第4章一次関数Linear Functions

Modeling Real-World Problems with Linear Functions現実の問題を一次関数で表す

In the real world, problems are not always explicitly stated in terms of a function or represented with a graph. Fortunately, we can analyze the problem by first representing it as a linear function and then interpreting the components of the function. As long as we know, or can figure out, the initial value and the rate of change of a linear function, we can solve many different kinds of real-world problems.

現実では、問題がいつも関数の言葉ではっきり述べられていたり、グラフで示されていたりするわけではない。幸い、まずそれを一次関数として表し、そのうえで関数の各部分を読み取れば、問題を調べられる。一次関数の初めの値と変化の割合が分かっていれば、あるいは割り出せれば、現実のさまざまな問題を解ける。

How To 手順

Given a linear function $f$ and the initial value and rate of change, evaluate $f (c) .$

一次関数 $f$ と、初めの値および変化の割合が与えられたとき、 $f (c)$ の値を求める。

1. Determine the initial value and the rate of change (slope).2. Substitute the values into $f (x) = m x + b .$ 3. Evaluate the function at $x = c .$

1. 初めの値と変化の割合(傾き)を決める。2. その値を $f (x) = m x + b$ に代入する。3. $x = c$ でのこの関数の値を求める。

Example 8例8

Using a Linear Function to Determine the Number of Songs in a Music Collection一次関数で音楽の収集の曲数を求める

Marcus currently has 200 songs in his music collection. Every month, he adds 15 new songs. Write a formula for the number of songs, $N,$ in his collection as a function of time, $t,$ the number of months. How many songs will he own at the end of one year?

Marcus はいま音楽の収集に200曲を持っている。毎月15曲を新たに加える。時間 $t$ (月数)の関数として、収集の曲数 $N$ の式を書け。1年の終わりには何曲持っているか。

Solution 解答

The initial value for this function is 200 because he currently owns 200 songs, so $N (0) = 200,$ which means that $b = 200.$

いま200曲を持っているので、この関数の初めの値は200である。よって $N (0) = 200$ であり、 $b = 200.$ となる。

The number of songs increases by 15 songs per month, so the rate of change is 15 songs per month. Therefore we know that $m = 15.$ We can substitute the initial value and the rate of change into the slope-intercept form of a line.

曲数は月に15曲ずつ増えるので、変化の割合は月に15曲である。よって $m = 15.$ と分かる。初めの値と変化の割合を直線の傾き切片形に代入できる。

This image shows the equation f of x equals m times x plus b. It shows that m is the value 15 and b is 200. It then shows the equation rewritten as N of t equals 15 times t plus 200.

We can write the formula $N (t) = 15 t + 200.$

式 $N (t) = 15 t + 200.$ が書ける。

With this formula, we can then predict how many songs Marcus will have at the end of one year (12 months). In other words, we can evaluate the function at $t = 12.$

この式を使えば、1年(12か月)の終わりに Marcus が何曲持っているかを予測できる。言い換えると、 $t = 12.$ での関数の値を求めればよい。

\begin{matrix} N (12) & = & 15 (12) + 200 \\ = & 180 + 200 \\ = & 380 \end{matrix}

Marcus will have 380 songs in 12 months.

Marcus は12か月後に380曲を持つ。

Analysis 考察

Notice that N is an increasing linear function. As the input (the number of months) increases, the output (number of songs) increases as well.

N は増加する一次関数であることに注意せよ。入力(月数)が増えるにつれて、出力(曲数)も増える。

Example 9例9

Using a Linear Function to Calculate Salary Based on Commission一次関数で歩合を含む給与を計算する

Working as an insurance salesperson, Ilya earns a base salary plus a commission on each new policy. Therefore, Ilya’s weekly income $I,$ depends on the number of new policies, $n,$ he sells during the week. Last week he sold 3 new policies, and earned $760 for the week. The week before, he sold 5 new policies and earned $920. Find an equation for $I (n),$ and interpret the meaning of the components of the equation.

保険の販売員として働く Ilya は、基本給に加えて新しい契約ごとに歩合を得る。よって Ilya の週の収入 $I$ は、その週に売った新しい契約の数 $n$ に依る。先週は3件売って週に760ドル稼いだ。その前の週は5件売って920ドル稼いだ。 $I (n)$ の方程式を求め、方程式の各部分の意味を述べよ。

Solution 解答

The given information gives us two input-output pairs: $(3, 760)$ and $(5, 920) .$ We start by finding the rate of change.

