have length $L .$ ⓑWhat dimensions should she make her garden to maximize the enclosed area?

ⓐ既存の柵に垂直な柵の辺の長さを $L$ として、柵で囲まれる面積の式を求めよ。ⓑ囲まれる面積を最大にするには、菜園をどんな寸法にすべきか。

Solution 解答

Let’s use a diagram such as Figure 10 to record the given information. It is also helpful to introduce a temporary variable, $W,$ to represent the width of the garden and the length of the fence section parallel to the backyard fence.

与えられた情報を書き留めるため、図10のような図を使おう。菜園の幅、すなわち裏庭の柵に平行な柵の辺の長さを表す一時的な変数 $W$ を導いておくと役に立つ。

ⓐWe know we have only 80 feet of fence available, and $L + W + L = 80,$ or more simply, $2 L + W = 80.$ This allows us to represent the width, $W,$ in terms of $L .$ $W = 80 - 2 L$ Now we are ready to write an equation for the area the fence encloses. We know the area of a rectangle is length multiplied by width, so $\begin{matrix} A & = & L W = L (80 - 2 L) \\ A (L) & = & 80 L - 2 L^{2} \end{matrix}$ This formula represents the area of the fence in terms of the variable length $L .$ The function, written in general form, is $A (L) = −2 L^{2} + 80 L .$ ⓑThe quadratic has a negative leading coefficient, so the graph will open downward, and the vertex will be the maximum value for the area. In finding the vertex, we must be careful because the equation is not written in standard polynomial form with decreasing powers. This is why we rewrote the function in general form above. Since $a$ is the coefficient of the squared term, $a = −2, b = 80,$ and $c = 0.$

ⓐ使える柵は80フィートしかないので $L + W + L = 80$ 、より簡単には $2 L + W = 80.$ である。これにより、幅 $W$ を $L$ で表せる。 $W = 80 - 2 L$ これで、柵が囲む面積の方程式を書ける。長方形の面積は縦と横の積なので $\begin{matrix} A & = & L W = L (80 - 2 L) \\ A (L) & = & 80 L - 2 L^{2} \end{matrix}$ となる。この式は、辺の長さという変数 $L$ を使って柵の中の面積を表している。この関数を一般形で書くと $A (L) = −2 L^{2} + 80 L$ である。ⓑこの二次関数は最高次係数が負なので、グラフは下に開き、頂点が面積の最大値になる。頂点を求めるときは気をつけなければならない。方程式が乗数の下がる順の標準の多項式の形で書かれていないからである。だから上で一般形に書き直した。 $a$ が二乗の項の係数なので、 $a = −2, b = 80$ 、 $c = 0.$ である。

To find the vertex:

頂点を求めるには、

\begin{matrix} h & = & - \frac{b}{2 a} & k & = & A (20) \\ = & - \frac{80}{2 (−2)} & and & = & 80 (20) - 2 {(20)}^{2} \\ = & 20 & = & 800 \end{matrix}

The maximum value of the function is an area of 800 square feet, which occurs when $L = 20$ feet. When the shorter sides are 20 feet, there is 40 feet of fencing left for the longer side. To maximize the area, she should enclose the garden so the two shorter sides have length 20 feet and the longer side parallel to the existing fence has length 40 feet.

この関数の最大値は面積800平方フィートで、 $L = 20$ フィートのときに現れる。短い方の辺が20フィートのとき、長い方の辺には40フィートの柵が残る。面積を最大にするには、短い二辺の長さを20フィート、既存の柵に平行な長い辺の長さを40フィートにして囲えばよい。

Analysis 考察

This problem also could be solved by graphing the quadratic function. We can see where the maximum area occurs on a graph of the quadratic function in Figure 11.

この問題は、二次関数のグラフを描いても解ける。図11の二次関数のグラフで、面積が最大になるところが見てとれる。

Graph of the parabolic function A(L)=-2L^2+80L, which the x-axis is labeled Length (L) and the y-axis is labeled Area (A). The vertex is at (20, 800).

How To 手順

Given an application involving revenue, use a quadratic equation to find the maximum.

収入に関わる応用が与えられたとき、二次方程式で最大値を求める。

1. Write a quadratic equation for a revenue function.2. Find the vertex of the quadratic equation.3. Determine the y-value of the vertex.

