第4章一次関数Linear Functions

The function describing the train’s motion is a linear function, which is defined as a function with a constant rate of change. This is a polynomial of degree 1. There are several ways to represent a linear function, including word form, function notation, tabular form, and graphical form. We will describe the train’s motion as a function using each method.

列車の運動を表す関数は一次関数である。一次関数とは、変化の割合が一定である関数として定められる。これは1次の多項式である。一次関数の表し方には、言葉・関数の表記・表・グラフなどいくつかある。それぞれの方法で、列車の運動を関数として述べてみよう。

Let’s begin by describing the linear function in words. For the train problem we just considered, the following word sentence may be used to describe the function relationship.

まず一次関数を言葉で述べるところから始めよう。いま考えた列車の問題では、次の文で関数の関係を述べられる。

• The train’s distance from the station is a function of the time during which the train moves at a constant speed plus its original distance from the station when it began moving at constant speed.

・駅からの列車の距離は、列車が一定の速さで動いた時間の関数に、一定の速さで動き始めたときの駅からのもとの距離を足したものである。

The speed is the rate of change. Recall that a rate of change is a measure of how quickly the dependent variable changes with respect to the independent variable. The rate of change for this example is constant, which means that it is the same for each input value. As the time (input) increases by 1 second, the corresponding distance (output) increases by 83 meters. The train began moving at this constant speed at a distance of 250 meters from the station.

速さが変化の割合である。変化の割合とは、独立変数に対して従属変数がどれだけ速く変わるかを測るものだったのを思い出そう。この例の変化の割合は一定であり、どの入力値でも同じである。時間(入力)が1秒増えるごとに、対応する距離(出力)が83メートル増える。列車は駅から250メートルの地点で、この一定の速さで動き始めた。

Another approach to representing linear functions is by using function notation. One example of function notation is an equation written in the slope-intercept form of a line, where $x$ is the input value, $m$ is the rate of change, and $b$ is the initial value of the dependent variable.

一次関数を表すもう一つの方法が、関数の表記を使うことである。関数の表記の一例が、直線の傾き切片形で書かれた方程式である。ここで $x$ は入力値、$m$ は変化の割合、$b$ は従属変数の初めの値である。

In the example of the train, we might use the notation $D(t)$ where the total distance $D$ is a function of the time $t.$ The rate, $m,$ is 83 meters per second. The initial value of the dependent variable $b$ is the original distance from the station, 250 meters. We can write a generalized equation to represent the motion of the train.

列車の例では $D(t)$ という書き方が使える。総距離 $D$ が時間 $t$ の関数である。割合 $m$ は毎秒83メートルである。従属変数の初めの値 $b$ は駅からのもとの距離250メートルである。列車の運動を表す一般の方程式を書ける。

A third method of representing a linear function is through the use of a table. The relationship between the distance from the station and the time is represented in Figure 2. From the table, we can see that the distance changes by 83 meters for every 1 second increase in time.

一次関数を表す三つ目の方法が表を使うことである。駅からの距離と時間の関係を図2に表す。表から、時間が1秒増えるごとに距離が83メートル変わることが分かる。

Another way to represent linear functions is visually, using a graph. We can use the function relationship from above, $D(t)=83t+250,$ to draw a graph as represented in Figure 3. Notice the graph is a line. When we plot a linear function, the graph is always a line.

一次関数を表すもう一つの方法が、グラフを使って目に見える形にすることである。上の関数の関係 $D(t)=83t+250$ を使えば、図3のようなグラフを描ける。グラフが直線であることに注意せよ。一次関数を描くと、グラフはつねに直線になる。

The rate of change, which is constant, determines the slant, or slope of the line. The point at which the input value is zero is the vertical intercept, or y-intercept, of the line. We can see from the graph that the y-intercept in the train example we just saw is $(0,250)$ and represents the distance of the train from the station when it began moving at a constant speed.

一定である変化の割合が、直線の傾きを決める。入力値が0になる点が、その直線の縦の切片すなわち y切片である。いま見た列車の例では、グラフから y切片が $(0,250)$ であることが分かり、これは列車が一定の速さで動き始めたときの駅からの距離を表す。

Notice that the graph of the train example is restricted, but this is not always the case. Consider the graph of the line $f(x)=2x+1.$ Ask yourself what numbers can be input to the function. In other words, what is the domain of the function? The domain is comprised of all real numbers because any number may be doubled, and then have one added to the product.

列車の例のグラフには制限があるが、つねにそうとは限らないことに注意せよ。直線 $f(x)=2x+1.$ のグラフを考えよう。この関数にどんな数を入力できるか、自問してみよ。言い換えると、この関数の定義域は何か。どんな数も2倍でき、その積に1を足せるので、定義域は実数全体である。