与えられた情報から、入出力の組が二つ得られる。 $(3, 760)$ と $(5, 920)$ である。まず変化の割合を求める。

\begin{matrix} m & = & \frac{920 - 760}{5 - 3} \\ = & \frac{$ 160}{2 policies} \\ = & $ 80 per policy \end{matrix}

Keeping track of units can help us interpret this quantity. Income increased by $160 when the number of policies increased by 2, so the rate of change is $80 per policy. Therefore, Ilya earns a commission of $80 for each policy sold during the week.

単位を追っていくと、この量の意味が分かりやすい。契約の数が2件増えたとき収入は160ドル増えたので、変化の割合は1件あたり80ドルである。よって Ilya はその週に売った契約1件につき80ドルの歩合を得る。

We can then solve for the initial value.

そのうえで初めの値について解ける。

\begin{matrix} I (n) & = & 80 n + b \\ 760 & = & 80 (3) + b & when n = 3, I (3) = 760 \\ 760 & - & 80 (3) = b \\ 520 & = & b \end{matrix}

The value of $b$ is the starting value for the function and represents Ilya’s income when $n = 0,$ or when no new policies are sold. We can interpret this as Ilya’s base salary for the week, which does not depend upon the number of policies sold.

$b$ の値はこの関数の初めの値であり、 $n = 0$ のとき、すなわち新しい契約を一件も売らないときの Ilya の収入を表す。これは、売った契約の数に依らない、その週の Ilya の基本給と読める。

We can now write the final equation.

これで最終の方程式が書ける。

I (n) = 80 n + 520

Our final interpretation is that Ilya’s base salary is $520 per week and he earns an additional $80 commission for each policy sold.

最終的な読みは、Ilya の基本給が週520ドルで、売った契約1件につきさらに80ドルの歩合を得る、ということである。

Example 10例10

Using Tabular Form to Write an Equation for a Linear Function表を使って一次関数の方程式を書く

Table 1 relates the number of rats in a population to time, in weeks. Use the table to write a linear equation.

表1は、ねずみの個体数と時間(週)を結びつけている。この表を使って一次方程式を書け。

number of weeks, w週数 w	0	2	4	6
number of rats, P(w)ねずみの数 P(w)	1000	1080	1160	1240

Solution 解答

We can see from the table that the initial value for the number of rats is 1000, so $b = 1000.$

表から、ねずみの数の初めの値が1000だと分かるので $b = 1000.$ である。

Rather than solving for $m,$ we can tell from looking at the table that the population increases by 80 for every 2 weeks that pass. This means that the rate of change is 80 rats per 2 weeks, which can be simplified to 40 rats per week.

$m$ について解かなくても、2週ごとに個体数が80増えることが表から読み取れる。つまり変化の割合は2週あたり80匹であり、これは1週あたり40匹に直せる。

P (w) = 40 w + 1000

If we did not notice the rate of change from the table we could still solve for the slope using any two points from the table. For example, using $(2, 1080)$ and $(6, 1240)$

表から変化の割合に気づかなくても、表のどの二点を使っても傾きは求められる。たとえば $(2, 1080)$ と $(6, 1240)$ を使えばよい。

\begin{matrix} m & = & \frac{1240 - 1080}{6 - 2} \\ = & \frac{160}{4} \\ = & 40 \end{matrix}

Q&A 疑問と答え

Is the initial value always provided in a table of values like Table 1?

表1のような値の表には、つねに初めの値が示されているか。

No. Sometimes the initial value is provided in a table of values, but sometimes it is not. If you see an input of 0, then the initial value would be the corresponding output. If the initial value is not provided because there is no value of input on the table equal to 0, find the slope, substitute one coordinate pair and the slope into $f (x) = m x + b,$ and solve for $b .$

そうではない。値の表に初めの値が示されていることもあれば、示されていないこともある。入力0が見つかれば、それに対応する出力が初めの値である。表に0に等しい入力が無いために初めの値が示されていないときは、傾きを求め、座標の組を一つと傾きを $f (x) = m x + b$ に代入して $b$ について解けばよい。

Try It #4やってみよう4

A new plant food was introduced to a young tree to test its effect on the height of the tree. Table 2 shows the height of the tree, in feet, $x$ months since the measurements began. Write a linear function, $H (x),$ where $x$ is the number of months since the start of the experiment.

若木に新しい肥料を与え、木の高さへの効き方を調べた。表2に、測定を始めてから $x$ か月後の木の高さ(フィート)を示す。実験を始めてからの月数を $x$ として、一次関数 $H (x)$ を書け。

x	0	2	4	8	12
H(x)	12.5	13.5	14.5	16.5	18.5