1. 収入の関数の二次方程式を書く。2. その二次方程式の頂点を求める。3. 頂点の y の値を決める。

Example 6例6

Finding Maximum Revenue収入の最大値を求める

The unit price of an item affects its supply and demand. That is, if the unit price goes up, the demand for the item will usually decrease. For example, a local newspaper currently has 84,000 subscribers at a quarterly charge of $30. Market research has suggested that if the owners raise the price to $32, they would lose 5,000 subscribers. Assuming that subscriptions are linearly related to the price, what price should the newspaper charge for a quarterly subscription to maximize their revenue?

品物の単価は、その供給と需要に効く。つまり単価が上がれば、その品物の需要はふつう減る。たとえばある地方紙は、四半期30ドルで現在84,000人の購読者がいる。市場の調べによれば、所有者が値段を32ドルに上げると購読者を5,000人失うという。購読者数が値段と一次の関係にあるとして、収入を最大にするには、この新聞は四半期の購読料をいくらにすべきか。

Solution 解答

Revenue is the amount of money a company brings in. In this case, the revenue can be found by multiplying the price per subscription times the number of subscribers, or quantity. We can introduce variables, $p$ for price per subscription and $Q$ for quantity, giving us the equation $Revenue = p Q .$

収入とは会社が得る金額である。この場合、収入は1件あたりの購読料に購読者数、すなわち数量を掛ければ求まる。1件あたりの購読料を $p$ 、数量を $Q$ という変数で表せば、方程式 $Revenue = p Q$ が得られる。

Because the number of subscribers changes with the price, we need to find a relationship between the variables. We know that currently $p = 30$ and $Q = 84,000.$ We also know that if the price rises to $32, the newspaper would lose 5,000 subscribers, giving a second pair of values, $p = 32$ and $Q = 79,000.$ From this we can find a linear equation relating the two quantities. The slope will be

購読者数は値段とともに変わるので、変数どうしの関係を求める必要がある。現在 $p = 30$ で $Q = 84,000.$ だと分かっている。また値段が32ドルに上がれば購読者を5,000人失うので、二組目の値 $p = 32$ と $Q = 79,000.$ も得られる。ここから、この二つの量を結ぶ一次方程式を求められる。傾きは次のようになる。

\begin{matrix} m & = & \frac{79,000 - 84,000}{32 - 30} \\ = & \frac{−5,000}{2} \\ = & −2,500 \end{matrix}

This tells us the paper will lose 2,500 subscribers for each dollar they raise the price. We can then solve for the y-intercept.

これは、値段を1ドル上げるごとに新聞が購読者を2,500人失うことを教えてくれる。そのうえで y切片について解ける。

\begin{matrix} Q & = & −2500 p + b & Substitute in the point Q = 84,000 and p = 30 \\ 84,000 & = & −2500 (30) + b & Solve for b \\ b & = & 159,000 \end{matrix}

This gives us the linear equation $Q = −2,500 p + 159,000$ relating cost and subscribers. We now return to our revenue equation.

これで、値段と購読者数を結ぶ一次方程式 $Q = −2,500 p + 159,000$ が得られる。ここで収入の方程式に戻る。

\begin{matrix} Revenue & = & p Q \\ Revenue & = & p (−2,500 p + 159,000) \\ Revenue & = & −2,500 p^{2} + 159,000 p \end{matrix}

We now have a quadratic function for revenue as a function of the subscription charge. To find the price that will maximize revenue for the newspaper, we can find the vertex.

これで、購読料の関数としての収入の二次関数が得られた。この新聞の収入を最大にする値段を求めるには、頂点を求めればよい。

\begin{matrix} h & = & - \frac{159,000}{2 (−2,500)} \\ = & 31.8 \end{matrix}

The model tells us that the maximum revenue will occur if the newspaper charges $31.80 for a subscription. To find what the maximum revenue is, we evaluate the revenue function.

このモデルは、新聞が購読料を31.80ドルにすれば収入が最大になると教えてくれる。その最大の収入がいくらかを知るには、収入の関数の値を求める。

\begin{matrix} maximum revenue & = & −2,500 {(31.8)}^{2} + 159,000 (31.8) \\ = & 2,528,100 \end{matrix}

Analysis 考察

This could also be solved by graphing the quadratic as in Figure 12. We can see the maximum revenue on a graph of the quadratic function.

これは図12のように二次関数のグラフを描いても解ける。二次関数のグラフで収入の最大値が見てとれる。

Graph of the parabolic function which the x-axis is labeled Price (p) and the y-axis is labeled Revenue ($). The vertex is at (31.80, 258100).

