第4章一次関数Linear Functions

Determining Whether Lines are Parallel or Perpendicular直線どうしが平行か垂直かを判定する

The two lines in Figure 28 are parallel lines: they will never intersect. They have exactly the same steepness, which means their slopes are identical. The only difference between the two lines is the y-intercept. If we shifted one line vertically toward the other, they would become coincident.

図28の二本の直線は平行である。決して交わらない。急さがまったく同じであり、つまり傾きが同じである。二本の直線の違いは y切片だけである。一方を縦にもう一方へ動かせば、重なる。

This graph shows two lines on an x, y coordinate plane. The x-axis runs from negative 4 to 6. The y-axis runs from negative 3 to 8. The first line has the equation y = -3 times x divided by 2 plus 1. The second line has the equation y = -3 times x divided by 2 plus 7. The lines do not cross. — Figure 28 Parallel lines図28 平行な直線

We can determine from their equations whether two lines are parallel by comparing their slopes. If the slopes are the same and the y-intercepts are different, the lines are parallel. If the slopes are different, the lines are not parallel.

二本の直線が平行かどうかは、方程式から傾きを比べれば判定できる。傾きが同じで y切片が違うなら平行である。傾きが違うなら平行ではない。

\begin{matrix} \begin{array}{l} f (x) = - 2 x + 6 \\ f (x) = - 2 x - 4 \end{array}} parallel & \begin{array}{l} f (x) = 3 x + 2 \\ f (x) = 2 x + 2 \end{array}} not parallel \end{matrix}

Unlike parallel lines, perpendicular lines do intersect. Their intersection forms a right, or 90-degree, angle. The two lines in Figure 29 are perpendicular.

平行な直線と違い、垂直な直線は交わる。交わってできるのは直角、すなわち90度の角である。図29の二本の直線は垂直である。

This graph shows two functions perpendicular to each other on an x, y coordinate plane. The first function increases and passes through the points (1, 0) and (0, -5). The second function decreases and passes through the points (1, 0) and (-4, 1). The lines intersect to form a 90-degree right angle at the point (1, 0). — Figure 29 Perpendicular lines図29 垂直な直線

Perpendicular lines do not have the same slope. The slopes of perpendicular lines are different from one another in a specific way. The slope of one line is the negative reciprocal of the slope of the other line. The product of a number and its reciprocal is $1.$ So, if $m_{1} and m_{2}$ are negative reciprocals of one another, they can be multiplied together to yield $–1.$

垂直な直線どうしは傾きが同じではない。垂直な直線の傾きは、決まった仕方で互いに異なる。一方の傾きは、他方の傾きの逆数の符号を変えたものである。ある数とその逆数の積は $1.$ である。よって $m_{1} および m_{2}$ が互いに逆数の符号を変えたものなら、掛け合わせると $–1.$ になる。

m_{1} m_{2} = −1

To find the reciprocal of a number, divide 1 by the number. So the reciprocal of 8 is $\frac{1}{8},$ and the reciprocal of $\frac{1}{8}$ is 8. To find the negative reciprocal, first find the reciprocal and then change the sign.

ある数の逆数を求めるには、1をその数で割る。よって8の逆数は $\frac{1}{8}$ 、 $\frac{1}{8}$ の逆数は8である。逆数の符号を変えたものを求めるには、まず逆数を求めてから符号を変える。

As with parallel lines, we can determine whether two lines are perpendicular by comparing their slopes, assuming that the lines are neither horizontal nor vertical. The slope of each line below is the negative reciprocal of the other so the lines are perpendicular.

平行な直線と同じように、二本の直線が垂直かどうかも傾きを比べれば判定できる。ただし、どちらの直線も横でも縦でもないとする。下の二本の直線は、それぞれの傾きが互いに逆数の符号を変えたものになっているので垂直である。

\begin{matrix} f (x) & = & \frac{1}{4} x + 2 & negative reciprocal of \frac{1}{4} is −4 \\ f (x) & = & −4 x + 3 & negative reciprocal of −4 is \frac{1}{4} \end{matrix}

The product of the slopes is –1.

