第4章一次関数Linear Functions

Earlier, we wrote the equation for a linear function from a graph. Now we can extend what we know about graphing linear functions to analyze graphs a little more closely. Begin by taking a look at Figure 18. We can see right away that the graph crosses the y-axis at the point $(0,\text{4})$ so this is the y-intercept.

先にグラフから一次関数の方程式を書いた。ここでは、一次関数のグラフについて学んだことを広げて、グラフをもう少し細かく調べよう。まず図18を見てみる。グラフが点 $(0,\text{4})$ で y軸と交わることがすぐに分かるので、これが y切片である。

Then we can calculate the slope by finding the rise and run. We can choose any two points, but let’s look at the point $(–2,0).$ To get from this point to the y-intercept, we must move up 4 units (rise) and to the right 2 units (run). So the slope must be

そのうえで、上がりと進みを求めれば傾きを計算できる。どの二点を選んでもよいが、点 $(–2,0)$ を見てみよう。この点から y切片へ行くには、上へ4(上がり)、右へ2(進み)動かなければならない。よって傾きは次のようになる。

Substituting the slope and y-intercept into the slope-intercept form of a line gives

傾きと y切片を直線の傾き切片形に代入すると、次が得られる。

So far we have been finding the y-intercepts of a function: the point at which the graph of the function crosses the y-axis. Recall that a function may also have an x-intercept, which is the x-coordinate of the point where the graph of the function crosses the x-axis. In other words, it is the input value when the output value is zero.

ここまでは関数の y切片、すなわち関数のグラフが y軸と交わる点を求めてきた。関数には x切片もありうることを思い出そう。x切片とは、関数のグラフが x軸と交わる点の x座標である。言い換えると、出力値が0になるときの入力値である。

To find the x-intercept, set a function $f(x)$ equal to zero and solve for the value of $x.$ For example, consider the function shown.

x切片を求めるには、関数 $f(x)$ を0とおいて $x$ の値について解く。たとえば次の関数を考えよう。

Set the function equal to 0 and solve for $x.$

関数を0とおいて $x$ について解く。

The graph of the function crosses the x-axis at the point $(2,\text{0}).$

この関数のグラフは点 $(2,\text{0})$ で x軸と交わる。

There are two special cases of lines on a graph—horizontal and vertical lines. A horizontal line indicates a constant output, or y-value. In Figure 23, we see that the output has a value of 2 for every input value. The change in outputs between any two points, therefore, is 0. In the slope formula, the numerator is 0, so the slope is 0. If we use $m=0$ in the equation $f(x)=mx+b,$ the equation simplifies to $f(x)=b.$ In other words, the value of the function is a constant. This graph represents the function $f(x)=2.$

グラフ上の直線には、横の直線と縦の直線という特別な場合が二つある。横の直線は、出力すなわち y の値が一定であることを示す。図23では、どの入力値でも出力の値が2であることが分かる。よってどの二点のあいだでも出力の変化は0である。傾きの公式では分子が0になるので、傾きは0である。方程式 $f(x)=mx+b$ で $m=0$ を使うと、方程式は $f(x)=b$ に簡単になる。言い換えると、この関数の値は定数である。このグラフは関数 $f(x)=2.$ を表す。

A vertical line indicates a constant input, or x-value. We can see that the input value for every point on the line is 2, but the output value varies. Because this input value is mapped to more than one output value, a vertical line does not represent a function. Notice that between any two points, the change in the input values is zero. In the slope formula, the denominator will be zero, so the slope of a vertical line is undefined.

縦の直線は、入力すなわち x の値が一定であることを示す。直線上のどの点でも入力値は2だが、出力値は変わることが分かる。この入力値が二つ以上の出力値に対応するので、縦の直線は関数を表さない。どの二点のあいだでも入力値の変化が0であることに注意せよ。傾きの公式では分母が0になるので、縦の直線の傾きは定義されない。

A vertical line, such as the one in Figure 25, has an x-intercept, but no y-intercept unless it’s the line $x=0.$ This graph represents the line $x=2.$

図25のような縦の直線には x切片があるが、$x=0.$ の直線でない限り y切片は無い。このグラフは直線 $x=2.$ を表す。