Finding the x- and y-Intercepts of a Quadratic Function二次関数の x切片と y切片を求める

Much as we did in the application problems above, we also need to find intercepts of quadratic equations for graphing parabolas. Recall that we find the $y -$ intercept of a quadratic by evaluating the function at an input of zero, and we find the $x -$ intercepts at locations where the output is zero. Notice in Figure 13 that the number of $x -$ intercepts can vary depending upon the location of the graph.

上の応用問題でしたのと同じように、放物線を描くにも二次方程式の切片を求める必要がある。二次関数の $y -$ 切片は入力0での関数の値を求めれば得られ、 $x -$ 切片は出力が0になる場所として求まったのを思い出そう。図13では、グラフの位置に応じて $x -$ 切片の数が変わることに注意せよ。

Three graphs where the first graph shows a parabola with no x-intercept, the second is a parabola with one –intercept, and the third parabola is of two x-intercepts. — Figure 13 Number of x-intercepts of a parabola図13 放物線の x切片の数

How To 手順

Given a quadratic function $f (x),$ find the $y -$ and x-intercepts.

二次関数 $f (x)$ が与えられたとき、 $y -$ 切片と x切片を求める。

1. Evaluate $f (0)$ to find the y-intercept.2. Solve the quadratic equation $f (x) = 0$ to find the x-intercepts.

1. $f (0)$ の値を求めて y切片を出す。2. 二次方程式 $f (x) = 0$ を解いて x切片を求める。

Example 7例7

Finding the y- and x-Intercepts of a Parabola放物線の y切片と x切片を求める

Find the y- and x-intercepts of the quadratic $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2.$

二次関数 $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2.$ の y切片と x切片を求めよ。

Solution 解答

We find the y-intercept by evaluating $f (0) .$

$f (0)$ の値を求めて y切片を出す。

\begin{matrix} f (0) & = & 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2 \\ = & −2 \end{matrix}

So the y-intercept is at $(0, −2) .$

よって y切片は $(0, −2)$ にある。

For the x-intercepts, we find all solutions of $f (x) = 0.$

x切片については、 $f (x) = 0.$ の解をすべて求める。

0 = 3 x^{2} + 5 x - 2

In this case, the quadratic can be factored easily, providing the simplest method for solution.

この場合、二次式は容易に因数分解できるので、これがいちばん簡単な解き方である。

0 = (3 x - 1) (x + 2)

So the x-intercepts are at $(\frac{1}{3}, 0)$ and $(- 2, 0) .$

よって x切片は $(\frac{1}{3}, 0)$ と $(- 2, 0)$ にある。

Analysis 考察

By graphing the function, we can confirm that the graph crosses the y-axis at $(0, −2) .$ We can also confirm that the graph crosses the x-axis at $(\frac{1}{3}, 0)$ and $(−2, 0) .$ See Figure 14

この関数のグラフを描けば、グラフが $(0, −2)$ で y軸と交わることを確かめられる。また $(\frac{1}{3}, 0)$ と $(−2, 0)$ で x軸と交わることも確かめられる。図14を見よ。

Graph of a parabola which has the following intercepts (-2, 0), (1/3, 0), and (0, -2).

Rewriting Quadratics in Standard Form二次関数を標準形に書き直す

In Example 7, the quadratic was easily solved by factoring. However, there are many quadratics that cannot be factored. We can solve these quadratics by first rewriting them in standard form.

例7では、二次式は因数分解で容易に解けた。しかし因数分解できない二次式は数多くある。そうした二次式は、まず標準形に書き直せば解ける。

How To 手順

Given a quadratic function, find the $x -$ intercepts by rewriting in standard form.

二次関数が与えられたとき、標準形に書き直して $x -$ 切片を求める。

1. Substitute $a$ and $b$ into $h = - \frac{b}{2 a} .$ 2. Substitute $x = h$ into the general form of the quadratic function to find $k .$ 3. Rewrite the quadratic in standard form using $h$ and $k .$ 4. Solve for when the output of the function will be zero to find the $x -$ intercepts.

1. $a$ と $b$ を $h = - \frac{b}{2 a}$ に代入する。2. $x = h$ を二次関数の一般形に代入して $k$ を求める。3. $h$ と $k$ を使って、二次式を標準形に書き直す。4. この関数の出力が0になるところを解いて、 $x -$ 切片を求める。

Example 8例8

Finding the x-Intercepts of a Parabola放物線の x切片を求める

Find the $x -$ intercepts of the quadratic function $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 4.$

二次関数 $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 4.$ の $x -$ 切片を求めよ。

Solution 解答

We begin by solving for when the output will be zero.

