第4章一次関数Linear Functions

• Linear functions can be represented in words, function notation, tabular form, and graphical form. See Example 1.• An increasing linear function results in a graph that slants upward from left to right and has a positive slope. A decreasing linear function results in a graph that slants downward from left to right and has a negative slope. A constant linear function results in a graph that is a horizontal line. See Example 2.• Slope is a rate of change. The slope of a linear function can be calculated by dividing the difference between y-values by the difference in corresponding x-values of any two points on the line. See Example 3 and Example 4.• An equation for a linear function can be written from a graph. See Example 5.• The equation for a linear function can be written if the slope $m$ and initial value $b$ are known. See Example 6 and Example 7.• A linear function can be used to solve real-world problems given information in different forms. See Example 8, Example 9, and Example 10.• Linear functions can be graphed by plotting points or by using the y-intercept and slope. See Example 11 and Example 12.• Graphs of linear functions may be transformed by using shifts up, down, left, or right, as well as through stretches, compressions, and reflections. See Example 13.• The equation for a linear function can be written by interpreting the graph. See Example 14.• The x-intercept is the point at which the graph of a linear function crosses the x-axis. See Example 15.• Horizontal lines are written in the form, $f(x)=b.$ See Example 16.• Vertical lines are written in the form, $x=b.$ See Example 17.• Parallel lines have the same slope. Perpendicular lines have negative reciprocal slopes, assuming neither is vertical. See Example 18.• A line parallel to another line, passing through a given point, may be found by substituting the slope value of the line and the x- and y-values of the given point into the equation, $f(x)=mx+b,$ and using the $b$ that results. Similarly, the point-slope form of an equation can also be used. See Example 19.• A line perpendicular to another line, passing through a given point, may be found in the same manner, with the exception of using the negative reciprocal slope. See Example 20 and Example 21.

・一次関数は、言葉・関数の表記・表・グラフで表せる。例1を見よ。・増加する一次関数のグラフは左から右へ上がり、傾きは正である。減少する一次関数のグラフは左から右へ下がり、傾きは負である。一定の一次関数のグラフは横の直線になる。例2を見よ。・傾きは変化の割合である。一次関数の傾きは、直線上のどの二点についても、y の値の差を対応する x の値の差で割れば計算できる。例3と例4を見よ。・一次関数の方程式はグラフから書ける。例5を見よ。・傾き $m$ と初めの値 $b$ が分かっていれば、一次関数の方程式を書ける。例6と例7を見よ。・情報がいろいろな形で与えられても、一次関数を使って現実の問題を解ける。例8、例9、例10を見よ。・一次関数のグラフは、点を打つか、y切片と傾きを使えば描ける。例11と例12を見よ。・一次関数のグラフは、上下左右への平行移動のほか、拡大・縮小・対称移動でも変形できる。例13を見よ。・一次関数の方程式は、グラフを読み取って書ける。例14を見よ。・x切片は、一次関数のグラフが x軸と交わる点である。例15を見よ。・横の直線は $f(x)=b$ の形で書く。例16を見よ。・縦の直線は $x=b$ の形で書く。例17を見よ。・平行な直線は傾きが同じである。垂直な直線は、どちらも縦でなければ、傾きが互いに逆数の符号を変えたものになる。例18を見よ。・ある直線に平行で、与えられた点を通る直線は、その直線の傾きの値と与えられた点の x と y の値を方程式 $f(x)=mx+b$ に代入し、得られた $b$ を使えば求まる。同じく点傾き形も使える。例19を見よ。・ある直線に垂直で、与えられた点を通る直線も同じやり方で求まる。ただし傾きは逆数の符号を変えたものを使う。例20と例21を見よ。

• We can use the same problem strategies that we would use for any type of function.• When modeling and solving a problem, identify the variables and look for key values, including the slope and y-intercept. See Example 1.• Draw a diagram, where appropriate. See Example 2 and Example 3.• Check for reasonableness of the answer.• Linear models may be built by identifying or calculating the slope and using the y-intercept. The x-intercept may be found by setting $y=0,$ which is setting the expression $mx+b$ equal to 0. The point of intersection of a system of linear equations is the point where the x- and y-values are the same. See Example 4. A graph of the system may be used to identify the points where one line falls below (or above) the other line.

・どんな型の関数にも使う同じ手順が、ここでも使える。・問題を表して解くときは、変数を見分け、傾きと y切片を含む鍵となる値を探す。例1を見よ。・必要なら図を描く。例2と例3を見よ。・答えが理にかなっているかを確かめる。・一次のモデルは、傾きを見分けるか計算し、y切片を使って組み立てられる。x切片は $y=0$ とおく、すなわち式 $mx+b$ を0とおけば求まる。連立一次方程式の交点は、x の値と y の値が同じになる点である。例4を見よ。連立方程式のグラフを使えば、一方の直線が他方より下(または上)になる点を見分けられる。

• Scatter plots show the relationship between two sets of data. See Example 1.• Scatter plots may represent linear or non-linear models.• The line of best fit may be estimated or calculated, using a calculator or statistical software. See Example 2.• Interpolation can be used to predict values inside the domain and range of the data, whereas extrapolation can be used to predict values outside the domain and range of the data. See Example 3.• The correlation coefficient, $r,$ indicates the degree of linear relationship between data. See Example 4.• A regression line best fits the data. See Example 5.• The least squares regression line is found by minimizing the squares of the distances of points from a line passing through the data and may be used to make predictions regarding either of the variables. See Example 6.

・散布図は二組の資料のあいだの関係を示す。例1を見よ。・散布図は一次のモデルも一次でないモデルも表しうる。・最もよく当てはまる直線は、目分量で引くことも、電卓や統計ソフトで計算することもできる。例2を見よ。・内挿は資料の定義域と値域の内側で値を予測するのに使え、外挿は資料の定義域と値域の外で値を予測するのに使える。例3を見よ。・相関係数 $r$ は、資料のあいだの一次の関係の度合いを示す。例4を見よ。・回帰直線は資料に最もよく当てはまる。例5を見よ。・最小二乗回帰の直線は、資料を通る直線から各点までの距離の二乗を最小にすることで求まり、どちらの変数についても予測に使える。例6を見よ。