傾きどうしの積は –1 である。

- 4 (\frac{1}{4}) = - 1

Parallel and Perpendicular Lines 平行な直線と垂直な直線

Two lines are parallel lines if they do not intersect. The slopes of the lines are the same.

二本の直線が交わらないとき、それらは平行であるという。直線の傾きは同じである。

f (x) = m_{1} x + b_{1} and g (x) = m_{2} x + b_{2} are parallel if and only if m_{1} = m_{2}

If and only if $b_{1} = b_{2}$ and $m_{1} = m_{2},$ we say the lines coincide. Coincident lines are the same line.

$b_{1} = b_{2}$ かつ $m_{1} = m_{2}$ のとき、またそのときに限り、二直線は重なるという。重なる直線は同じ直線である。

Two lines are perpendicular lines if they intersect to form a right angle.

二本の直線が交わって直角をつくるとき、それらは垂直であるという。

f (x) = m_{1} x + b_{1} and g (x) = m_{2} x + b_{2} are perpendicular if and only if

m_{1} m_{2} = - 1, so m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

Example 18例18

Identifying Parallel and Perpendicular Lines平行な直線と垂直な直線を見分ける

Given the functions below, identify the functions whose graphs are a pair of parallel lines and a pair of perpendicular lines.

下の関数のうち、グラフが平行な直線の組になるものと、垂直な直線の組になるものを答えよ。

\begin{matrix} f (x) & = & 2 x + 3 & h (x) & = & - 2 x + 2 \\ g (x) & = & \frac{1}{2} x - 4 & j (x) & = & 2 x - 6 \end{matrix}

Solution 解答

Parallel lines have the same slope. Because the functions $f (x) = 2 x + 3$ and $j (x) = 2 x - 6$ each have a slope of 2, they represent parallel lines. Perpendicular lines have negative reciprocal slopes. Because −2 and $\frac{1}{2}$ are negative reciprocals, the functions $g (x) = \frac{1}{2} x - 4$ and $h (x) = −2 x + 2$ represent perpendicular lines.

平行な直線は傾きが同じである。関数 $f (x) = 2 x + 3$ と $j (x) = 2 x - 6$ はどちらも傾きが2なので、平行な直線を表す。垂直な直線は、傾きが互いに逆数の符号を変えたものである。−2と $\frac{1}{2}$ は互いに逆数の符号を変えたものなので、関数 $g (x) = \frac{1}{2} x - 4$ と $h (x) = −2 x + 2$ は垂直な直線を表す。

Analysis 考察

A graph of the lines is shown in Figure 30.

これらの直線のグラフを図30に示す。

This graph shows four functions on an x, y coordinate plane. The x-axis runs from negative 8 to 9. The y-axis runs from negative 8 to 8. The first shows the decreasing function h of x = negative 2 times x plus 2. It passes through the points (0, 2) and (1, 0). The second is an increasing function that shows f of x = 2 times x plus 3. It passes through the points (0, 3) and (-1.5, 0). The third is an increasing function that shows j of x = 2 times x minus 6 and passes through the points (0, -6) and (3, 0). The fourth line is an increasing function where g of x = x divided by 2 minus 4 and passes through the points (0, -4) and (2 ,0).

The graph shows that the lines $f (x) = 2 x + 3$ and $j (x) = 2 x - 6$ are parallel, and the lines $g (x) = \frac{1}{2} x - 4$ and $h (x) = - 2 x + 2$ are perpendicular.

グラフから、直線 $f (x) = 2 x + 3$ と $j (x) = 2 x - 6$ が平行であり、直線 $g (x) = \frac{1}{2} x - 4$ と $h (x) = - 2 x + 2$ が垂直であることが分かる。