まず出力が0になるところを解くところから始める。

0 = 2 x^{2} + 4 x - 4

Because the quadratic is not easily factorable in this case, we solve for the intercepts by first rewriting the quadratic in standard form.

この場合、二次式は容易には因数分解できないので、まず標準形に書き直して切片を求める。

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

We know that $a = 2.$ Then we solve for $h$ and $k .$

$a = 2.$ だと分かっている。そのうえで $h$ と $k$ について解く。

\begin{matrix} h & = & - \frac{b}{2 a} & k & = & f (−1) \\ = & - \frac{4}{2 (2)} & = & 2 {(−1)}^{2} + 4 (−1) - 4 \\ = & −1 & = & −6 \end{matrix}

So now we can rewrite in standard form.

これで標準形に書き直せる。

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 6

We can now solve for when the output will be zero.

これで出力が0になるところを解ける。

\begin{array}{l} 0 = 2 {(x + 1)}^{2} - 6 \\ 6 = 2 {(x + 1)}^{2} \\ 3 = {(x + 1)}^{2} \\ x + 1 = \pm \sqrt{3} \\ x = - 1 \pm \sqrt{3} \end{array}

The graph has x-intercepts at $(−1 - \sqrt{3}, 0)$ and $(−1 + \sqrt{3}, 0) .$

このグラフの x切片は $(−1 - \sqrt{3}, 0)$ と $(−1 + \sqrt{3}, 0)$ にある。

We can check our work by graphing the given function on a graphing utility and observing the $x -$ intercepts. See Figure 15.

グラフ作成ツールで与えられた関数のグラフを描き、 $x -$ 切片を見れば答えを確かめられる。図15を見よ。

Graph of a parabola which has the following x-intercepts (-2.732, 0) and (0.732, 0).

Analysis 考察

We could have achieved the same results using the quadratic formula. Identify $a = 2, b = 4$ and $c = −4.$

解の公式を使っても同じ結果が得られた。 $a = 2, b = 4$ と $c = −4.$ を見分ける。

\begin{matrix} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = & \frac{−4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (2) (−4)}}{2 (2)} \\ = & \frac{−4 \pm \sqrt{48}}{4} \\ = & \frac{−4 \pm \sqrt{3 (16)}}{4} \\ = & −1 \pm \sqrt{3} \end{matrix}

So the x-intercepts occur at $(- 1 - \sqrt{3}, 0)$ and $(- 1 + \sqrt{3}, 0) .$

よって x切片は $(- 1 - \sqrt{3}, 0)$ と $(- 1 + \sqrt{3}, 0)$ に現れる。

Try It #4やってみよう4

In a Try It, we found the standard and general form for the function $g (x) = 13 + x^{2} - 6 x .$ Now find the y- and x-intercepts (if any).

「やってみよう」で、関数 $g (x) = 13 + x^{2} - 6 x$ の標準形と一般形を求めた。ここで y切片と x切片を(あれば)求めよ。

Example 9例9

Applying the Vertex and x-Intercepts of a Parabola放物線の頂点と x切片を使う

A ball is thrown upward from the top of a 40 foot high building at a speed of 80 feet per second. The ball’s height above ground can be modeled by the equation $H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40.$

高さ40フィートの建物の上から、毎秒80フィートの速さでボールを真上に投げる。地上からのボールの高さは方程式 $H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40.$ で表せる。

ⓐWhen does the ball reach the maximum height?ⓑWhat is the maximum height of the ball?ⓒWhen does the ball hit the ground?

ⓐボールが最高点に達するのはいつか。ⓑボールの最高点の高さはいくらか。ⓒボールが地面に落ちるのはいつか。

Solution 解答

ⓐThe ball reaches the maximum height at the vertex of the parabola. $\begin{matrix} h & = & - \frac{80}{2 (−16)} \\ = & \frac{80}{32} \\ = & \frac{5}{2} \\ = & 2.5 \end{matrix}$ The ball reaches a maximum height after 2.5 seconds.ⓑTo find the maximum height, find the $y -$ coordinate of the vertex of the parabola. $\begin{matrix} k & = & H (- \frac{b}{2 a}) \\ = & H (2.5) \\ = & −16 {(2.5)}^{2} + 80 (2.5) + 40 \\ = & 140 \end{matrix}$ The ball reaches a maximum height of 140 feet.ⓒTo find when the ball hits the ground, we need to determine when the height is zero, $H (t) = 0.$ We use the quadratic formula. $\begin{matrix} t & = & \frac{−80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 (−16) (40)}}{2 (−16)} \\ = & \frac{−80 \pm \sqrt{8960}}{−32} \end{matrix}$ Because the square root does not simplify nicely, we can use a calculator to approximate the values of the solutions. $\begin{array}{l} \begin{array}{l} t = \frac{- 80 - \sqrt{8960}}{- 32} \approx 5.458 & or & t = \frac{- 80 + \sqrt{8960}}{- 32} \approx - 0.458 \end{array} \end{array}$ The second answer is outside the reasonable domain of our model, so we conclude the ball will hit the ground after about 5.458 seconds. See Figure 16. Figure 16 Note that the graph does not represent the physical path of the ball upward and downward. Keep the quantities on each axis in mind while interpreting the graph.

ⓐボールは放物線の頂点で最高点に達する。 $\begin{matrix} h & = & - \frac{80}{2 (−16)} \\ = & \frac{80}{32} \\ = & \frac{5}{2} \\ = & 2.5 \end{matrix}$ ボールは2.5秒後に最高点に達する。ⓑ最高点の高さを求めるには、放物線の頂点の $y -$ 座標を求める。 $\begin{matrix} k & = & H (- \frac{b}{2 a}) \\ = & H (2.5) \\ = & −16 {(2.5)}^{2} + 80 (2.5) + 40 \\ = & 140 \end{matrix}$ ボールは最高で140フィートに達する。ⓒボールが地面に落ちる時刻を求めるには、高さが0になるとき $H (t) = 0.$ を決めればよい。解の公式を使う。 $\begin{matrix} t & = & \frac{−80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 (−16) (40)}}{2 (−16)} \\ = & \frac{−80 \pm \sqrt{8960}}{−32} \end{matrix}$ 平方根がきれいに簡単にならないので、電卓を使って解の値を近似できる。 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} t = \frac{- 80 - \sqrt{8960}}{- 32} \approx 5.458 & または & t = \frac{- 80 + \sqrt{8960}}{- 32} \approx - 0.458 \end{array} \end{array}$ 二つ目の答えはこのモデルの理にかなった定義域の外なので、ボールはおよそ5.458秒後に地面に落ちると結論する。図16を見よ。図16 このグラフはボールが上下する物理の経路を表しているのではないことに注意せよ。グラフを読むときは、各軸の量が何かを頭に置いておくこと。

Try It #5やってみよう5

A rock is thrown upward from the top of a 112-foot high cliff overlooking the ocean at a speed of 96 feet per second. The rock’s height above ocean can be modeled by the equation $H (t) = −16 t^{2} + 96 t + 112.$

海を見下ろす高さ112フィートの崖の上から、毎秒96フィートの速さで石を真上に投げる。海面からの石の高さは方程式 $H (t) = −16 t^{2} + 96 t + 112.$ で表せる。

ⓐWhen does the rock reach the maximum height?ⓑWhat is the maximum height of the rock?ⓒWhen does the rock hit the ocean?

ⓐ石が最高点に達するのはいつか。ⓑ石の最高点の高さはいくらか。ⓒ石が海に落ちるのはいつか。

Media 教材

Access these online resources for additional instruction and practice with quadratic equations.

二次方程式についての説明と練習をさらに求めるなら、次のオンライン教材にあたるとよい。

• Graphing Quadratic Functions in General Form• Graphing Quadratic Functions in Standard Form• Quadratic Function Review• Characteristics of a Quadratic Function

・一般形の二次関数のグラフを描く・標準形の二次関数のグラフを描く・二次関数の復習・二次関数の特徴

Verbal言葉で答える問題

1. Explain the advantage of writing a quadratic function in standard form.

1. 二次関数を標準形で書く利点を説明せよ。

2. How can the vertex of a parabola be used in solving real-world problems?

2. 現実の問題を解くのに、放物線の頂点はどう使えるか。

3. Explain why the condition of $a \neq 0$ is imposed in the definition of the quadratic function.

3. 二次関数の定義で条件 $a \neq 0$ が課されている理由を説明せよ。

4. What is another name for the standard form of a quadratic function?

4. 二次関数の標準形の別名は何か。

5. What two algebraic methods can be used to find the horizontal intercepts of a quadratic function?

5. 二次関数の横の軸との交点を求めるのに使える代数の方法を二つ挙げよ。

Algebraic代数の問題

For the following exercises, rewrite the quadratic functions in vertex form and give the vertex.

次の各問について、二次関数を頂点形に書き直し、頂点を答えよ。

6. $f (x) = x^{2} - 12 x + 32$

7. $g (x) = x^{2} + 2 x - 3$

8. $f (x) = x^{2} - x$

9. $f (x) = x^{2} + 5 x - 2$

10. $h (x) = 2 x^{2} + 8 x - 10$

11. $k (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

12. $f (x) = 2 x^{2} - 6 x$

13. $f (x) = 3 x^{2} - 5 x - 1$

For the following exercises, determine whether there is a minimum or maximum value to each quadratic function. Find the value and the axis of symmetry.

次の各問について、各二次関数に最小値と最大値のどちらがあるかを判定せよ。その値と対称の軸を求めよ。

14. $y (x) = 2 x^{2} + 10 x + 12$

15. $f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 4$

16. $f (x) = - x^{2} + 4 x + 3$

17. $f (x) = 4 x^{2} + x - 1$

18. $h (t) = −4 t^{2} + 6 t - 1$

19. $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$

20. $f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$

For the following exercises, determine the domain and range of the quadratic function.

次の各問について、二次関数の定義域と値域を求めよ。

21. $f (x) = {(x - 3)}^{2} + 2$

22. $f (x) = −2 {(x + 3)}^{2} - 6$

23. $f (x) = x^{2} + 6 x + 4$

24. $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2$

25. $k (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

For the following exercises, use the vertex $(h, k)$ and a point on the graph $(x, y)$ to find the general form of the equation of the quadratic function.

次の各問について、頂点 $(h, k)$ とグラフ上の点 $(x, y)$ を使って、二次関数の方程式の一般形を求めよ。

26. $(h, k) = (2, 0), (x, y) = (4, 4)$

27. $(h, k) = (−2, −1), (x, y) = (−4, 3)$

28. $(h, k) = (0, 1), (x, y) = (2, 5)$

29. $(h, k) = (2, 3), (x, y) = (5, 12)$

30. $(h, k) = (- 5, 3), (x, y) = (2, 9)$

31. $(h, k) = (3, 2), (x, y) = (10, 1)$

32. $(h, k) = (0, 1), (x, y) = (1, 0)$

33. $(h, k) = (1, 0), (x, y) = (0, 1)$

Graphicalグラフの問題

For the following exercises, sketch a graph of the quadratic function and give the vertex, axis of symmetry, and intercepts.

次の各問について、二次関数のグラフの概形を描き、頂点・対称の軸・切片を答えよ。

34. $f (x) = x^{2} - 2 x$

35. $f (x) = x^{2} - 6 x - 1$

36. $f (x) = x^{2} - 5 x - 6$

37. $f (x) = x^{2} - 7 x + 3$

38. $f (x) = −2 x^{2} + 5 x - 8$

39. $f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 3$

For the following exercises, write the equation for the graphed quadratic function.

次の各問について、描かれた二次関数の方程式を書け。

40.

Graph of a positive parabola with a vertex at (2, -3) and y-intercept at (0, 1).

41.

Graph of a positive parabola with a vertex at (-1, 2) and y-intercept at (0, 3)

42.

Graph of a negative parabola with a vertex at (2, 7).

43.

Graph of a negative parabola with a vertex at (-1, 2).

44.

Graph of a positive parabola with a vertex at (3, -1) and y-intercept at (0, 3.5).

45.

Graph of a negative parabola with a vertex at (-2, 3).

Numeric数値の問題

For the following exercises, use the table of values that represent points on the graph of a quadratic function. By determining the vertex and axis of symmetry, find the general form of the equation of the quadratic function.

次の各問では、二次関数のグラフ上の点を表す値の表を使え。頂点と対称の軸を決めることで、二次関数の方程式の一般形を求めよ。

46.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	5	2	1	2	5

47.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	1	0	1	4	9

48.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	–2	1	2	1	–2

49.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	–8	–3	0	1	0

50.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	8	2	0	2	8

Technology機器を使う問題

For the following exercises, use a calculator to find the answer.

次の各問について、電卓を使って答えを求めよ。

51. Graph on the same set of axes the functions $f (x) = x^{2}$ , $f (x) = 2 x^{2}$ , and $f (x) = \frac{1}{3} x^{2}$ .

51. 関数 $f (x) = x^{2}$ 、 $f (x) = 2 x^{2}$ 、 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2}$ のグラフを同じ座標軸に描け。

What appears to be the effect of changing the coefficient?

係数を変えると、どんな効き方をするように見えるか。

52. Graph on the same set of axes $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 2$ and $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 5$ and $f (x) = x^{2} - 3.$ What appears to be the effect of adding a constant?

52. $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 2$ 、 $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 5$ 、 $f (x) = x^{2} - 3.$ のグラフを同じ座標軸に描け。定数を足すと、どんな効き方をするように見えるか。

53. Graph on the same set of axes $f (x) = x^{2}, f (x) = {(x - 2)}^{2}, f {(x - 3)}^{2}$ , and $f (x) = {(x + 4)}^{2} .$

53. $f (x) = x^{2}, f (x) = {(x - 2)}^{2}, f {(x - 3)}^{2}$ と $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ のグラフを同じ座標軸に描け。

What appears to be the effect of adding or subtracting those numbers?

これらの数を足したり引いたりすると、どんな効き方をするように見えるか。

54. The path of an object projected at a 45 degree angle with initial velocity of 80 feet per second is given by the function $h (x) = \frac{- 32}{{(80)}^{2}} x^{2} + x$ where $x$ is the horizontal distance traveled and $h (x)$ is the height in feet. Use the TRACE feature of your calculator to determine the height of the object when it has traveled 100 feet away horizontally.

54. 初速毎秒80フィートで45度の角度に投げ出された物の通り道は、関数 $h (x) = \frac{- 32}{{(80)}^{2}} x^{2} + x$ で与えられる。ここで $x$ は水平に進んだ距離、 $h (x)$ は高さ(フィート)である。電卓の TRACE の機能を使って、水平に100フィート進んだときのこの物の高さを求めよ。

55. A suspension bridge can be modeled by the quadratic function $h (x) = .0001 x^{2}$ with $−2000 \leq x \leq 2000$ where $| x |$ is the number of feet from the center and $h (x)$ is height in feet. Use the TRACE feature of your calculator to estimate how far from the center does the bridge have a height of 100 feet.

55. ある吊り橋は、 $−2000 \leq x \leq 2000$ のもとで二次関数 $h (x) = .0001 x^{2}$ で表せる。ここで $| x |$ は中央からのフィート数、 $h (x)$ は高さ(フィート)である。電卓の TRACE の機能を使って、橋の高さが100フィートになるのが中央からどれだけ離れたところかを見積もれ。

Extensions発展問題

For the following exercises, use the vertex of the graph of the quadratic function and the direction the graph opens to find the domain and range of the function.

次の各問について、二次関数のグラフの頂点と、グラフが開く向きを使って、この関数の定義域と値域を求めよ。

56. Vertex $(1, −2),$ opens up.

56. 頂点 $(1, −2)$ 、上に開く。

57. Vertex $(−1, 2)$ opens down.

57. 頂点 $(−1, 2)$ 、下に開く。

58. Vertex $(−5, 11),$ opens down.

58. 頂点 $(−5, 11)$ 、下に開く。

59. Vertex $(−100, 100),$ opens up.

59. 頂点 $(−100, 100)$ 、上に開く。

For the following exercises, write the equation of the quadratic function that contains the given point and has the same shape as the given function.

次の各問について、与えられた点を通り、与えられた関数と同じ形をした二次関数の方程式を書け。

60. Contains $(1, 1)$ and has shape of $f (x) = 2 x^{2} .$ Vertex is on the $y -$ axis.

60. $(1, 1)$ を通り、 $f (x) = 2 x^{2}$ と同じ形をしている。頂点は $y -$ 軸の上にある。

61. Contains $(−1, 4)$ and has the shape of $f (x) = 2 x^{2} .$ Vertex is on the $y -$ axis.

61. $(−1, 4)$ を通り、 $f (x) = 2 x^{2}$ と同じ形をしている。頂点は $y -$ 軸の上にある。

62. Contains $(2, 3)$ and has the shape of $f (x) = 3 x^{2} .$ Vertex is on the $y -$ axis.

62. $(2, 3)$ を通り、 $f (x) = 3 x^{2}$ と同じ形をしている。頂点は $y -$ 軸の上にある。

63. Contains $(1, −3)$ and has the shape of $f (x) = - x^{2} .$ Vertex is on the $y -$ axis.

63. $(1, −3)$ を通り、 $f (x) = - x^{2}$ と同じ形をしている。頂点は $y -$ 軸の上にある。

64. Contains $(4, 3)$ and has the shape of $f (x) = 5 x^{2} .$ Vertex is on the $y -$ axis.

64. $(4, 3)$ を通り、 $f (x) = 5 x^{2}$ と同じ形をしている。頂点は $y -$ 軸の上にある。

65. Contains $(1, −6)$ has the shape of $f (x) = 3 x^{2} .$ Vertex has x-coordinate of $−1.$

65. $(1, −6)$ を通り、 $f (x) = 3 x^{2}$ と同じ形をしている。頂点の x座標は $−1.$ である。

Real-World Applications応用問題

66. Find the dimensions of the rectangular dog park producing the greatest enclosed area given 200 feet of fencing.

66. 柵が200フィートあるとき、囲まれる面積が最大になる長方形の犬用の遊び場の寸法を求めよ。

67. Find the dimensions of the rectangular dog park split into 2 pens of the same size producing the greatest possible enclosed area given 300 feet of fencing.

67. 柵が300フィートあるとき、同じ大きさの二つの囲いに分けた長方形の犬用の遊び場で、囲まれる面積が最大になる寸法を求めよ。

68. Find the dimensions of the rectangular dog park producing the greatest enclosed area split into 3 sections of the same size given 500 feet of fencing.

68. 柵が500フィートあるとき、同じ大きさの三つに分けた長方形の犬用の遊び場で、囲まれる面積が最大になる寸法を求めよ。

69. Among all of the pairs of numbers whose sum is 6, find the pair with the largest product. What is the product?

69. 和が6になる数の組すべてのうち、積がいちばん大きい組を求めよ。その積はいくらか。

70. Among all of the pairs of numbers whose difference is 12, find the pair with the smallest product. What is the product?

70. 差が12になる数の組すべてのうち、積がいちばん小さい組を求めよ。その積はいくらか。

71. Suppose that the price per unit in dollars of a cell phone production is modeled by $p = $ 45 - 0.0125 x,$ where $x$ is in thousands of phones produced, and the revenue represented by thousands of dollars is $R = x \cdot p .$ Find the production level that will maximize revenue.

71. 携帯電話の生産の1台あたりの値段(ドル)が $p = $ 45 - 0.0125 x$ で表されるとする。ここで $x$ は生産台数(千台単位)であり、千ドル単位の収入は $R = x \cdot p$ である。収入を最大にする生産の水準を求めよ。

72. A rocket is launched in the air. Its height, in meters above sea level, as a function of time, in seconds, is given by $h (t) = −4.9 t^{2} + 229 t + 234.$ Find the maximum height the rocket attains.

72. ロケットが打ち上げられる。時間(秒)の関数としての海面からの高さ(メートル)は $h (t) = −4.9 t^{2} + 229 t + 234.$ で与えられる。ロケットが達する最高点の高さを求めよ。

73. A ball is thrown in the air from the top of a building. Its height, in meters above ground, as a function of time, in seconds, is given by $h (t) = - 4.9 t^{2} + 24 t + 8.$ How long does it take to reach maximum height?

73. 建物の上からボールを空中へ投げる。時間(秒)の関数としての地上からの高さ(メートル)は $h (t) = - 4.9 t^{2} + 24 t + 8.$ で与えられる。最高点に達するまでにどれだけかかるか。

74. A soccer stadium holds 62,000 spectators. With a ticket price of $11, the average attendance has been 26,000. When the price dropped to $9, the average attendance rose to 31,000. Assuming that attendance is linearly related to ticket price, what ticket price would maximize revenue?

74. あるサッカー場は62,000人を収容する。入場券の値段が11ドルのとき、平均の入場者数は26,000人だった。値段を9ドルに下げると、平均の入場者数は31,000人に増えた。入場者数が入場券の値段と一次の関係にあるとして、収入を最大にする入場券の値段はいくらか。

75. A farmer finds that if she plants 75 trees per acre, each tree will yield 20 bushels of fruit. She estimates that for each additional tree planted per acre, the yield of each tree will decrease by 3 bushels. How many trees should she plant per acre to maximize her harvest?

75. ある農家は、1エーカーに75本の木を植えると1本あたり20ブッシェルの果実がとれると分かった。1エーカーあたり木を1本増やすごとに、1本あたりの収量が3ブッシェルずつ減ると見込んでいる。収穫を最大にするには、1エーカーに何本植えるべきか。